2023年中考押题预测卷01（四川成都卷）-数学（全解全析）

这是一份2023年中考押题预测卷01（四川成都卷）-数学（全解全析），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考押题预测卷01【四川成都卷】
数学·全解全析
A卷
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
D
D
A
C
C
B
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．的相反数是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义即可得到答案．
【详解】解：的相反数是．
故选：C
【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．让我们感受“数”读二十大：全国八百三十二个贫困县全部摘帽、近1亿农村贫困人口实现脱贫、近九百六十万贫困人口实现易地搬迁……其中，九百六十万用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用科学记数法的表示方法表示成的形式即可
【详解】∵九百六十万，
∴九百六十万用科学记数法表示为：
故选：B．
【点睛】此题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列运算正确的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由同底数幂的乘法可判断A，有幂的乘方可判断B，由完全平方公式可判断C，由合并同类项可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方和完全平方公式的应用，掌握以上基础运算是解本题的关键．
4．如图，在平行四边形中，的平分线交于点B，的平分线交于点F，若，，则的长是（   ）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质证明，，进而可得和的长，然后可得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，
∵，∴，，
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
5．学生的心理健康问题越来越被关注，为了了解学生的心理健康状况，某中学从该校2000名学生中随机抽取500名学生进行问卷调查，下列说法正确的是（    ）
A．每一名学生的心理健康状况是个体 B．2000名学生是总体
C．500名学生是总体的一个样本 D．500名学生是样本容量
【答案】A
【分析】根据个体、总体、样本、样本的容量的定义，逐项分析即可求解．
【详解】A. 每一名学生的心理健康状况是个体，故该选项正确，符合题意；
B. 2000名学生的心理健康状况是总体，故该选项不正确，不符合题意；
C. 500名学生的心理健康状况是总体的一个样本，故该选项不正确，不符合题意；
D. 500是样本容量，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了个体、总体、样本、样本的容量的定义，理解定义是解题的关键．(1)总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；(2)个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；(3)样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；（4）样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位．
6．如图是以点O为圆心，直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接．设与直径交于点E．若，则（　　 ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等边对等角和圆周角定理证明，再由折叠的性质得到，进一步由等边对等角得到，设，则，，再根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵将该圆形纸片沿直线对折，
∴，
又∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，证明是解题的关键．
7．《九章算术方程》中讲到∶“今有上和七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗．下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实- -秉各几何？ ”其译文为∶“今有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗：下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗，问上禾、下禾1束得果实多少？设上禾、下禾1束各得果实x，y斗，则可列方程为（      ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设上禾、下禾1束各得果实x，y斗，根据“有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗：下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设上禾、下禾1束各得果实x，y斗，根据题意得：
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
8．已知二次函数的图像如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数图像与性质，由图像可知，开口向下，得到；对称轴为，从而得到，进而得到；函数图像与轴交于其正半轴，得到，确定①正确；由图知当时，，②错误；由题意知当时，，③错误；由图知其与轴有两个交点，从而对应的，④正确．
【详解】解：由图像可知，开口向下，得到；对称轴为，从而得到，进而得到；函数图像与轴交于其正半轴，得到；
，即，①正确；
由图知当时，，②错误；
对称轴，则由图像可知其与轴正半轴交点在左边，
当时，，③错误；
由图知其与轴有两个交点，从而对应的，④正确；
综上所述，正确结论是①④，
故选：B．
【点睛】本题考查由二次函数图像与性质确定代数式符号，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．若计算的结果中不含关于字母x的一次项，则a的值为_________．
【答案】
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含的一次项，确定出的值即可．
【详解】解：


∵计算的结果中不含关于字母x的一次项，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．如图，已知直角三角形中，，，将△ABO绕O点旋转至的位置，且为中点，在反比例函数上，则k的值__________．

【答案】
【分析】连接，作轴于点E，先证明是等边三角形，求出，，再得出，进而得出，求出 ，即可得出答案．
【详解】解：连接，作轴于点E，

由题意可得：，是的中点，
，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵在反比例函数上，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查求反比例函数的解析式，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，正确得出是解本题的关键．
11．如图，在△ABC中，，点在上，的延长线交△ABC的外接圆于点，若，．则长为______．

【答案】6
【分析】首先根据等腰三角形的性质及圆周角定理，可证得，即可证得△AEC∽△ACD，再根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
又，
∴△AEC∽△ACD，
，得，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，证得是解决本题的关键．
12．若分式方程有增根，则的值是________．
【答案】
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根得到，然后将x的值代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：原式
分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键．
13．如图，正方形的边长为2，是对角线上一动点，于点，于点，连接．给出四种情况：
若为上任意一点，则；
若，则；
若为的中点，则四边形是正方形；
若，则；
则其中正确的是___________．

