第51讲圆的方程-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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这是一份第51讲圆的方程-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题，文件包含第51讲圆的方程-解析版docx、第51讲圆的方程-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页，欢迎下载使用。

通关二、几种特殊圆的标准方程（ｒ＞０）
结论一、圆的一般方程
已知方程
１.当时,方程表示以为圆心，以为半径的圆；
２．当时,方程表示一个点；
３.当时,方程没有意义,不表示任何图形．
【例1】方程表示圆的充要条件是( )
A. １C.m< D.m<或m>１
【答案】D
【解析】此方程表示圆的充要条件是，即，
解得m< 或m>1.故选D.
【变式】如果圆的方程为，那么当圆面积最大时,圆心坐标为（）
A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(0,-1)
【答案】 D
【解析】化为圆的标准方程: ，圆的面积最大等价于最大,此时k=0,圆心坐标为(0,-1).故选D．
结论二、求圆的方程的两种方法
１.直接法：根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程；
２.待定系数法：
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于ａ，ｂ，ｒ的方程组,从而求出ａ，ｂ，ｒ的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件设出圆的一般方程：，列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
【例2】过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=（）
A.2 B.8C. D.10
【答案】C
【解析】设过A,B,C三点的圆的方程为，则，解得D=-2,E=4,F=-20,所求圆的方程为．令x=0,得 +4y-20=0.设，则，所以．故选C．
【变式】若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是（）
【答案】D
【解析】设圆心O(a,0)(a<0),则=，即|a|=5,解得a=-5,所以圆O的方程为．故选D．
结论三、点与圆的位置关系
１.根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:d>r 点在圆外；d=r 点在圆上；点在圆内．
２.根据点的坐标与圆的方程的关系判断；
点在圆外；
点在圆上；
点在圆内．
【例3】已知点M(a,b)在圆O:外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）
A.相切B.相交C．相离D.不确定
【答案】B
【解析】点M(a,b)在圆外，所以，圆O(0,0)到直线ax+by=１
的距离d= <1,所以直线与圆相交.故选B
【变式】已知是圆内一点,现有以M为中点的弦所在直线和直线,则（）.
A.,且与圆相交B.,且与圆相交
C.,且与圆相离D.,且与圆相离
【答案】
【解析】由圆的性质可知中点弦与垂直,所以斜率=−ba,中点弦的方程为: ,可得.另一方面,,因为在圆内,所以,所以,直线与圆相离.故选C.
结论四、与圆有半的对称问题
1.圆关于点对称
(1)求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置;
(2 两圆关于某点对称,则此点为两圆圆心连线的中点.
2.圆关于直线对称
(1)求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置;
(2)两圆关于某条直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【例4】已知圆,圆与圆关于直线对称,则圆的方程为（） .
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】设圆的圆心为,则依题意有,解得,对称圆的半径不变为1.故选B.
【变式】若直线始终平分圆的周长,则的最小值为____________.
【答案】 4
【解析】直线平分圆的周长,即直线过圆心, 从而有, 所以 ,当且仅当时取等号.故的最小值
为.
结论五、确定圆心位置的方法
圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;
(3) 两圆相协时,协点与两圆圆心共线.
【例5】若过点的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线的距离为( ).
A. B.C.D.
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆至少与一条坐标轴相交, 不合乎题意,所以圆心必在第一象限.设圆心的坐标为,则圆的半径为,圆的标准方程为.由题意可得 ,可得 ,解得或,所以圆心的坐标为或,圆心到直线的距离均为.故选.
【变式】若直线与圆的两个交点关于直线对称,则点所在的圆为（）.
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】由题意知直线与直线互相垂直, 所以.又圆上两点关于直线对称,故直线过圆心,所以,结合选项可知,点在圆上,故选.
结论六、圆的参数方程
已知圆心为 ,半径为的圆的参数方程为:
（θ是参数，θ∈）；特别地，当圆心在原点时，其参数方程为（θ是参数）.
【例6】若直线通过点,则( )
A. B.C. D.
【答案】
【解析】解法一因为 , 故原点到直线的距离不大于1 , 即, 从而 . 故选 .
解法二由题意知 , 即 , 故, 得到 . 故选 .
解法三 .故选 .
【变式】在平面直角坐标系中,记为点到直线的距离,当变化时,的最大值为 ( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】解法一由题意可得
其中
, 因为 , 所以
, 所以当时, 取得最大值3 . 故选C.
解法二由题意知点的轨迹方程是,所以圆心到直线的距离, 所以,故选C.
圆的标准方程
圆的一般方程
定义
平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径
方程
圆心
半径
r
区别与联系
（1）圆的标准方程确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；
（2）圆的一般方程的代数结构明显,圆心坐标和半径长需要通过代数运算了解；
（3）二者可以互化，将圆的标准方程展开可得一般方程,将圆的一般方程配方可得标准方程．
特殊条件
圆的方程
圆心在坐标原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
过原点
（a,b不同时为０）
与x轴相切
与y轴相切
与两坐标轴都相切
或
以为直径端点