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2023年北京市清华附中朝阳分校中考数学零模试卷(含解析）
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这是一份2023年北京市清华附中朝阳分校中考数学零模试卷(含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市清华附中朝阳分校中考数学零模试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某几何体的三视图如左图所示，则此几何体是( )
A. B. C. D.
2. 共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保．2016年全国共享单车用户数量达18860 000，将18860 000用科学记数法表示应为( )
A. 1886×104 B. 0.1886×108 C. 1.886×107 D. 1.886×106
3. 北京大兴国际机场于2019年6月30日完美竣工，如图是世界著名建筑设计大师扎哈设计的机场俯视图的示意图．下列说法正确的是( )
A. 这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
4. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A. |a|>|c| B. bc>0 C. a+d>0 D. b<−2
5. 如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
6. 如果a= 3−1，那么代数式(1+1a−1)÷aa2−1的值为( )
A. 3 B. 3 C. 33 D. 3−2
7. 随着智能手机的普及，“支付宝支付”和“微信支付”等手机支付方式倍受广大消费者的青睐，某商场对2019年7−12月中使用这两种手机支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线图，根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中不合理的是( )
A. 6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多
B. 6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大
C. 6个月中11月份使用手机支付的总次数最多
D. 9月份平均每天使用手机支付的次数比12月份平均每天使用手机支付的次数多
8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y.定义(x,y)为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是( )
A. 点A的横坐标有可能大于3
B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②
C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 分解因式：ax2−2ax+a=______．
10. 若关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______ ．
11. 函数y=kx的图象上有两点P1(−1,y1)，P2(−2,y2)，若y1
13. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．
该事件最有可能是 (填写一个你认为正确的序号)．
①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；
②掷一枚硬币，正面朝上；
③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．
14. 某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼(原首钢老厂区的筒仓)20m的点B处，用高为0.8m的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63°，则筒仓CD的高约为______m.
(精确到0.1m，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96)
15. 甲、乙二人分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，根据题意所列的方程组是______．
16. 从正整数1，2，3，…，15中，选出k组数，满足：
①每组2个数，且这2个数不相同；
②任意两组都不含有相同的数；
③任意两组的数的和互不相同，且都不超过15．
(1)若k=2，请写出一种选取方案：第1组：______ ，第2组：______ ；
(2)k的最大值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 计算：( 5−π)0−6tan30°+(12)−2+|1− 3|
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使PQ//l．
作法：如图，
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：连接PB，QB．
∵PA=QB，
∴PA= ______ ．
∴∠PBA=∠QPB(______ )(填推理的依据)．
∴PQ//l(______ )(填推理的依据)．
19. (本小题5.0分)
解不等式组4(x−1)≤3(x+2)x−12
已知y2−2xy−1=0，求代数式(x−2y)2−(x−y)(x+y)−3y2的值．
21. (本小题5.0分)
如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．
(1)求证：四边形BEDF为菱形；
(2)如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k>0)的图象与x轴交于点A(−4,0)，与y轴正半轴交于点B，且AB=4 2
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x=2时，函数y=mx(m≠0)的值与一次函数y=kx+b(k>0)的值相等，求m的值；
(3)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=nx(n≠0)的值小于一次函数y=kx+b(k>0)的值，直接写出n的取值范围．
23. (本小题6.0分)