【答案】
【分析】连接，根据正方形的性质得到，由， ，得到四边形为矩形，从而得到，再通过证明，得到，从而得到；
由正方形的性质、等腰三角形的性质、余角的性质即可得到答案；
由正方形的性质和，，可得到，再证明，得到，即可得到答案；
作交于，根据三角形相似得到，从而得到，再根据三角形的面积计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
，
四边形是正方形，为对角线，
，
， ，
，
四边形为矩形，
，
在和△CDG中，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
四边形是正方形，为对角线，
，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
根据题意，画出图如图所示，
，
由可知，四边形为矩形，
四边形是正方形，为对角线，
，
，
，
，
为的中点，
，
在△BFG和△GED中，
，
，
，

四边形为正方形，
故正确，符合题意；
如图所示，作交于，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
，
正方形的边长为2，
，
，
故正确，符合题意；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质、矩形的判定、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的判定和性质、矩形的判定、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）(1)计算：
【答案】
【分析】先进行有理数的乘方、特殊角的三角函数、绝对值和零指数幂运算，再进行加减运算即可求解．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及有理数的乘方、特殊角的三角函数、化简绝对值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
(2)先化简，再求值：，其中x满足
【答案】，2023
【分析】根据分式的混合运算法则把已知化简，整体代入计算即可．
【详解】解：原式


，
，
，
原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
15．（8分）为了开阔学生的数学视野，培养学生的数学素养，阳光中学在课后服务时间举行数学思想方法的系列讲座，设置了如下四个主题：A．数形结合思想；B．分类讨论思想；C．转化与化归思想；D．函数与方程思想．由于时间的限制，每个学生只能选择其中一个主题进行学习，在选择参与主题讲座的学生中随机抽查了部分学生选择的结果，进行统计、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
学生选择主题讲座统计表
类别
频数
频率
A
18
a
B
20
0.4
C
m
0.16
D
4
b
合计
n
l
学生选择主题讲座条形统计图

请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)________，________，并将条形统计图补充完整；
(2)已知阳光中学共有2000名学生报名参与主题讲座，估计参加“函数与方程思想”主题讲座的学生有多少人；
(3)已知阳光中学九年级的甲、乙、丙、丁四位同学被评为这次学习的积极分子，现要从中随机抽取2名同学谈谈学习心得体会，请用列表法或画树状图的方法求出甲、乙两位同学都被选中的概率．
【答案】(1)0.36，8；图见解析；(2)160人；(3)
【分析】（1）先求出抽查学生总人数，再用18除以50，即可求出a；用50乘以0.16即可求出m的值；
（2）求出50人中参加“函数与方程思想”主题讲座的学生所占的百分比，再乘以2000即可求解；
（3）画出树状图，求出所有可能的结果和甲、乙两位同学都被选中的结果，即可求解．
【详解】（1）抽查学生总人数为：（人），
∴，．
故答案为：0.36，8；
补全条形统计图如图所示：
学生选择主题讲座条形统计图

（2）（人），
∴估计参加“函数与方程思想”主题讲座的学生有160人；
（3）画树状图如下：

由图可知，一共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学都被选中的结果有2种，
∴甲、乙两位同学都被选中的概率为．
【点睛】本题考查数据的整理与分析，解题的关键是根据图中的表格，正确分析相关的数据．
16．（8分）近年来我国的无人机技术飞速发展，吸引了大批无人机爱好者，如图，某校无人机社团的同学们用无人机航拍校园，当无人机在学校上空C点时，测得学校最西边A的俯角为，测得最东边B的俯角为，测得米（A，B，D在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，）

(1)求无人机飞行的高度；
(2)求学校东西方向的宽度．
【答案】(1)无人机飞行的高度为60米；(2)学校东西方向的宽度为200米．
【分析】（1）在中，根据正弦函数解答即可；
（2）在中，根据余弦函数求得的长，在中，根据正切函数求得的长，据此解答即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴（米）．
答：无人机飞行的高度为60米；
（2）解：在中，（米）．
在中，，
∴，米，
∴（米）．
答：学校东西方向的宽度为200米．
【点睛】此题考查了解直角三角形，能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．注意方程思想与数形结合思想的应用．
17．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，的平分线交于点D，交⊙O于点E，连接，作，交的延长线于点F

