专题07 数列——【新高考专用】2020-2022三年高考数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

专题07  数 列

1．【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，若是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（       ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

【答案】D

【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.

【解析】设，则，

依题意，有，且，

所以，故，故选：D
2．【2021年新高考1卷】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.

【答案】     5    

【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.

【解析】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；

故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，

设，

则，

两式作差得：

，

因此，.

故答案为：；.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
3．【2020年新高考1卷（山东卷）】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

【答案】

【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.

【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以的前项和为，故答案为：.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
4．【2022年新高考1卷】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)；(2)见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.

【解析】(1)∵，∴,∴,

又∵是公差为的等差数列，∴,∴,

∴当时，，∴,

整理得：,即,

∴，

显然对于也成立，∴的通项公式；

(2)

∴ .
5．【2022年新高考2卷】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．

(1)证明：；

(2)求集合中元素个数．

【答案】(1)证明见解析；(2)．

【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得，即可解出．

【解析】(1)设数列的公差为，

所以，，即可解得，，

所以原命题得证．

(2)由（1）知，，

所以，

即，亦即，

解得，所以满足等式的解，

故集合中的元素个数为．
6．【2021年新高考1卷】已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；

(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.

【解析】解：（1）[方法一]【最优解】：

显然为偶数，则，

所以，即，且，

所以是以2为首项，3为公差的等差数列，

于是．

[方法二]：奇偶分类讨论

由题意知，所以．

由（为奇数）及（为偶数）可知，

数列从第一项起，

若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，

若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．

所以，则．

[方法三]：累加法

由题意知数列满足．

所以，

，

则．

所以，数列的通项公式．

（2）[方法一]：奇偶分类讨论

．

[方法二]：分组求和

由题意知数列满足，

所以．

所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．

从而数列的前20项和为：

．

【整体点评】

(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；

方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；

方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.

(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；

方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
7．【2021年新高考2卷】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

【答案】(1)；(2)7.

【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：，

设等差数列的公差为，从而有：，

，

从而：，由于公差不为零，故：，

数列的通项公式为：.

(2)由数列的通项公式可得：，则：，

则不等式即：，

整理可得：，

解得：或，又为正整数，故的最小值为.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
8．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.

（2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.

【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，

所以，所以数列的通项公式为.

（2）［方法一］：规律探索

由于，所以

对应的区间为，则；

对应的区间分别为，则，即有2个1；

对应的区间分别为，则，即有个2；

对应的区间分别为，则，即有个3；

对应的区间分别为，则，即有个4；

对应的区间分别为，则，即有个5；

对应的区间分别为，则，即有37个6．

所以．

［方法二］【最优解】：

由题意，，即，当时，．

当时，，则

．

［方法三］：

由题意知，

因此，当时，；时，；

时，；时，；

时，；时，；

时，．

所以

．

所以数列的前100项和．

【整体点评】

（2）方法一：通过数列的前几项以及数列的规律可以得到的值，从而求出数列的前项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列的通项公式，从而求出数列的前项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．
9．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.

【解析】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，

整理可得：，，

数列的通项公式为：.

(2)由于：，

故：

.

【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.