某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩(单位：米)和一分钟仰卧起坐成绩(单立：个)的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.实心球成绩的频数分布表如下；
分组
6.2≤x<6.6
6.6≤x<7.0
7.0≤x<7.4
7.4≤x<7.8
7.8≤x<8.2
8.2≤x<8.6
频数
2
m
10
6
2
1
b.实心球成绩在7.0≤x<7.4这一组的是：7.0 7.0 7.0 7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.3；
c.一分钟仰卧起坐成绩如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)①表中m的值为______ ；
②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为______ ；
(2)若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．
①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；
②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下：
女生代码
A
B
C
D
E
F
G
H
实心球
8.1
7.7
7.5
7.5
7.3
7.2
7.0
6.5
一分钟仰卧起坐
*
42
47
*
47
52
*
49
其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．
24. (本小题6.0分)
如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE//AB交弦BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点F．
(1)求证：EF=ED；
(2)如果半径为5，cos∠ABC=35，求DF的长．
25. (本小题6.0分)
如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面，隧道顶可近似看成抛物线的一部分.经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF.设AE=x米，EF=y米通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
x(米)
0
2
4
6
8
y(米)
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为______ 米；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系.画出可以表示隧道顶面的函数的图象，并求出对应的函数关系式．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米.按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米(精确到0.1米)？
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=mx2−3(m−1)x+2m−1(m≠0)．
(1)当m=3时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知点A(1,2).试说明抛物线总经过点A；
(3)已知点B(0,2)，将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC<60°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．
(1)依题意补全图形；
(2)判断△CDE的形状，并证明；
(3)请问在直线CE上是否存在点P，使得PA−PB=CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
28. (本小题7.0分)
对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M(半径为r)，给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．
(1)当⊙O的半径为2时，
①如图1，在点A(0,1)，B(2,0)，C(3,4)中，⊙O的称心点是______；
②如图2，点D在直线y= 3x上，若点D是⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；
(2)⊙T的圆心为T(0,t)，半径为2，直线y= 33x+1与x轴，y轴分别交于点E，F.若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由三视图可得几何体为三棱柱，
故选：C．
根据三视图得出几何体为三棱柱解答即可．
考查三视图；三视图分为主视图，左视图，俯视图，分别是从几何体的正面，左面，上面看得到的图形．
2.【答案】C
【解析】解：将18860 000用科学记数法表示为：1.886×107．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，正确把握相关定义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、∵a<−4，0
B、∵b<0，c>0，
∴bc<0，结论B错误；
C、∵a<−4，d=4，
∴a+d<0，结论C错误；
D、−2
观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．
本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：正方形的内角和为360°，每一个内角为90°；
正六边形的内角和为720°，每一个内角为120°，
则∠1=120°−90°=30°，
故选：C．
利用多边形的内角和定理求出正方形与正六边形的内角和，进而求出每一个内角，即可确定出所求角的度数．
此题考查了多边形内角和外角，熟练掌握多边形的内角和定理是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：原式=(a−1a−1+1a−1)⋅(a+1)(a−1)a
=aa−1⋅(a+1)(a−1)a
=a+1，
当a= 3−1时，原式= 3−1+1= 3．
故选：B．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、6个月中使用“微信支付”的总次数=5.69+4.82+5.21+4.89+4.86+5.12=30.59，
