专题09 平面向量、不等式、数系的扩充与复数的引入——【新高考专用】2020-2022三年高考数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

专题09  平面向量、不等式、数系的扩充与复数的引入

1．【2022年新高考1卷】若，则（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求，从而可求.

【解析】由题设有，故，故，

故选：D
2．【2022年新高考1卷】在中，点D在边AB上，．记，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以 ．

故选：B．
3．【2022年新高考2卷】（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的乘法可求.

【解析】，

故选：D.
4．【2022年新高考2卷】已知向量，若，则（       ）

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【解析】,,即,解得,

故选：C
5．【2021年新高考1卷】已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.

【解析】因为，故，故

故选：C.
6．【2021年新高考1卷】复数在复平面内对应的点所在的象限为（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.

【解析】，所以该复数对应的点为，

该点在第一象限，

故选：A.
7．【2020年新高考1卷（山东卷）】（       ）

A．1 B．−1

C．i D．−i

【答案】D

【分析】根据复数除法法则进行计算.

【解析】

故选：D

【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.

【解析】的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，

可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
9．【2020年新高考2卷（海南卷）】=（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接计算出答案即可.

【解析】

故选：B

【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.
10．【2020年新高考2卷（海南卷）】在中，D是AB边上的中点，则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

【解析】

故选：C.

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
11．【2022年新高考2卷】若x，y满足，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【解析】因为（R），

由可变形为，，

解得，当且仅当时，，

当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，

解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，

设，所以，

因此

，所以当时满足等式，

但是不成立，所以D错误．

故选：BC．
12．【2021年新高考1卷】已知为坐标原点，点，，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【解析】A：，，所以，，故，正确；

B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；

C：由题意得：，，正确；

D：由题意得：，

，故一般来说故错误；

故选：AC
13．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【解析】对于A， ，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
14．【2021年新高考2卷】已知向量，，，_______．

【答案】

【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.

【解析】由已知可得，

因此，.

故答案为：.