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2022-2023学年陕西省西安市碑林区西北大学附中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年陕西省西安市碑林区西北大学附中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市碑林区西北大学附中八年级（下）第一次月考数学试卷
一、单选题（共30分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
2．如图，点A、B分别在直线a、b上，且直线a∥b，以点A为圆心，AB长为半径画弧交直线a于点C，连接BC，若∠2＝70°，则∠1＝（ ）
A．50° B．40° C．60° D．70°
3．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．ac2＞bc2 B． C． D．﹣a＜﹣b
4．不等式ax+b＞0（a＜0）的解集是（ ）
A．x＞﹣ B．x＜﹣ C．x＞ D．x＜
5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
8．如图，一次函数y＝﹣x+b与y＝kx﹣1的图象交于点P，与x轴交于点B．已知点P的纵坐标为3，点B的横坐标为4，则不等式﹣x+b＞kx﹣1的解集为（ ）
A．x＜1 B．x＞1.5 C．x＜1.5 D．x＞1
9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6，则CD的长度为（ ）
A．4 B．4 C．5 D．3
10．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝28°，则∠CDE＝（ ）
A．14° B．16° C．20° D．12°
二、填空题（共18分）
11．等腰三角形的两边长为6cm和3cm，那么它的周长是 ．
12．若不等式0.5x﹣1＞x与ax﹣6＞5x的解集相同，则a＝ ．
13．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝10cm，那么AF＝ cm．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是 ．
15．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则a的取值范围为 ．
16．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 ．
三、解答题（共72分）
17．解不等式：
（1）4（x﹣1）+3＞3x；
（2） 1．
18．解下列不等式组并把解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法）
20．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
21．若关于x的不等式组的整数解共2个，求m的取值范围．
22．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数关系式是 ．
乙种收费的函数关系式是 ．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
23．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数．
24．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．
25．如图所示，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD交于点P，且分别与CD、CE交于点M，N，证明：
（1）△ACE≌△DCB；
（2）CM＝CN；
（3）∠APD＝60°．
参考答案
一、单选题（共30分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2AC．
解：Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．比较简单．
2．如图，点A、B分别在直线a、b上，且直线a∥b，以点A为圆心，AB长为半径画弧交直线a于点C，连接BC，若∠2＝70°，则∠1＝（ ）
A．50° B．40° C．60° D．70°
【分析】在△ABC中，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由直线a∥b，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠1的度数．
解：在△ABC中，AB＝AC，∠2＝70°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°×2＝40°．
又∵a∥b，
∴∠1＝∠BAC＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及平行线的性质，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠BAC的度数是解题的关键．
3．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．ac2＞bc2 B． C． D．﹣a＜﹣b
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A、∵a＞b，
∴ac2≥bc2，
故本选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴，
故本选项不符合题意；
C、a＞b，当a＝2，b＝1时，可得，
故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．不等式ax+b＞0（a＜0）的解集是（ ）
A．x＞﹣ B．x＜﹣ C．x＞ D．x＜
【分析】移项、系数化成1即可求解．
解：移项，得ax＞﹣b，
系数化成1得x＜﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了利用不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
【分析】根据不等式组无解得出a﹣1≥2，求出即可．
解：∵关于x的不等式组无解，
∴a﹣1≥2，
∴a≥3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次不等式，能得出关于a的不等式是解此题的关键．
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD＝BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．
解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，
∵AB＝7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+7＝17．
故选：C．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