6个月中使，“支付宝支付”的总次数=3.21+4.03+4.21+4.17+5.47+4.31=25.4，
∴6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多，本选项说法合理；
B、从统计图中不能得到消费总额的信息，本选项说法不合理；
C、7月份使用手机支付的总次数为5.69+3.21=8.9，
8月份使用手机支付的总次数为4.82+4.03=8.85，
9月份使用手机支付的总次数为5.21+4.21=9.42，
10月份使用手机支付的总次数为4.89+4.17=9.06，
11月份使用手机支付的总次数为4.86+5.47=10.33，
12月份使用手机支付的总次数为5.12+4.31=9.43，
∴6个月中11月份使用手机支付的总次数最多，本选项说法合理；
D、9月份平均每天使用手机支付的次数比12月份平均每天使用手机支付的次数多，本选项说法合理；
故选：B．
从折线统计图中得到每个月使用“微信支付”的次数、使用“支付宝支付”的次数，计算后即可判断．
本题考查的是折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，折线统计图表示的是事物的变化情况．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象和新定义，有难度，理清x和y的意义是关键，并注意利用数形结合的思想解决问题．
A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y<3，得k=xy<3，因为y是矩形周长的一半，即y>x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x<1，另一边为：y−x>2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x>1，y>3，可作判断．
【解答】
解：设点A(x,y)，
A、设反比例函数解析式为：y=kx(k≠0)，
由图形可知：当x=1时，y<3，
∴k=xy<3，
∵y>x，
∴x<3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，则y=2x，
则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，
∵x=1时，y=2x=2<3，
∴交点A在区域③，故选项B不正确；
C、∵矩形一边为x，则另一边为y−x，
∴S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A(x,y)，
∴x<1，y>3，即矩形1另一边为：y−x>2，
矩形2落在区域④中，x>1，y>3，
则矩形1中的x和矩形2中的y−x相等时，矩形1的另一边y−x可以和矩形2的一边x相等，此时两矩形全等，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等，故选项D正确．
故选：D．
9.【答案】a(x−1)2
【解析】解：ax2−2ax+a，
=a(x2−2x+1)，
=a(x−1)2．
先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10.【答案】k<1
【解析】解：根据题意得△=4(k−1)2−4(k2−1)>0，
解得k<1．
故答案为k<1．
根据判别式的意义得到△=4(k−1)2−4(k2−1)>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
11.【答案】2(答案不唯一)
【解析】解：对于函数y=kx的图象上有两点P1(−1,y1)，P2(−2,y2)，
∵当−1>−2时，y1
∴k>0，
∴符合题意的k值可以为大于0的任意数，
故答案为：2(答案不唯一)．
根据反比例函数的增减性判断即可．
本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的增减性是解答的关键．
12.【答案】2
【解析】解：由题意可得：∵DE//AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴DEAB=DCAC，
即DE6=1030，
解得：DE=2，
故答案为：2．
直接利用相似三角形的判定与性质得出△CDE∽△CAB进而得出比例式求出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键．
13.【答案】③
【解析】
【分析】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．同时此题在解答中要用到概率公式．
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈13，计算三个选项的概率，约为13者即为正确答案．
【解答】
解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即13左右，
①中向上一面的点数是2的概率为16，不符合题意；
②中掷一枚硬币，正面朝上的概率为12，不符合题意；
③中从中任取一球是红球的概率为13，符合题意，
故答案为：③．
14.【答案】40.0
【解析】解：过点A作AE//BD，交CD于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠BAE=∠ABD=∠BDE=90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AE=BD=20m，DE=AB=0.8m，
在Rt△ACE中，∠CAE=63°，
∴CE=AE⋅tan63°≈20×1.96=39.2(m)，
∴CD=CE+DE=39.2+0.8=40.0(m)．
答：筒仓CD的高约40.0m，
故答案为：40.0．
首先过点A作AE//BD，交CD于点E，易证得四边形ABDE是矩形，即可得AE=BD=20m，DE=AB=0.8m，然后在Rt△ACE中，由三角函数的定义，而求得CE的长，继而求得筒仓CD的高．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
15.【答案】2.5x+2y=20x+y+11=20
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，根据路程=速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】
解：设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，
依题意，得：2.5x+2y=20x+y+11=20．
