第53讲 椭圆的定义和性质-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第53讲 椭圆的定义和性质
通关一、椭圆的标准方程
当焦点在轴上时,,其中;
当焦点在轴上时,,其中.
要点诠释：
1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
2.在椭圆的两种标准方程中,都有和;
3.椭圆的焦点总在长轴上,当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为;当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为;
4.在两种标准方程中,因为,所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
通关二、椭圆的标准方程a,b,c的几何意义
椭圆标准方程中,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且
可借助右图帮助记忆

恰构成一个直角三角形的三条边,其中是斜边,,为两条直角边.
通关三、椭圆的几何性质
标准方程


图形


范围
-a≤x≤a, -b≤y≤b
-b≤x≤b, -a≤y≤a,
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(-c,0)F2(c,0)
F1(0,-c)F2(0,-c)
顶点
A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，-b)，B2(0,b)
A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)
轴
A1A2，B1B2为椭圆的长轴和短轴，长轴长2a，短轴长2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率

a,b,c的关系
c2=a2+b2
通关四、求椭圆的方程有两种方法
(1)定义法:根据椭圆的定义,确定的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)待定系数法:这种方法是求椭圆方程的常用方法,一般步骤是：
第一步,作判断:根据条件判断椭圆的焦,点是在轴上,还是在轴上,还是两个坐标轴都有可能(这时需要分类讨论);
第二步,设方程:根据上述判断设方程为或;
第三步,找关系:根据已知条件,建立关于的方程组(注意椭圆中固有的等式关系);第四步,得椭圆方程:解方程组,将解代入所设方程,即所求.评注:当椭圆焦点位置不明确时,可设为,也可设为,且.
结论一，椭圆定义的理解
设椭圆上的点到两焦点的距离之和为,则有,这一条件不能忽略.
(1)若,则点的轨迹是线段;
(2)若,则点的轨迹不存在.
【例1】设定点,动点满足条件|,则点的轨迹是（ ）.
A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段
【答案】
【解析】,当且仅当时取等号.当时,点的轨迹是线段;当时,点的轨迹是椭圆.故
选D.
【变式】已知椭圆的焦点为在椭上,在的延长线上,且,则点的轨迹形状为（ ）.
A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.两条平行线
【答案】
【解析】因为,即,所以点的轨迹为以为圆心,为半径的圆.故选.
结论二、椭圆上点的性质
若P为糊圆上一点,则.

【例2】已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为5,则到另一个焦点的距离为（ ）.
A.2 B.3 C.5 D.7
【答案】B
【解析】设所求距离为,由题意得.根据椭圆的定义得,所以.故选B.
変式若为椭圆上一点,分别是圆和上的点,则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】从题意中容易知道为椭圆的左右焦点,于是.于是有
.而,于是.故选.
结论三、焦点三角形的周长
若P为椭圆上一点,则的周长为定值.

【例3】已知椭圆的左、右焦点分别为,点在上,且的周长为16,则的值是（ ）.
A.2 B.3 C. D.4
【答案】D
【解析】设椭圆的长轴长为,焦距为,则.由椭圆定义可知,的周长为,所以
.因为,所以解得.故选.
【变式】已知椭圆的左、右焦点为,点关于直线的对称点仍在椭圆上,则的周长为_____________
【答案】
【解析】设关于直线的对称点的坐标为,点在椭圆上,则,则,则,故的周长为.
结论四、焦点三角形周长拓展
若AB过村圆的左焦,点则的周长为4a