(1)试判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求⊙O的半径和的长．
【答案】(1)相切，理由见解析;(2) ⊙O的半径为3.5，
【分析】（1）如图：连接OE，OC，根据角平分线的定义可得，即，则；再根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后根据平行线的性质可得，再由是的半径即可证明结论；
（2）设⊙O的半径为x，则，，再在中运用勾股定理求得x，即可求得半径；由AB是的直径可得、结合可得，进而说明，再结合可得，运用相似三角形的性质列式可求得；在中运用勾股定理可得，即；最后运用平行线等分线段定理即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接OE，OC
∵平分，
∴
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴
∵是⊙O的半径
∴是⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为x，则，，
在中，由勾股定理可得，
∴，解得：，
∴⊙O的半径为3.5
∵AB是的直径，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，解得，
∴
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合运用相关知识成为解答本题的关键．
18．（10分）如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，过B作轴于点C，且．

(1)求k的值；
(2)设点P为反比例函数的图象上一点，过点P作轴交直线于点Q，连接，若的面积．求点Q的坐标；
(3)设点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点M使得最小？若存在，求出点M的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)存在，，
【分析】（1）先求出，即有，根据，可得，即有，进而求出，问题得解；
（2）根据（1）可得反比例函数的解析式为：，设点P的横坐标为，则纵坐标为：，根据轴，可得点P的横坐标与点Q的横坐标相等，即点Q的纵坐标为：，即可得，根据和 的面积，可得，解方程即可求解；
（3）过D点作关于x轴的对称点N，连接，交y轴于点M，连接，根据对称可知：，即有，当且仅当M、N、B三点共线时，最小，最小为，即上图所找到的M即为所求的点，利用待定系数法求出直线的解析式为：，即，利用勾股定理可得，问题得解．
【详解】（1）当时，，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当时，，即，
∵点B在反比例函数的图象，
∴，
∴；
（2）如图，

根据（1）可得反比例函数的解析式为：，
设点P的横坐标为，则纵坐标为：，
∵轴，
∴点P的横坐标与点Q的横坐标相等，
∴点Q的纵坐标为：，
∴，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
当时，且，
解得：，（不符要求的负值舍去）
∴，
∴，
当时，且，
即，
解得：，（不符要求的负值舍去）
∴，
∴，
综上：点Q的坐标为或；
（3）存在，理由如下：
当时，，即，
过D点作关于x轴的对称点N，连接，交y轴于点M，连接，如图，

根据对称可知：，
∴，
当且仅当M、N、B三点共线时，最小，最小为，
即上图所找到的M即为所求的点，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
∵，，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，即，
∵，，
∴，
∴最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：三角函数定义，待定系数法求一次函数解析式，对称的性质，解一元二次方程以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握反比例函数的性质以及待定系数法是解本题的关键．
B卷
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．已知，则的值为__________．
【答案】5
【分析】将方程同除以，得到，进而求出，将进行化简，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∴






．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式求值，完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，以及利用整体思想，进行求值，是解题的关键．
20．若关于x的一元一次不等式组的解集为，关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是_________．
【答案】
【分析】先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出的范围，再根据根的判别式得出，求出的范围，最后取符合条件的整数即可．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为，
∴，解得，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，，
解得且，
综上所述，且，
∴所有满足条件的整数a的值是，
∴所有满足条件的整数a的值之和是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和根的判别式，能求出a的取值范围是解此题的关键，特别注意．
21．如图，点在⊙上，，以为圆心，为半径的扇形内接于⊙．某人向⊙区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形内的概率为______．

【答案】
【分析】分别求得⊙的面积和扇形的面积即可求解．
【详解】解：连接BC，
∵，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
设⊙的半径为r，如图，
连接OA，过点O作OD⊥AB，则OA=r，AB=2AD，
∠OAD=，
∴，解得，
∴，
∴圆的面积为，扇形的面积为，
∴飞镖恰好落在扇形内的概率为 ，
故答案为：

【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
22．如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则____________．

【答案】
【分析】根据题意以及函数图像可得出，则点在上运动时，为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时，此时，则，当时，过点作于点，则此时，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，将代入解析式求解即可．
【详解】解：过点作，垂足为，

在中，
∵，，
∴，
∵点P的速度为，点Q的速度为，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴点在上运动时，为等腰直角三角形，
∴，
∴当点在上运动时，，
由图像可知，当此时面积最大，或（负值舍去），
∴，
当时，过点作于点，如图：

此时，
在中，，，
∴，，，
∴，
即，
所以当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．
23．如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为 __________________．

【答案】
【分析】由同弦等角可知点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，从而构造辅助圆，故当A、O′、D共线时，AD的值最大．求出此时AD的值即可解决问题．
【详解】解： ∵AB是直径，∠ABC＝30°，AB＝2，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠P＝60°，，，
∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°，
∴∠PDC＝30°，
∴点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，
∴当A、O′、D共线时，AD的值最大．
如图，连接CO′、BO′，