故答案为：2.5x+2y=20x+y+11=20．
16.【答案】1，2 3，4 5
【解析】解：(1)若k=2，选出2组数，第一组为：1，2；第二组为：3，4，
∵1，2，3，4互不相同，互不相等，且1+2=3<15，3+4=7<15，
∴第一组为：1，2；第二组为：3，4，符合题意，
故答案为：1，2；3，4；(答案不唯一)．
(2)若k取最大值，方案如下：
①1，14，1+14=15，
②2，12，2+12=14<15，
③3，10，3+10=13<15，
④4，8，4+8=12<15，
⑤5，6，5+6=11<15，
∴k的最大值为5，
故答案为：5．
(1)根据题干中的条件解答即可；
(2)利用列举的方法解答即可得出结论．
本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的运算，理解题干的条件并熟练操作是解题的关键．
17.【答案】解：原式=1−2 3+4+ 3−1=4− 3．
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】BQ 等弧所对的圆周角相等 内错角相等两直线平行
【解析】解：(1)图形如图所示：
(2)理由：连接PB，QB．
∵PA=QB，
∴PA=BQ．
∴∠PBA=∠QPB(等弧所对的圆周角相等)．
∴PQ//l(内错角相等两直线平行)．
故答案为：BQ，等弧所对的圆周角相等，内错角相等两直线平行．
(1)根据要求画出图形即可．
(2)根据平行线的判定方法解决问题即可．
本题考查作图−复杂作图，平行线的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：解不等式4(x−1)≤3(x+2)得：x≤10，
解不等式x−127，
∴不等式组的解集为：7
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：“大小小大中间找”确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】解：∵y2−2xy−1=0，
∴y2−2xy=1，
(x−2y)2−(x−y)(x+y)−3y2
=x2−4xy+4y2−x2+y2−3y2
=2y2−4xy
=2(y2−2xy)
=2×1
=2．
【解析】先求出y2−2xy=1，先算代数式的乘法，合并同类项，再代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵DE//BC，DF//AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠DBF，
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠DBF，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
(2)连接EF，交BD于O，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴BD=DC=12，
∵DF//AB，
∴∠FDC=∠A=90°，
∴DF=DC 3=12 3=4 3，
在Rt△DOF中，OF= DF2−OD2= (4 3)2−62=2 3，
∴菱形BFDE的面积=12×EF⋅BD=12×12×4 3=24 3．
【解析】(1)根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
(2)根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．
此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设B(0,t)，t>0，
∵AB=4 2，
∴(−4)2+t2=(4 2)2，
解得t=4或t=−4(舍去)，
∴B(0,4)，
将A(4,0)，B(0,4)代入y=kx+b得：
4k+b=0b=4，
解得k=1b=4，
∴一次函数的解析式为y=x+4；
(2)当x=2时，y=x+4=2+4=6，
将(2,6)代入y=mx得：
6=2m，
解得m=3，
∴m的值是3；
(3)①∵当x<2时，对于x的每一个值，函数y=nx(n≠0)的值小于一次函数y=kx+b(k>0)的值，
∴直线y=x+4与直线y=nx有交点时，交点的横坐标满足x≥2，即x+4=nx的解大于等于2，
∴4 n−1≥2，
当n−1>0时，4≥2(n−1)，
解得n≤3，
∴1
解得n≥3，
此时不等式无解，
∴直线y=x+4与直线y=nx有交点时，1
此时x+4>x总成立，即x<2时，函数y=nx(n≠0)的值总小于一次函数y=kx+b(k>0)的值，
综上所述，n的范围是1≤n≤3．
【解析】(1)设B(0,t)，根据AB=4 2，可得B(0,4)，用待定系数法即得一次函数的解析式为y=x+4；
(2)当x=2时，y=x+4=2+4=6，将(2,6)代入y=mx得m的值是3；
(3)分两种情况：①直线y=x+4与直线y=nx有交点时，交点的横坐标满足x≥2，即4 n−1≥2，可得10)的值，即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，能根据题意列出关于m的方程和关于n的不等式．
23.【答案】9 45
【解析】解：(1)①m=30−2−10−6−2−1=9，
故答案为：9；
②由条形统计图可得，
一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45，
故答案为：45；
(2)①∵实心球成绩在7.0≤x<7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3，
∴实心球成绩在7.0≤x<7.4这一组优秀的有4人，
∴全年级女生实心球成绩达到优秀的人数是：150×4+6+2+130=65，
答：估计全年级女生实心球成绩达到优秀的有65人；
②同意，
理由：如果女生E的仰卧起坐成绩未到达优秀，那么只有A、D、F有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，
因此，女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．
(1)①根据题意和表格中的数据可以求得m的值；
②根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数；
(2)①根据题意和表格中的数据可以求得全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；
②根据题意和表格中的数据可以解答本题．
本题考查频数分布表、条形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵DE//AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠BDF=90°，
∴∠1+∠F=90°，∠3+∠EDF=90°，
∴∠F=∠EDF，
∴EF=DE；
(2)连接CD，AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵DE//AB，
∴∠DEF=∠ABC，
∵cos∠ABC=35，
∴在Rt△ECD中，cos∠DEC=CEDE=35，
设CE=3x，则DE=5x，
由(1)可知，BE=EF=5x，
∴BF=10x，CF=2x，
在Rt△CFD中，由勾股定理得：DF=2 5x，
∵半径为5，
∴BD=10，
∵BF×DC=FD×BD，
∴10x⋅4x=10⋅2 5x，
解得：x= 52，
∴DF=2 5x=5．
【解析】(1)根据切线的性质和角平分线的定义证明即可；
(2)连接CD，利用三角函数和勾股定理解答即可．
主要考查了切线的性质，关键是根据切线的判定和性质解答．
25.【答案】6.0
【解析】解：(1)根据二次函数的对称性可知，当x=4时，y有最大值6.0，
故答案为：6.0；
由题意知，h=4，k=6，
∴隧道满足的关系式为y=a(x−4)2+6，
把x=0，y=4代入解析式得：16a+6=4，
解得a=−18，
∴隧道满足的关系式为y=−18(x−4)2+6；
(2)根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标，画出图象如图所示：
(3)当x=1时，y=−18(1−4)2+6=4.875，
∴4.875−0.35=4.525(米)，
答：隧道需标注的限高应4.525米．
(1)根据二次函数的对称性可知在当x=4时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标，画出函数图象即可；
(3)令x=1，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米，可得汽车最高点距地面的距离即可解答．
本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．
26.【答案】解：(1)把m=3代入y=mx2−3(m−1)x+2m−1中，得y=3x2−6x+5=3(x−1)2+2，
∴抛物线的顶点坐标是(1,2)．
(2)当x=1时，y=m−3(m−1)+2m−1=m−3m+3+2m−1=2．
∵点A(1,2)，
∴抛物线总经过点A．
(3)∵点B(0,2)，由平移得C(3,2)．
①当抛物线的顶点是点A(1,2)时，抛物线与线段BC只有一个公共点．
由(1)知，此时，m=3．
②当抛物线过点B(0,2)时，
将点B(0,2)代入抛物线表达式，得
2m−1=2．
∴m=32>0．
此时抛物线开口向上(如图1)．
∴当0
将点C(3,2)代入抛物线表达式，得
9m−9(m−1)+2m−1=2．
∴m=−3<0．
此时抛物线开口向下(如图2)．
∴当−3
(2)把x=1，y=2代入y=mx2−3(m−1)x+2m−1，可得出答案；
(3)分三种情况：①当抛物线的顶点是点A(1,2)时，抛物线与线段BC只有一个公共点，求出m=3；
②当抛物线过点B(0,2)时，将点B(0,2)代入抛物线表达式，得2m−1=2.解得m=32，则当0
27.【答案】解：(1)补全图形如图1．
(2)△CDE为等边三角形，证明如下：
延长BC与DE交于F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，①
∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，
∴AD=AB=AC，∠BAD=60°，
∴∠ACD=∠ADC，②
∵四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°．
∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC=300°，③
∴由①②③，得∠ACB+∠ACD=150°，
即∠BCD=150°，
∴∠DCF=180°−∠BCD=30°，
∵点E与点D关于直线BC对称，
∴∠ECF=∠DCF=30°，DC=CE，
∴∠DCE=60°．
∴△DCE是等边三角形；
(3)存在，作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，
证明：延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，
由(2)可知，∠PCD=180°−∠DCE=120°，∠PCQ=∠DCE=60°，∠PCG=∠FCE=30°，
∴∠CPG=90°−∠PCG=60°，
∴∠PQC=∠CPQ=∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴PC=CQ，∠APC=120°−∠PCD，①
∵AG⊥BC，AC=BC，
∴AG垂直平分BC，
∴PB=PC=QB=QC，
∴四边形PBQC是菱形，
∴PB=QC，∠PBQ=∠PCQ=60°，②
∵QB=QC，
∴∠QBC=∠QCB，
∴∠ABQ=∠ACQ，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°=∠PCQ，
∴∠ABQ−∠ABD=∠ACQ−∠PCQ，
∴∠DBQ=∠ACP，③
∴由①②③得△ACP≌△DBQ(AAS)，
∴AP=DQ．
∵CQ=PB，
∴AP=DQ=DC+CQ=DC+PB．
即PA−PB=CD成立．
【解析】(1)由旋转的性质画出图形即可；
(2)延长BC与DE交于F，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，根据旋转的性质得出∠ACD=∠ADC，由四边形内角和得出∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC=300°，求出∠DCE=60°.可得出△CDE为等边三角形；
(3)作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，得出△PCQ为等边三角形，证明四边形PBQC是菱形，可根据AAS证明△ACP≌△DBQ，得出AP=DQ.则PA−PB=CD成立．
本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，四边形内角和，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，图形旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，轴对称的性质是解题的关键．
28.【答案】(1)①点A，B
②∵点D在直线y= 3x上，且点D的横坐标为m，