8．如图，一次函数y＝﹣x+b与y＝kx﹣1的图象交于点P，与x轴交于点B．已知点P的纵坐标为3，点B的横坐标为4，则不等式﹣x+b＞kx﹣1的解集为（ ）
A．x＜1 B．x＞1.5 C．x＜1.5 D．x＞1
【分析】把B（4，0）代入y＝﹣x+b中求出b得到一次函数y＝﹣x+b的解析式为y＝﹣x+4，再利用此解析式确定P点坐标，然后结合函数图象，写出直线y＝﹣x+b在直线y＝kx﹣1的上方所对应的自变量的范围即可．
解：把B（4，0）代入y＝﹣x+b得﹣4+b＝0，
解得b＝4，
∴一次函数y＝﹣x+b的解析式为y＝﹣x+4，
当y＝3时，﹣x+4＝3，
解得x＝1，
∴P点坐标为（1，3），
∴不等式﹣x+b＞kx﹣1的解集为x＜1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：通过比较函数图象的高低得到函数值的大小关系，从而确定对应的自变量的范围．
9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6，则CD的长度为（ ）
A．4 B．4 C．5 D．3
【分析】延长BD交AC于点E，利用角平分线的定义可得∠BCD＝∠ECD，再根据垂直定义可得∠BDC＝∠EDC＝90°，从而利用ASA可证△BDC≌△EDC，然后利用全等三角形的性质可得BD＝DE，BC＝EC＝6，从而可得AE＝4，再利用等角对等边可得AE＝BE＝4，从而可得BD＝DE＝2，最后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
解：延长BD交AC于点E，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△BDC≌△EDC（ASA），
∴BD＝DE，BC＝EC＝6，
∵AC＝10，
∴AE＝AC﹣EC＝10﹣6＝4，
∵∠A＝∠ABD，
∴AE＝BE＝4，
∴BD＝DE＝BE＝2，
在Rt△CDE中，CD＝＝＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝28°，则∠CDE＝（ ）
A．14° B．16° C．20° D．12°
【分析】利用三角形的外角性质，可得出∠AED＝∠C+∠CDE，结合∠ADE＝∠AED，可得出∠ADE＝∠C+∠CDE，利用三角形的外角性质，可得出∠ADC＝∠B+∠BAD，进而可得出∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，再结合∠B＝∠C及∠BAD＝28°，即可求出∠CDE的度数．
解：∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C+∠CDE，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠C+∠CDE．
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+∠CDE＝∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
又∵∠B＝∠C，∠BAD＝28°，
∴∠CDE＝∠BAD＝×28°＝14°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
二、填空题（共18分）
11．等腰三角形的两边长为6cm和3cm，那么它的周长是 15cm ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当腰为3cm时，3+3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为6+6+3＝15cm．
故答案为：15cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
12．若不等式0.5x﹣1＞x与ax﹣6＞5x的解集相同，则a＝ 2 ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据两不等式解集相同，列出等式，求a的值．
解：由0.5x﹣1＞x得，x＜﹣2，
由ax﹣6＞5x得，（a﹣5）x＞6，
因为不等式0.5x﹣1＞x与ax﹣6＞5x的解集相同，
x＜，由于不等号的方向发生了改变，
故a﹣5＜0，a＜5，
且＝﹣2，
解得a＝2，符合a＜5的要求．
故答案为：2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．
13．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝10cm，那么AF＝ 5 cm．
【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算即可．
解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝5，
∵FC∥DE，
∴∠AFC＝∠D＝45°，
∴FC＝AC＝5，
由勾股定理得，AF＝＝5（cm），
故答案为：5．
【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是 3或3 ．
【分析】分①三角形是钝角三角形时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD＝AB，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABC＝30°，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答，②三角形是锐角三角形时，判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答．
解：①三角形是钝角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝×6＝3，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD＝（90°﹣30°）＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC，
∴底边BC上的高AE＝AD＝3；
②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴底边上的高为×6＝3，
综上所述，底边上的高是3或3．
故答案为：3或3．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
15．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则a的取值范围为 a＞﹣1 ．
【分析】先解方程组得出，根据x+y＞0得出关于a的不等式，解之即可．
解：解方程组得：，
∵x+y＞0，
∴2a﹣1+2﹣a＞0，
解得a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 40° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，得到∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，结合图形计算即可．
解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．解不等式：