∵∠BO′C＝2∠CDB＝60°，O′C＝O′B，
∴△O′BC是等边三角形，
∴,∠CBO′＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO′＝90°，
∴，
∴,
∴线段AD的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商店购进“冰墩墩”、“雪容融”两款毛绒玩具进行销售，“冰墩墩”“雪容融”两种商品的进价、售价如表：

“冰墩墩”
“雪容融”
进价（元/个）
90
60
售价（元/个）
120
80
请列方程（组）、不等式解答下列各题；
(1)2022年2月份，商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，并且全部售完，问该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了多少钱？
(2)2022年3月份，商店又购进了200个“冰墩墩”和100个“雪容融”，3月中旬受疫情影响，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，又全部售完．如果要保证本月销售总额为30000元，求a的值．
(3)2022年4月份，由于受疫情影响，生产厂家减产，限制该商店本月只能采购两款毛绒玩具共200个，商店在不打折、不降价且全部售完的情况下，“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的，问商店至少要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具？
【答案】(1)该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元；(2)8；(3)商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具
【分析】（1）设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，根据商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，列出方程求出x、y再根据利润=（售价-进价）×数量求解即可；
（2）分别算出打折前后的销售额，然后相加建立方程求解即可；
（3）设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，根据“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的，列出不等式求解即可．
(1)解：设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，
由题意得：，
解得，
∴2月份购进“冰墩墩”180个，“雪容融”120个
，
∴该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元，
答：该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元；
(2)解：由题意得：
解得；
(3)解：设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，
由题意得：，
∴，
解得，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为70，
∴商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具，
答：商店70要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的式子求解是关键．
25．（10分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于和两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点M在下方的抛物线上运动，求的面积最大值；
(3)如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)；(2)27；(3)存在，点P的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线，进而得到，将直线向下平移个单位，得到直线，使其与抛物线仅有一个交点，此时两直线间距离最大，即当点M在直线与抛物线的交点处时，的面积最大，求出，进而求得直线的解析式为，得到直线与轴的交点G的坐标，最后根据，即可求出的面积最大值；
（3）①过点E作轴，证明，根据点E坐标即可得到点P坐标；②过点E作交轴于点P，证明，得到，再根据坐标的距离公式求出、的长，得到的长，进而得出的长，即可得到点P坐标．
【详解】（1）设抛物线解析式为，
二次函数的图象经过、、，
，
解得：，
抛物线解析式为
（2）解：直线经过点，
，
，
直线，
直线与抛物线交于点E，
联立，
解得：或（舍），
，
为定值，
点M到直线决定的面积，
将直线向下平移个单位，得到直线，使其与抛物线仅有一个交点，此时两直线间距离最大，即当点M在直线与抛物线的交点处时，的面积最大，
由平移的性质可知，直线，
联立，
整理得：，
直线与抛物线仅有一个交点，
；解得：，
，解得：，
当时，，
，此时的面积最大，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
设直线与轴交于点G，
令，则，解得：
，
，

的面积最大值为27；

（3）解：存在，
由（2）可知，直线的解析式为，，
当时，，
，
，
①如图，过点E作轴于点P，

，
，
，
，
；
②如图，过点E作交轴于点P，

，
，
，
，
，，，
，，，
，
，
，
，
综上所述，存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定和性质，坐标的距离公式等知识，解题过程注意分类讨论，题目难度较大．
26．（12分）如图（1），E，F，H是正方形边上的点，连接交于点G、连接．

(1)判断与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求证：；
(3)如图（2），E，F是菱形边上的点，连接，点G在上，连接，，直接写出的长及的值．
【答案】(1)，理由见解析；(2)证明见解析；(3)，
【分析】（1）由正方形的性质结合题意易证，得出．再根据，即可求出，进而可求出，即；
（2）由题意易证，即得出．再根据，可得出．又可求出，即证明，得出；
（3）由题意易证，得出，．结合菱形的性质和题意可得出，，即证明，得出．由，，再代入数据即可求的长；过点F作于点M，交延长线于点N，连接．由相似三角形的性质可得．又易证，结合，，可证，得出，，．进而可证，得出，进而得出，代入数据即可求出．最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：，
理由：∵四边形为正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即；
（2）证明：∵，，
∴，
∴．　
∵，，
∴，即．
∵，，
∴，即，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，．
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
解得：；
如图，过点F作于点M，交延长线于点N，连接．

∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即．
∵，，
∴，
∴，，．
在和中，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
∵，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求角的余弦值等知识，综合性强，为压轴题．熟练掌握上述知识是解题关键，在解（3）时正确作出辅助线构造全等三角形也是关键．