∴D的坐标为(m, 3m)，
∴点D关于点O的对称点D′的坐标为(−m,− 3m)，
∴DD′= (m+m)2+( 3m+ 3m)2=4|m|，
∵点D是⊙O的称心点，且⊙O的半径为2，
∴2≤4|m|≤6，
∴−32≤m≤−12或12≤m≤32，
∴点D的横坐标m的取值范围是−32≤m≤−12或12≤m≤32；
(2)如图，
针对于直线y= 33x+1，
令x=0，
∴y=1，F(0,1)，
∴OF=1，
令y=0，
∴ 33x+1=0，
∴x=− 3，
∴E(− 3,0)，
∴OE= 3，
在Rt△EOF中，tan∠EFO=OEOF= 3，
∴∠EFO=60°，
过y轴上一点H作直线EF的垂线交线段EF于G，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，且⊙T的半径为2，
∴TG最小=2，
在Rt△FGT中，sin∠EFO=HGFH，
∴FH=HGsin∠EFO=2 33，
∴OH=FH−OF=2 33−1，
当点T从H向下移动时，GH，FH越来越长，EH越来越短，到点G和E重合之后，GH越来越长，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，
∴FH=1−t≤3，
∴t≥−2，
EH≤3，
∴ t2+3≤3，
∴t≥− 6，
∴−2≤t≤1−2 33，
当点T从点H向上移动时，点T在FH上时，T到EF的距离小于2，此种情况不符合题意，
当点T从点F向上移动时，ET≥EF，
即：ET≥2，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，
∴FH≥1，EH≤3，
∴t−1≥1， t2+3≤3，
∴2≤t≤ 6，
且t的取值范围是−2≤t≤1−2 33或2≤t≤ 6．
【解析】
解：(1)①∵A(0,1)，
∴点A关于点O的对称点为A′(0,−1)，
∴AA′=1−(−1)=2，
∵⊙O的半径为2，
∴点A是⊙O的称心点，
∵B(2,0)，
∴点B关于点O的对称点为B′(−2,0)，
∴BB′=2−(−2)=4，
∵⊙O的半径为2，
∴2
∵C(3,4)，
∴点C关于点O的对称点为C′(−3,−4)，
∴CC′= (3+3)2+(4+4)2=25>3r，
∴点C不是⊙O的称心点，
故答案为：点A，B；
②见答案
(2)见答案
【分析】
(1)①先求出点A，B，C关于点O的对称点A′，B′，C′进而求出AA′，BB′，CC′，再判断即可得出结论；
②先求出点D的坐标，再利用新定义建立不等式求解即可得出结论；
(2)先求出点E，F坐标，进而求出∠EFO=60°，进而找出y轴上到线段EF的距离为2时的位置，再分情况利用新定义，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了新定义的理解和应用，锐角三角函数，两点间的距离公式，分类讨论，理解和应用新定义是解本题的关键．
2023年北京市清华附中朝阳分校中考数学零模试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某几何体的三视图如左图所示，则此几何体是( )
A. B. C. D.
2. 共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保．2016年全国共享单车用户数量达18860 000，将18860 000用科学记数法表示应为( )
A. 1886×104 B. 0.1886×108 C. 1.886×107 D. 1.886×106
3. 北京大兴国际机场于2019年6月30日完美竣工，如图是世界著名建筑设计大师扎哈设计的机场俯视图的示意图．下列说法正确的是( )
A. 这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
4. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A. |a|>|c| B. bc>0 C. a+d>0 D. b<−2
5. 如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
6. 如果a= 3−1，那么代数式(1+1a−1)÷aa2−1的值为( )
A. 3 B. 3 C. 33 D. 3−2
7. 随着智能手机的普及，“支付宝支付”和“微信支付”等手机支付方式倍受广大消费者的青睐，某商场对2019年7−12月中使用这两种手机支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线图，根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中不合理的是( )
A. 6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多
B. 6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大
C. 6个月中11月份使用手机支付的总次数最多
D. 9月份平均每天使用手机支付的次数比12月份平均每天使用手机支付的次数多
8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y.定义(x,y)为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是( )
A. 点A的横坐标有可能大于3
B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②
C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 分解因式：ax2−2ax+a=______．
10. 若关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______ ．
11. 函数y=kx的图象上有两点P1(−1,y1)，P2(−2,y2)，若y1
13. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．
该事件最有可能是 (填写一个你认为正确的序号)．
①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；
②掷一枚硬币，正面朝上；
③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．
14. 某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼(原首钢老厂区的筒仓)20m的点B处，用高为0.8m的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63°，则筒仓CD的高约为______m.