（1）4（x﹣1）+3＞3x；
（2） 1．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：（1）4x﹣4+3＞3x，
4x﹣3x＞4﹣3，
∴x＞1；
（2）2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，
4x﹣2﹣9x﹣2≤6，
4x﹣9x≤6+2+2，
﹣5x≤10，
∴x≥﹣2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．
18．解下列不等式组并把解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
（2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
解：（1），
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x＜3，
所以不等式组的解集是2＜x＜3，
在数轴上表示为：
；
（2），
解不等式①得：x＞2.5，
解不等式②得：x≤4，
所以不等式组的解集是2.5＜x≤4，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠ABC的角平分线交AD于点P，点P即为所求．
解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
【分析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．若关于x的不等式组的整数解共2个，求m的取值范围．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解情况可得m的范围．
解：由x﹣m＜0得：x＜m，
由5﹣2x＜1得：x＞2，
∵不等式组的整数解共2个，
∴不等式组的整数解为3、4，
则4＜m≤5．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数关系式是 y1＝0.1x+6（x≥0） ．
乙种收费的函数关系式是 y2＝0.12x（x≥0） ．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
【分析】（1）设甲种收费的函数关系式y1＝kx+b，乙种收费的函数关系式是y2＝k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；
（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1＝y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．
解：（1）设甲种收费的函数关系式y1＝kx+b，乙种收费的函数关系式是y2＝k1x，由题意，得
，
∴12＝100k1，
解得：，
∴k1＝0.12，
∴y1＝0.1x+6（x≥0），y2＝0.12x（x≥0）．
故答案为：y1＝0.1x+6（x≥0）；y2＝0.12x（x≥0）．
（2）由题意，得
当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；
当y1＝y2时，0.1x+6＝0.12x，得x＝300；
当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；
∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算；
当x＝300时，甲、乙两种方式一样合算；
当300＜x≤450时，选择甲种方式合算．
答：印制100～300（含100）份学案，选择乙种印刷方式较合算，印制300份学案，甲、乙两种印刷方式都一样合算，印制300～450（含450）份学案，选择甲种印刷方式较合算．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点．
23．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数．
【分析】根据线段垂直平分线上的性质得到EB＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB，根据三角形内角和定理、三角形的外角性质计算即可．
解：∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵EB＝EC，BE＝AC，
∴AC＝EC，
∴∠AEC＝∠EAC＝×（180°﹣12°）＝84°，
∴∠EBC＝∠ECB＝∠AEC＝42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠CBF＝21°，
∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．
【分析】（1）分0＜t≤3和3＜t≤5两种情况，表示出BQ的长度，根据三角形的面积公式可得；
（2）根据线段的垂直平分线的性质求出CP＝CQ，列出方程42+t2＝（5﹣t）2，求出即可；
解：（1）如图1，当0＜t≤3时，
BQ＝t，BC＝4，
∴S＝×4×t＝2t；
如图2，当3＜t≤5时，
，
AQ＝t﹣3，
则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
∴S＝×4×（6﹣t）＝12﹣2t；
（2）连接CQ，如图3，
∵QP的垂直平分线过点C，
∴CP＝CQ，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，
∴42+t2＝（5﹣t）2，解得t＝；
或42+（6﹣t）2＝（5﹣t）2，显然不成立；
∴AQ＝3﹣＝．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形面积，熟练掌握三角形面积公式和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
25．如图所示，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD交于点P，且分别与CD、CE交于点M，N，证明：
（1）△ACE≌△DCB；
（2）CM＝CN；
（3）∠APD＝60°．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质证明即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可．
【解答】证明：（1）∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴AC＝CD，CE＝BC，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC＝∠DBC，
∵∠DCE+∠ACD+∠ECB＝180°，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠DCE＝∠ECB＝60°，
∵CE＝BC，∠DCE＝∠ECB＝60°，∠AEC＝∠DBC，
在△EMC与△BNC中，
，
∴△EMC≌△BNC（ASA），
∴CM＝CN；
（3）∵∠MDP+∠DMP+∠APD＝∠MAC+∠AMC+∠ACM，
∴∠APD＝∠ACM＝60°．