【例4】过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的三角形的周长是___________
【答案】18
【解析】的周长,因为为椭圆上的点,故.故的周长为.
【变式】已知为椭圆的两个焦点,过的直线交尼圆于两点,若,则_____________
【答案】18
【解析】,故.
结论五、椭圆的标准方程
对于方程
(1)表示椭圆的充要条件为;
(2)表示焦点在轴上的椭圆的充要条件为;
(3)表示焦点在轴上的椭圆的充要条件为.
【例5】已知表示焦点在轴上的椭员,则的取值范围是（ ）.
A.或 B.
C. D.或
【答案】
【解析】由解得或.故选.
【变式】 若方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为方程,即表示焦点在轴上的椭圆,所以,,故.故选D.
结论六、椭圆的标准方程的求法
1.待定系数法:
(1)若能够根据题目中条件确定焦点位置,可先设出标准方程,再吐题设确定方程中的参数,即“先定型,再定量”.
(2)由题目中条件不能确定焦,点位置,一般需分类议论;有时也可设其方程的一般式:且.
2.定义法:
先分析题设条件,判断出动点的轨迹,然后根枯椭圆的定义确定方程,即“先定型,再定量".利用该方法求标准方程时,要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
【例6】已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,),则椭圆的方程为________
【答案】
【解析】设所求的椭圆方程为.因为椭圆经过两点,,所以,解得.故所求的椭圆标准方程为.
【变式】已知椭圆的中心在原点,长轴长为12,离心率为,则椭圆的方程是____________
答案或
【解析】由题意知,所以,故椭圆的标准方程为或.
结论七、椭圆的通径
过焦点作长轴垂线与粗圆的交点为$A,B,$则$AB$即为椭圆通径,.

【例7】椭圆的焦点为,过垂直于轴的直线交椭圆于一点,那么的值是________
【变式】
【解析】显然,于是可求得,所以.
【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,若是
一个直角三角形的三个顶点,则点到轴的距离为（ ）.
A. B.3 C. D.
【答案】
【解析】因为,所以顶角为直角的情况不存在;而底角为直角时,到轴的距离为通径的一半,即.故选.
结论八、椭圆的焦半径
若点在上,则（左加右减）

【例8】椭圆上点P横坐标为2,则点P到右焦点的距离为________________
【答案】
【解析】由椭圆方程可知,所以c2=9,e=34,PF2=a−ex0=4−34×2=52
【变式】已知椭圆,在椭圆上存在一点,它到两焦点距离之积为16,则点的坐标为___________
【答案】或
【解析】显然椭圆焦点在轴上,由椭圆方程得,所以.设,故由题意有=25-,解得.代人椭圆方程,得,所以所求点为或.
结论九、焦半径最值
F为椭圆的其中一个焦,点,若P是椭圆上的点,则a-c≤|PF|≤a+c

【例9】直线(其中是实数圆相交于两点,且是直角三角形是坐标原点),则点与点之间距离的最大值为（ ）.
A. B.2 C. D.
【答案】
【解析】圆的圆心到直线的距离为,所以,即.因此所求距离为椭圆上点到焦点的距离,其最大值为.故选A.
【变式】椭圆的右焦点为,其右准线与轴的交点为.在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】
【解析】1由题意,椭圆上存在点,使得线段的垂直平分线过点,即点到点与点的距离相等,而|,,于是,即
,所以.又,
故.故选D.
结论十、椭圆中的线段和差最值
设椭圆方程为 分别为構圆的左、右焦,点, 为平面上一定点, 为椭圆上任意一点.
1. 若定点 在椭圆内部, 则;
2. 若定点 在椭圆外部, 则 .

【例10】椭圆 的左焦点为 为椭圆上的动点, 是圆 上的动点,则 的最大值是_____________
【答案】17
【解析】圆 的圆心为 , 半径为 . 由椭圆方程 可知 , 所以 , 左焦点为 ,右焦点为

【变式】 已知椭圆的方程为，分别为椭圆的左、右焦点，点的坐标为，为椭圆上一点，则的最大值和最小值分别是______________，_______________
【答案】
【解析】因为,因此有，又,所以,即的最大值和最小值分别是和.
结论十一、焦点三角形面积
若点在上，设，则△的面积. ,即与短轴端点重合时面积最大.特别地，若,此三角形面积为.
【例11】已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若△的面积为，则_____________________
【答案】
【解析】 解法一 依题意，有，可得，即，故有.
解法二 由椭圆焦点三角形面积公式得,所以.
【变式】 已知是椭圆的焦点，点在椭圆上且，则△的面积为____
【答案】
【解析】利用椭圆焦点三角形面积公式得.
结论十二、焦点三角形内切圆
是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，△的内切圆半径为，则.
【例12】点是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且△的内切圆半径为，当在第一象限时，点的纵坐标为__________________
【答案】
【解析】,,所以.
【变式】 已知点为椭圆上一点，是椭圆的两个焦点,若△的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（ ）.
A. B. C. D.




【答案】
【解析】由椭圆的定义可知△的周长为.设△的内切圆半径为，则△的面积，整理得，又，，故得，所以椭圆的离心率为.故选.
结论十三、与焦点有关的三角形面积
已知是过焦点的弦，则的面积


.