(精确到0.1m，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96)
15. 甲、乙二人分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，根据题意所列的方程组是______．
16. 从正整数1，2，3，…，15中，选出k组数，满足：
①每组2个数，且这2个数不相同；
②任意两组都不含有相同的数；
③任意两组的数的和互不相同，且都不超过15．
(1)若k=2，请写出一种选取方案：第1组：______ ，第2组：______ ；
(2)k的最大值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 计算：( 5−π)0−6tan30°+(12)−2+|1− 3|
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使PQ//l．
作法：如图，
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：连接PB，QB．
∵PA=QB，
∴PA= ______ ．
∴∠PBA=∠QPB(______ )(填推理的依据)．
∴PQ//l(______ )(填推理的依据)．
19. (本小题5.0分)
解不等式组4(x−1)≤3(x+2)x−12
已知y2−2xy−1=0，求代数式(x−2y)2−(x−y)(x+y)−3y2的值．
21. (本小题5.0分)
如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．
(1)求证：四边形BEDF为菱形；
(2)如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k>0)的图象与x轴交于点A(−4,0)，与y轴正半轴交于点B，且AB=4 2
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x=2时，函数y=mx(m≠0)的值与一次函数y=kx+b(k>0)的值相等，求m的值；
(3)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=nx(n≠0)的值小于一次函数y=kx+b(k>0)的值，直接写出n的取值范围．
23. (本小题6.0分)
某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩(单位：米)和一分钟仰卧起坐成绩(单立：个)的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.实心球成绩的频数分布表如下；
分组
6.2≤x<6.6
6.6≤x<7.0
7.0≤x<7.4
7.4≤x<7.8
7.8≤x<8.2
8.2≤x<8.6
频数
2
m
10
6
2
1
b.实心球成绩在7.0≤x<7.4这一组的是：7.0 7.0 7.0 7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.3；
c.一分钟仰卧起坐成绩如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)①表中m的值为______ ；
②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为______ ；
(2)若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．
①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；
②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下：
女生代码
A
B
C
D
E
F
G
H
实心球
8.1
7.7
7.5
7.5
7.3
7.2
7.0
6.5
一分钟仰卧起坐
*
42
47
*
47
52
*
49
其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．
24. (本小题6.0分)
如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE//AB交弦BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点F．
(1)求证：EF=ED；
(2)如果半径为5，cos∠ABC=35，求DF的长．
25. (本小题6.0分)
如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面，隧道顶可近似看成抛物线的一部分.经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF.设AE=x米，EF=y米通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
x(米)
0
2
4
6
8
y(米)
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为______ 米；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系.画出可以表示隧道顶面的函数的图象，并求出对应的函数关系式．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米.按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米(精确到0.1米)？
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=mx2−3(m−1)x+2m−1(m≠0)．
(1)当m=3时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知点A(1,2).试说明抛物线总经过点A；
(3)已知点B(0,2)，将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC<60°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．
(1)依题意补全图形；
(2)判断△CDE的形状，并证明；
(3)请问在直线CE上是否存在点P，使得PA−PB=CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
28. (本小题7.0分)
对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M(半径为r)，给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．
(1)当⊙O的半径为2时，
①如图1，在点A(0,1)，B(2,0)，C(3,4)中，⊙O的称心点是______；
②如图2，点D在直线y= 3x上，若点D是⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；
(2)⊙T的圆心为T(0,t)，半径为2，直线y= 33x+1与x轴，y轴分别交于点E，F.若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由三视图可得几何体为三棱柱，
故选：C．
根据三视图得出几何体为三棱柱解答即可．
考查三视图；三视图分为主视图，左视图，俯视图，分别是从几何体的正面，左面，上面看得到的图形．