【点评】考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答．
2022-2023学年陕西省西安市碑林区西北大学附中八年级（下）第一次月考数学试卷
一、单选题（共30分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
2．如图，点A、B分别在直线a、b上，且直线a∥b，以点A为圆心，AB长为半径画弧交直线a于点C，连接BC，若∠2＝70°，则∠1＝（ ）
A．50° B．40° C．60° D．70°
3．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．ac2＞bc2 B． C． D．﹣a＜﹣b
4．不等式ax+b＞0（a＜0）的解集是（ ）
A．x＞﹣ B．x＜﹣ C．x＞ D．x＜
5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
8．如图，一次函数y＝﹣x+b与y＝kx﹣1的图象交于点P，与x轴交于点B．已知点P的纵坐标为3，点B的横坐标为4，则不等式﹣x+b＞kx﹣1的解集为（ ）
A．x＜1 B．x＞1.5 C．x＜1.5 D．x＞1
9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6，则CD的长度为（ ）
A．4 B．4 C．5 D．3
10．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝28°，则∠CDE＝（ ）
A．14° B．16° C．20° D．12°
二、填空题（共18分）
11．等腰三角形的两边长为6cm和3cm，那么它的周长是 ．
12．若不等式0.5x﹣1＞x与ax﹣6＞5x的解集相同，则a＝ ．
13．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝10cm，那么AF＝ cm．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是 ．
15．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则a的取值范围为 ．
16．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 ．
三、解答题（共72分）
17．解不等式：
（1）4（x﹣1）+3＞3x；
（2） 1．
18．解下列不等式组并把解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法）
20．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
21．若关于x的不等式组的整数解共2个，求m的取值范围．
22．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数关系式是 ．
乙种收费的函数关系式是 ．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
23．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数．
24．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．
25．如图所示，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD交于点P，且分别与CD、CE交于点M，N，证明：
（1）△ACE≌△DCB；
（2）CM＝CN；
（3）∠APD＝60°．
参考答案
一、单选题（共30分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2AC．
解：Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．比较简单．
2．如图，点A、B分别在直线a、b上，且直线a∥b，以点A为圆心，AB长为半径画弧交直线a于点C，连接BC，若∠2＝70°，则∠1＝（ ）
A．50° B．40° C．60° D．70°
【分析】在△ABC中，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由直线a∥b，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠1的度数．
解：在△ABC中，AB＝AC，∠2＝70°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°×2＝40°．
又∵a∥b，
∴∠1＝∠BAC＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及平行线的性质，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠BAC的度数是解题的关键．
3．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．ac2＞bc2 B． C． D．﹣a＜﹣b
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A、∵a＞b，
∴ac2≥bc2，
故本选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴，
故本选项不符合题意；
C、a＞b，当a＝2，b＝1时，可得，
故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．不等式ax+b＞0（a＜0）的解集是（ ）
A．x＞﹣ B．x＜﹣ C．x＞ D．x＜
【分析】移项、系数化成1即可求解．
解：移项，得ax＞﹣b，
系数化成1得x＜﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了利用不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
【分析】根据不等式组无解得出a﹣1≥2，求出即可．
解：∵关于x的不等式组无解，
∴a﹣1≥2，
∴a≥3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次不等式，能得出关于a的不等式是解此题的关键．
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD＝BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．
解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，
∵AB＝7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+7＝17．
故选：C．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
8．如图，一次函数y＝﹣x+b与y＝kx﹣1的图象交于点P，与x轴交于点B．已知点P的纵坐标为3，点B的横坐标为4，则不等式﹣x+b＞kx﹣1的解集为（ ）
A．x＜1 B．x＞1.5 C．x＜1.5 D．x＞1
