四川省广安市第二中学2022-2023学年高二数学（文）下学期期中考试试题（Word版附解析）

广安二中2023年春高2021级半期考试

数学（文科）试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设命题p：，，则为（   ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题即可求解.

【详解】p：，，则：，，

故选:B

2. 复数等于（ ）

A. １+ｉ B. １－ｉ C. －１+ｉ D. －１－ｉ

【答案】A

【解析】

【详解】，选A

3. 命题是命题的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】解不等式得，

因为，所以，是必要不充分条件.

故选：B.

4. 等差数列的前n项和为，若公差，，为与的等比中项，则：（    ）

A. 15 B. 21 C. 30 D. 42

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出

【详解】由题意得，由，解得，

.

故选：A

5. 四川乐山沙湾区是一个人杰地灵的好地方，大文豪郭沫若先生就出生于此地.乐山沫若中学高二（7）班文学小组的同学们计划在郭老先生的5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》中，随机选两部排练节目参加艺术节活动，则《风凰涅槃》恰好被选中的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对5部历史剧编号，利用列举法求出概率作答.

【详解】记5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》分别为a，b，c，d，e，

从5部历史剧中随机选两部的试验含有的基本事件有：，共10个结果，

《风凰涅槃》恰好被选中事件含有的基本事件有：，共4个结果，

所以《风凰涅槃》恰好被选中的概率.

故选：B

6. 执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据程序框图循环结构计算得到，结合输出的结果为31，从而确定填入的条件为.

【详解】第一次，；

第二次，;

第三次，;

第四次，.

因为输出,所以循环终止，所以判断框中应填入的条件为.

故选：A

7. 函数的部分图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先判断出为偶函数，然后结合时，为负数，确定正确选项.

【详解】因为，所以是偶函数，则的图象关于轴对称，排除C，D；当时，，排除B.

故选：A

【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.

8. 若，则（    ）

A.  B.  C. －2 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】利用倍角公式和同角三角函数的关系变形化简求值.

【详解】若，则.

故选：A.

9. 直线被圆所截得弦长的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先判断直线与圆的位置关系，再由圆心与直线过的定点与直线垂直求解.

【详解】解：易知直线l过定点，圆心，

因为，

所以直线l与圆C相交，

当时，l被圆C所截得的弦最短，

此时弦长．

故选：A．

10. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A. 16 B. 12 C. 8 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.

【详解】对求导得，

由得，则，即，

所以，

当且仅当时取等号．

故选：D．

11. 已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（        ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件构造函数，，求函数的导数，确定函数的单调性，利用单调性比较函数值大小即可逐项判断，即可得到结论．

【详解】构造函数，，则，所以在上单调递增，

则，所以，即，故A不正确；

则，所以，即，故B不正确；

则，所以，即，故C正确；

则，所以，即，故D不正确.

故选：C.

12. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（    ）

A.  B. 3 C. 6 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合表示的值，进而得，再根据焦半径公式得，，进而求解直线的方程并与抛物线联立得，再用焦半径公式求解即可.

【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，

所以，.

又，所以，

设，则.

因为，

所以，所以，

所以，即.

所以，抛物线为，焦点为，准线为，

由得，解得，

所以，，

所以，直线的方程为

所以，联立方程得，解得，

所以，，

所以，

故选：B

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______．

【答案】15

【解析】

【分析】根据分层抽样原则直接计算即可

【详解】由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽人.

故答案为：15

14. 若实数x，y满足约束条件，设，则t的最大值为__________.

【答案】5

【解析】

【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将t=2x+y转化为y=﹣2x+t，结合函数图象求出t的最大值即可．

【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：

，

由，解得：A（2,1），

由t=2x+y得：y=﹣2x+t，

显然直线y=﹣2x+t过A（2,1）时，t最大，

故t的最大值是：t=4+1=5.

故答案为：5．

15. 平面向量满足,,则与的夹角为______.

【答案】

【解析】

【分析】将两边平方,再将,代入,即可求得夹角.