【例13】椭圆=1的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点,则的周长为__________；若两点的坐标分别为和，且 的面积是1，则的值为 __________.
【答案】 8 1
【解析】因为，，所以的周长为
。因为,，所以,即c=1，所以=+=，即.
故填“8” “1”.
【变式】 椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点,则的周长是_______；若的内切圆的面积为，两点的坐标别为和，则的值为_________.
【答案】 16
【解析】因为，，所以周长为
.因为内切圆面积为,所以半径为1，即的面积为.又因为，所以即，所以=+=，即.
故填“16” “”.
结论十四、椭圆焦点弦弦长
已知椭圆，经过其焦点的直线交椭圆于两点，直线的倾斜角为，椭圆的离心率，则焦点弦长.
【例14】过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于两点，则为__________.
【答案】
【解析】由题知,所以.由焦点弦长公式得.
【变式】 过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直椭圆于两点,为坐标原点,则的面积为__________.
【答案】
【解析】由题知,所以.由焦点弦长公式得.过右焦点且斜率为2的直线方程，即,到的距离，所以.
结论十五、椭圆离心率的几何意义
当越趋近于1时，越接近于0,椭圆越扁;
当越趋近于0时,越接近于1, 椭圆越接近于圆.
【例15】已知焦点在轴上的椭圆方程,随着的增大该椭圆的形状( ).
A．越接近于圆 B.越扁
C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆
【答案】
【解析】椭圆方程为焦点在轴上的椭圆方程 ,所以 ,解得 ，
由于在不断增大，即离心率 不断减小,所以椭圆的形状越来越接近于圆.故选A.
【变式】 如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点第二次变轨进入仍以 为一个焦点的摊圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用和 , 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 和 ,分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式: ① ； ② ；
③ ； ④ ； 其正确式子的序号是(  ).
①③ ②③ ①④ ②④
【答案】
【解析】由題意知,故②正确,又因为椭圆由轨道Ⅱ变成轨道Ⅰ时越来越扁,设 为轨道Ⅰ和轨道Ⅱ对应的椭圆的离心率,所以， ,故③正确.故选B
结论十六、黄金椭圆
椭圆 中，若 成等比数列，即

【例16】 已知椭圆
(1)若长轴长、短轴长、焦距成等差数列,则该椭圆的离心率为______________
(2)若长轴长、短轴长、焦距成等比数列,则该椭圆的离心率为________________
【答案】 (1) (2)
【解析】(1)由题设可知,且,故,
即,即,所以
(2)由题设可知,且，故，即，由，可得，解得或（舍去），所以
【变式】 已知椭圆，A是椭圆长轴的一个端点,B是椭圆短轴的一个端点,F为椭圆的一个焦点，若,则该椭圆的离心率为（ ）。

【答案】 B
【解析】由射影定理有.故选B.
结论十七、离心率的定义表示
【例17】设分别是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段的中点在y轴上,若,则椭圆的离心率为( ）.

【答案】 A
【解析】本题存在焦点三角形,由线段的中点在y轴上,0为的中点,可得轴，从而,又因为，则直角三角形中，,且,所以. 故选A.
【变式】 在平面直角坐标系中,已知△ABC顶点B(−2,0)和C(2,0),顶点A在椭圆上，则____________
【答案】 2
【解析】 因为,.所以c2=4,即c=2.故B,C为椭圆的两焦点,所以
.
结论十八、离心率的正弦表示
设为椭圆的左右焦点,
P是椭圆上的动点,若,,则椭圆
的离心率为.
【例18】设椭圆的左、右焦点分别为,P是C上的点，， ,则C的离心率为( ).
A.36 B.13 C.12 D.33
【答案】 D
【解析】解法一 设,则,即
故选D.
解法二 .故选D.
【变式】 已知是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若,且∠PF2F1=60° ,则C的离心率为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一 设,则,,.故选D.

解法二 .故选D..
结论十九、离心率范围与焦点三角形顶角关系
设为椭圆的左、右焦点,P是椭圆上的动点,若
,则椭圆的离心率e的取值范围为
【例19】已知为椭圆的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使,则椭圆的离心率e的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】解法一 由椭圆上存在点 ,使,可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，所以c≥b,所以,所以,所以.
又0