【分析】把B（4，0）代入y＝﹣x+b中求出b得到一次函数y＝﹣x+b的解析式为y＝﹣x+4，再利用此解析式确定P点坐标，然后结合函数图象，写出直线y＝﹣x+b在直线y＝kx﹣1的上方所对应的自变量的范围即可．
解：把B（4，0）代入y＝﹣x+b得﹣4+b＝0，
解得b＝4，
∴一次函数y＝﹣x+b的解析式为y＝﹣x+4，
当y＝3时，﹣x+4＝3，
解得x＝1，
∴P点坐标为（1，3），
∴不等式﹣x+b＞kx﹣1的解集为x＜1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：通过比较函数图象的高低得到函数值的大小关系，从而确定对应的自变量的范围．
9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6，则CD的长度为（ ）
A．4 B．4 C．5 D．3
【分析】延长BD交AC于点E，利用角平分线的定义可得∠BCD＝∠ECD，再根据垂直定义可得∠BDC＝∠EDC＝90°，从而利用ASA可证△BDC≌△EDC，然后利用全等三角形的性质可得BD＝DE，BC＝EC＝6，从而可得AE＝4，再利用等角对等边可得AE＝BE＝4，从而可得BD＝DE＝2，最后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
解：延长BD交AC于点E，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△BDC≌△EDC（ASA），
∴BD＝DE，BC＝EC＝6，
∵AC＝10，
∴AE＝AC﹣EC＝10﹣6＝4，
∵∠A＝∠ABD，
∴AE＝BE＝4，
∴BD＝DE＝BE＝2，
在Rt△CDE中，CD＝＝＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝28°，则∠CDE＝（ ）
A．14° B．16° C．20° D．12°
【分析】利用三角形的外角性质，可得出∠AED＝∠C+∠CDE，结合∠ADE＝∠AED，可得出∠ADE＝∠C+∠CDE，利用三角形的外角性质，可得出∠ADC＝∠B+∠BAD，进而可得出∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，再结合∠B＝∠C及∠BAD＝28°，即可求出∠CDE的度数．
解：∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C+∠CDE，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠C+∠CDE．
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+∠CDE＝∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
又∵∠B＝∠C，∠BAD＝28°，
∴∠CDE＝∠BAD＝×28°＝14°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
二、填空题（共18分）
11．等腰三角形的两边长为6cm和3cm，那么它的周长是 15cm ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当腰为3cm时，3+3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为6+6+3＝15cm．
故答案为：15cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
12．若不等式0.5x﹣1＞x与ax﹣6＞5x的解集相同，则a＝ 2 ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据两不等式解集相同，列出等式，求a的值．
解：由0.5x﹣1＞x得，x＜﹣2，
由ax﹣6＞5x得，（a﹣5）x＞6，
因为不等式0.5x﹣1＞x与ax﹣6＞5x的解集相同，
x＜，由于不等号的方向发生了改变，
故a﹣5＜0，a＜5，
且＝﹣2，
解得a＝2，符合a＜5的要求．
故答案为：2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．
13．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝10cm，那么AF＝ 5 cm．
【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算即可．
解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝5，
∵FC∥DE，
∴∠AFC＝∠D＝45°，
∴FC＝AC＝5，
由勾股定理得，AF＝＝5（cm），
故答案为：5．
【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是 3或3 ．
【分析】分①三角形是钝角三角形时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD＝AB，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABC＝30°，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答，②三角形是锐角三角形时，判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答．
解：①三角形是钝角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝×6＝3，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD＝（90°﹣30°）＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC，
∴底边BC上的高AE＝AD＝3；
②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴底边上的高为×6＝3，
综上所述，底边上的高是3或3．
故答案为：3或3．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
15．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则a的取值范围为 a＞﹣1 ．
【分析】先解方程组得出，根据x+y＞0得出关于a的不等式，解之即可．
解：解方程组得：，
∵x+y＞0，
∴2a﹣1+2﹣a＞0，
解得a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 40° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，得到∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，结合图形计算即可．
解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．解不等式：
（1）4（x﹣1）+3＞3x；
（2） 1．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：（1）4x﹣4+3＞3x，
4x﹣3x＞4﹣3，