详解】解:由题知,

所以两边平方可得,

化简可得,

即,

即,

因为与的夹角范围为:,

所以与的夹角为.

故答案为:

16. 已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据对条件 做出的解释构造函数，利用函数的单调性求解.

【详解】对，且，恒有，即 ，所以函数 是增函数，

设 ，则在上单调递增，故 恒成立，

即，设 ，

当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；

故，即；

故答案为： .

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动．为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；

（2）在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到0.001）

参考公式及数据：，其中．

【答案】（1）中位数为72   

（2）表格见解析，有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．

【解析】

【分析】（1）运用频率分布直方图中位数计算公式可求得结果.

（2）计算出优秀人数完成列联表，再运用独立性检验判断即可.

【小问1详解】

因为，

所以竞赛成绩的中位数在内．

设竞赛成绩的中位数为m，则，解得，

所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72．

【小问2详解】

由（1）知，在抽取的100名学生中，

竞赛成绩为“优秀”的有：人，

由此可得完整的2×2列联表：

零假设：竞赛成绩是否优秀与性别无关.

因为，

所以有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．

18. 已知角，，的对边分别为，，，满足.

（1）求；

（2）若，求周长的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，由此求得正确答案.

（2）将表示为角的形式，然后利用三角函数值域的求法求得正确答案.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理得，即，

由余弦定理得，所以.

【小问2详解】

依题意，.

由正弦定理，

即周长

，

∵，∴，，

，

所以周长的取值范围.

19. 图甲所示的平面五边形中，，，，，，现将图甲所示中的沿边折起，使平面平面得如图乙所示的四棱锥．在如图乙所示中．

（1）求证：平面．

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）先证明，再由面面垂直的性质得出平面，再得出，再由线面垂直的判定定理得证；

（2）证明是三棱锥的高，再由体积公式计算即可.

【小问1详解】

，

平面平面，是交线，平面，

平面

又平面，

又，平面，

平面.

【小问2详解】

取中点，连接，如图，

由，可知，

又平面平面，是交线，平面，

平面，即三棱锥的高为，

由，，知，

由知，

,

,

.

20. 若椭圆过抛物线焦点，且与双曲线有相同的焦点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．

【答案】（1）   

（2）面积的最大值为，此时直线的方程为

【解析】

【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解；

(2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.

【小问1详解】

抛物线的焦点为，所以，

因为双曲线的焦点坐标为，

所以则，

所以椭圆E的方程为.

【小问2详解】

设，

联立可得，

因为直线与椭圆E交于A、B两点，

所以解得，

由韦达定理可得，

由弦长公式可得，

点到直线的距离为，

所以

当且仅当即时取得等号，

所以面积的最大值为，此时直线的方程为.

21. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）求导后分解因式，分类讨论即可得到函数的单调性；（2）由题意求出，转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值，即可求解.

【小问1详解】

（1）

若时，，在上单调递增；

若时，，当或时，，为增函数，

当时，，为减函数，

若时，，当或时，，为增函数，

当时，，为减函数.

综上，时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在和上单调递增，在上单调递减.

【小问2详解】

由，解得 ，

所以，

由时，，可知在上恒成立

可化为在上恒成立，设，

则，

设，则 ，所以在上单调递增，

又，，

所以方程有且只有一个实根，且 ，，

所以在上，， 单调递减，在上，，单调递增，

所以函数的最小值为，

从而，又为整数，所以的最大值为：.

【点睛】解答本题的难点在于得到后，不能求出的零点，需要根据的单调性及零点存在定理得到的大致范围，再利用的范围及求解即可.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设点，直线l与曲线C交于点A，B．求证：．

【答案】（1），   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.

（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.

【小问1详解】

将直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程为．∵

∴直线l的极坐标方程为

∴由曲线C的极坐标方程   

化为直角坐标方程为.

【小问2详解】

将代入得

设点A、B对应的参数为，则

∵

∴.

∴.