人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算练习题

这是一份人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算练习题，共13页。试卷主要包含了2 平面向量的运算》提升训练，在△ABC中,有下列四个命题，已知向量a→=，b→=，则等内容，欢迎下载使用。
 人教A版（2019）必修第二册《6.2 平面向量的运算》提升训练 一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）已知等腰的斜边长为，点满，则A.  B.  C.  D. 2.（5分）已知向量，，，则A.  B.  C.  D. 3.（5分）已知向量，满足，，则 A.  B.  C.  D. 4.（5分）设若，则实数的值等于 A.  B.  C.  D. 5.（5分）在△ABC中,有下列四个命题:①;②=0;③若()·()=0,则△ABC为等腰三角形;④若·>0,则△ABC为锐角三角形.其中正确的命题有A. ①②  B. ①④ C. ②③  D. ②③④6.（5分）在中，已知，，的面积为，则A.  B.  C.  D. 7.（5分）已知向量，，则向量与的夹角大小为 A.  B.  C.  D. 8.（5分）已知，都是单位向量，则下列结论正确的是A.  B.
C. 若 D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）若…，是所在的平面内的点，且下面给出的四个命题中，其中正确的是A.
B.
C. 点、、…一定在一条直线上
D. 、在向量方向上的投影数量一定相等10.（5分）已知向量，，则A.
B. 向量在向量上的投影向量为
C. 与的夹角余弦值为
D. 若，则11.（5分）已知，，则正确的有A.
B. 与同向的单位向量是，
C. 和的夹角是
D. 与垂直的单位向量是，12.（5分）已知向量，则下列说法正确的是A. 若，则向量可以表示平面内任一向量
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则与的夹角是锐角13.（5分）已知向量，，下列说法正确的有A. 若，则 B. 若，则与夹角的正弦值为
C. 若，则 D. 若，则或三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）在中角、、所对的边分别为、、，已知，，，在方向上的投影为 ______ ．15.（5分）在复平面内，复数， 对应的点分别为，若为线段的中点，则点对应的复数是_____________.16.（5分）已知向量，的夹角为，则______ .17.（5分）已知，，，则与的夹角为______．18.（5分）已知向量，满足，，，的夹角为，则与的夹角为 ______ .四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知的面积是，且 
求的值； 
若，，求的值．20.（12分）已知非零向量，满足，且 
求与的夹角； 
若，求的值．21.（12分）已知向量，满足，， 
求向量与夹角的余弦值； 
若，求的值．22.（12分）已知，，，  
求的值；  
若，求的值．23.（12分）已知，，． 
若，求的值； 
若，求．
答案和解析1.【答案】A;【解析】解： 
， 
故选：． 
画出图形，结合向量的数量积，以及等腰直角三角形，转化求解即可． 
该题考查向量的数量积的应用，基本知识的考查，是基础题．

 2.【答案】D;【解析】解：； 
； 
． 
故选：． 
根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出． 
考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．
 3.【答案】B;【解析】【分析】此题考查平面向量的数量积以及向量的模，考查计算能力，属于基础题.【解答】解：故选
 4.【答案】A;【解析】【分析】 
由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得的方程，解方程可得．本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题． 
【解答】 
解：，， 
 
，， 
，解得 
故选： 

 5.【答案】C;【解析】∵=-≠,∴①错误.=0,∴②正确.由()·()==0,得||=||,∴△ABC为等腰三角形,③正确.·>0⇒cos<,>>0,即cos A>0,∴A为锐角,但不能确定B,C的大小,∴不能判定△ABC是否为锐角三角形,∴④错误.故选C.
 6.【答案】C;【解析】解：由，，的面积为， 
则， 
即， 
则， 
则， 
故选： 
由平面向量数量积运算，结合三角形面积公式求解即可． 
此题主要考查了平面向量数量积运算，重点考查了三角形面积公式，属基础题．
 7.【答案】C;【解析】 
此题主要考查向量的数量积的坐标表示和向量夹角公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 
运用向量数量积的坐标表示，可得，再由向量的夹角公式可得，，计算即可得到所求值． 
 