∴x＞1；
（2）2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，
4x﹣2﹣9x﹣2≤6，
4x﹣9x≤6+2+2，
﹣5x≤10，
∴x≥﹣2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．
18．解下列不等式组并把解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
（2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
解：（1），
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x＜3，
所以不等式组的解集是2＜x＜3，
在数轴上表示为：
；
（2），
解不等式①得：x＞2.5，
解不等式②得：x≤4，
所以不等式组的解集是2.5＜x≤4，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠ABC的角平分线交AD于点P，点P即为所求．
解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
【分析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．若关于x的不等式组的整数解共2个，求m的取值范围．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解情况可得m的范围．
解：由x﹣m＜0得：x＜m，
由5﹣2x＜1得：x＞2，
∵不等式组的整数解共2个，
∴不等式组的整数解为3、4，
则4＜m≤5．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数关系式是 y1＝0.1x+6（x≥0） ．
乙种收费的函数关系式是 y2＝0.12x（x≥0） ．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
【分析】（1）设甲种收费的函数关系式y1＝kx+b，乙种收费的函数关系式是y2＝k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；
（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1＝y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．
解：（1）设甲种收费的函数关系式y1＝kx+b，乙种收费的函数关系式是y2＝k1x，由题意，得
，
∴12＝100k1，
解得：，
∴k1＝0.12，
∴y1＝0.1x+6（x≥0），y2＝0.12x（x≥0）．
故答案为：y1＝0.1x+6（x≥0）；y2＝0.12x（x≥0）．
（2）由题意，得
当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；
当y1＝y2时，0.1x+6＝0.12x，得x＝300；
当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；
∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算；
当x＝300时，甲、乙两种方式一样合算；
当300＜x≤450时，选择甲种方式合算．
答：印制100～300（含100）份学案，选择乙种印刷方式较合算，印制300份学案，甲、乙两种印刷方式都一样合算，印制300～450（含450）份学案，选择甲种印刷方式较合算．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点．
23．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数．
【分析】根据线段垂直平分线上的性质得到EB＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB，根据三角形内角和定理、三角形的外角性质计算即可．
解：∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵EB＝EC，BE＝AC，
∴AC＝EC，
∴∠AEC＝∠EAC＝×（180°﹣12°）＝84°，
∴∠EBC＝∠ECB＝∠AEC＝42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠CBF＝21°，
∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．
【分析】（1）分0＜t≤3和3＜t≤5两种情况，表示出BQ的长度，根据三角形的面积公式可得；
（2）根据线段的垂直平分线的性质求出CP＝CQ，列出方程42+t2＝（5﹣t）2，求出即可；
解：（1）如图1，当0＜t≤3时，
BQ＝t，BC＝4，
∴S＝×4×t＝2t；
如图2，当3＜t≤5时，
，
AQ＝t﹣3，
则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
∴S＝×4×（6﹣t）＝12﹣2t；
（2）连接CQ，如图3，
∵QP的垂直平分线过点C，
∴CP＝CQ，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，
∴42+t2＝（5﹣t）2，解得t＝；
或42+（6﹣t）2＝（5﹣t）2，显然不成立；
∴AQ＝3﹣＝．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形面积，熟练掌握三角形面积公式和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
25．如图所示，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD交于点P，且分别与CD、CE交于点M，N，证明：
（1）△ACE≌△DCB；
（2）CM＝CN；
（3）∠APD＝60°．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质证明即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可．
【解答】证明：（1）∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴AC＝CD，CE＝BC，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC＝∠DBC，
∵∠DCE+∠ACD+∠ECB＝180°，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠DCE＝∠ECB＝60°，
∵CE＝BC，∠DCE＝∠ECB＝60°，∠AEC＝∠DBC，
在△EMC与△BNC中，
，
∴△EMC≌△BNC（ASA），
∴CM＝CN；
（3）∵∠MDP+∠DMP+∠APD＝∠MAC+∠AMC+∠ACM，
∴∠APD＝∠ACM＝60°．
【点评】考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答．
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