解：向量，， 
可得， 
，， 
由，， 
即有向量与夹角的大小为 
故选 
 

 8.【答案】B;【解析】解：对于选项A，，而不确定，故选项A错误； 
对于选项B，，，故选项B正确； 
对于选项C，由于的方向不一定相同，故选项C错误； 
对于选项D，由选项A中的分析可知，不一定为，故选项D错误． 
故选：． 
由数量积公式可判断选项A，由平面向量中可判断选项B，由向量相等的概念可判断选项C，由向量垂直的判定可判断选项D． 
本题是对平面向量基本概念及基本运算的考查，考查分析问题的能力，属于基础题．
 9.【答案】BCD;【解析】 
此题主要考查了向量的数量积与垂直的关系、向量共线定理，考查了推理能力，属于中档题． 
由题意知，根据向量的数量积的概念及其运算，可得，且，由此即可判断四个选项的正误．解：因为，所以， 
所以，故选项正确； 
即， 
所以， 
则向量、在向量方向上的投影数量相等， 
又，所以点、在同一条垂直于直线的直线上， 
故选项错误，选项正确，选项正确. 
故选：
 10.【答案】BCD;【解析】【分析】 
本题考查向量平行以及向量的夹角和判定向量垂直问题，属于中档题. 
对各个选项逐一验证可以得出答案. 
【解答】 
解：对于，， 
因为，故错； 
对于，因为 
所以在向量上的投影为， 
又因为夹角为钝角， 
所以向量在向量上的投影向量为，正确； 
对于，因为， 
所以，正确； 
对于，， 
所以，正确. 
故选
 11.【答案】ABC;【解析】 
此题主要考查了向量的数量积公式，夹角公式，坐标运算公式，单位向量等知识，属于中档题. 
对四个选项逐项分析即可求解. 
解：已知，， 
则：，故正确；             
：的单位向量是，故正确； 
：，故，故正确； 
：与垂直的单位向量是或 ，故错误. 
故选
 12.【答案】BC;【解析】解：根据题意，依次分析选项： 
对于，当时，，， 
则、共线，向量、不能作为平面向量的基底， 
即不能用向量表示平面内任一向量，错误； 
对于，若，则有， 
变形可得，必有，解得，正确； 
对于，若，即，即，解得， 
对于，当时，，， 
两个向量方向相同，夹角为，错误； 
故选： 
根据题意，依次分析选项：对于，举出反例可得错误，对于，由数量积的计算公式可得正确，对于，由数量积的计算公式可得关于的不等式，解出，即可判断正确，对于，举出反例可得错误即可． 
此题主要考查数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
 13.【答案】BD;【解析】解：根据题意，依次分析选项： 
对于，向量，，若，则，则，A错误； 
对于，若，则，则，，，则，，则，，B正确， 
对于，若，则，解可得，C错误， 
对于，，，则，若，即，解可得或，D正确， 
故选：． 
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案． 
此题主要考查向量的坐标计算，涉及向量平行、垂直的判断方法，属于基础题．
 14.【答案】-4;【解析】解：如图，中，；  
由余弦定理得，；  
；  
；  
在方向上的投影为．  
故答案为：． 
根据条件及余弦定理即可求出，进而得出，再根据余弦定理可求出，这样根据向量投影的计算公式即可求出在方向上的投影．  
考查余弦定理，向量夹角的定义，三角函数的诱导公式，以及一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式．

 15.【答案】;【解析】 
此题主要考查复数的代数表示及其几何意义，中点坐标公式，考查计算能力，属于基础题. 
根据题意，求出线段的中点的坐标为，即可得解. 
 
解：由题意，在复平面内，复数， 对应的点分别为，， 
则，， 
则线段的中点的坐标为， 
故点对应的复数为 
故答案为
 16.【答案】;【解析】解：由题意得 
故答案为： 
由已知结合向量的夹角公式即可直接求解． 
此题主要考查了向量夹角公式，属于基础题．
 17.【答案】;【解析】解：，， 
 
 
 
 
 
故答案为： 
直接利用向量的数量积的定义及性质进行运算，结合向量的夹角的范围即可求解 
这道题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的简单应用，属于基础试题
 18.【答案】;【解析】解：的夹角为； 
，； 
； 
又； 
 
故答案为： 
根据条件即可求出，，，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出与的夹角． 
考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．
 19.【答案】解：（1）由已知=S=AB×ACcosA=，所以sinA=cosA，又siA+coA=1， 
解得sinA=； 
（2）||2=12，，所以9-3×AC×sinA+AC2=12，由（1）得解得AC=b=， 
在三角形ABC中，=+-2bccosA=9+9+3-2×3×（）×=12，所以a=2， 
由正弦定理，得sinB=．;【解析】 
由数量积以及三角函数基本关系式得到所求； 
将等式平方，求出，结合正弦定理和余弦定理求． 
该题考查向量的数量积以及利用正弦定理和余弦定理解三角形；计算较复杂．
 20.【答案】解：设向量，夹角为θ， 
（1）由（-2）⊥得（-2）•=0，∴•-2=0，∴||||cosθ-2||2=0 
又∵||=4||，∴cosθ=，∴θ=； 
（2）由|+|=两边平方得||2+||2+2||||cos=21， 
又∵||=4||，∴21||2=21，∴||=1．;【解析】 
设向量，夹角为， 
由得可解决此问题； 
由两边平方，结合可解决此问题． 
本题考查平面向量数量积性质及运算、向量模的运算，属于中档题．
 21.【答案】解：（1）∵向量，满足，，， 
∴=4=20，||=， 
∴=5， 
（）2=+2=5++10=40，解得||=5， 
∴向量与夹角的余弦值为： 
cos＜＞===． 
（2）∵， 
∴（）•（）==0， 
∴5λ-5（2λ+1）-10=0， 
解得λ=-3．;【解析】 
由，，求出，再由，解得，由此能求出向量与夹角的余弦值． 
由，列方程能求出的值． 
此题主要考查向量的运算，考查向量的模、数量公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 22.【答案】解：（1）由，（2-3）•（2+）=19，  
可得4-4-3=19．                  
∵||=2，||=，∴16-4-9=19，  
∴=-3；  
（2）由⊥（+λ），  
可得•（+λ）=0，  
即+λ=0，  
由（1）及||=2，||=，  
得4-3λ=0，  
解得λ=．;【解析】 
运用多项式法则展开，由向量的平方即为模的平方，即可得到答案；  
由向量垂直的条件：它们的数量积为，将其展开，运用向量的平方即为模的平方，即可求出的值．  
该题考查向量的数量积的性质，向量的平方等于模的平方，向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．
 23.【答案】解：，，， 
， 
， 
， 
 
，， 
， 
， 
， 
此时，，， 
．;【解析】这道题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示，解答该题的关键是向量数量积的性质的熟练掌握． 
先由求出坐标，然后根据的坐标表示表示可求； 
由，求出坐标，由根据向量垂直的坐标表示可求．