2.【答案】C
【解析】解：将18860 000用科学记数法表示为：1.886×107．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，正确把握相关定义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、∵a<−4，0
B、∵b<0，c>0，
∴bc<0，结论B错误；
C、∵a<−4，d=4，
∴a+d<0，结论C错误；
D、−2
观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．
本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：正方形的内角和为360°，每一个内角为90°；
正六边形的内角和为720°，每一个内角为120°，
则∠1=120°−90°=30°，
故选：C．
利用多边形的内角和定理求出正方形与正六边形的内角和，进而求出每一个内角，即可确定出所求角的度数．
此题考查了多边形内角和外角，熟练掌握多边形的内角和定理是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：原式=(a−1a−1+1a−1)⋅(a+1)(a−1)a
=aa−1⋅(a+1)(a−1)a
=a+1，
当a= 3−1时，原式= 3−1+1= 3．
故选：B．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、6个月中使用“微信支付”的总次数=5.69+4.82+5.21+4.89+4.86+5.12=30.59，
6个月中使，“支付宝支付”的总次数=3.21+4.03+4.21+4.17+5.47+4.31=25.4，
∴6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多，本选项说法合理；
B、从统计图中不能得到消费总额的信息，本选项说法不合理；
C、7月份使用手机支付的总次数为5.69+3.21=8.9，
8月份使用手机支付的总次数为4.82+4.03=8.85，
9月份使用手机支付的总次数为5.21+4.21=9.42，
10月份使用手机支付的总次数为4.89+4.17=9.06，
11月份使用手机支付的总次数为4.86+5.47=10.33，
12月份使用手机支付的总次数为5.12+4.31=9.43，
∴6个月中11月份使用手机支付的总次数最多，本选项说法合理；
D、9月份平均每天使用手机支付的次数比12月份平均每天使用手机支付的次数多，本选项说法合理；
故选：B．
从折线统计图中得到每个月使用“微信支付”的次数、使用“支付宝支付”的次数，计算后即可判断．
本题考查的是折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，折线统计图表示的是事物的变化情况．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象和新定义，有难度，理清x和y的意义是关键，并注意利用数形结合的思想解决问题．
A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y<3，得k=xy<3，因为y是矩形周长的一半，即y>x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x<1，另一边为：y−x>2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x>1，y>3，可作判断．
【解答】
解：设点A(x,y)，
A、设反比例函数解析式为：y=kx(k≠0)，
由图形可知：当x=1时，y<3，
∴k=xy<3，
∵y>x，
∴x<3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，则y=2x，
则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，
∵x=1时，y=2x=2<3，
∴交点A在区域③，故选项B不正确；
C、∵矩形一边为x，则另一边为y−x，
∴S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A(x,y)，
∴x<1，y>3，即矩形1另一边为：y−x>2，
矩形2落在区域④中，x>1，y>3，
则矩形1中的x和矩形2中的y−x相等时，矩形1的另一边y−x可以和矩形2的一边x相等，此时两矩形全等，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等，故选项D正确．
故选：D．
9.【答案】a(x−1)2
【解析】解：ax2−2ax+a，
=a(x2−2x+1)，
=a(x−1)2．
先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10.【答案】k<1
【解析】解：根据题意得△=4(k−1)2−4(k2−1)>0，
解得k<1．
故答案为k<1．
根据判别式的意义得到△=4(k−1)2−4(k2−1)>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
11.【答案】2(答案不唯一)
【解析】解：对于函数y=kx的图象上有两点P1(−1,y1)，P2(−2,y2)，
∵当−1>−2时，y1
∴k>0，
∴符合题意的k值可以为大于0的任意数，
故答案为：2(答案不唯一)．
根据反比例函数的增减性判断即可．
本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的增减性是解答的关键．
12.【答案】2
【解析】解：由题意可得：∵DE//AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴DEAB=DCAC，
即DE6=1030，
解得：DE=2，
故答案为：2．
直接利用相似三角形的判定与性质得出△CDE∽△CAB进而得出比例式求出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键．
13.【答案】③
【解析】
【分析】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．同时此题在解答中要用到概率公式．
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈13，计算三个选项的概率，约为13者即为正确答案．
【解答】
解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即13左右，
①中向上一面的点数是2的概率为16，不符合题意；
②中掷一枚硬币，正面朝上的概率为12，不符合题意；
③中从中任取一球是红球的概率为13，符合题意，
故答案为：③．
14.【答案】40.0
【解析】解：过点A作AE//BD，交CD于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠BAE=∠ABD=∠BDE=90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AE=BD=20m，DE=AB=0.8m，
在Rt△ACE中，∠CAE=63°，
∴CE=AE⋅tan63°≈20×1.96=39.2(m)，
∴CD=CE+DE=39.2+0.8=40.0(m)．
答：筒仓CD的高约40.0m，
故答案为：40.0．
首先过点A作AE//BD，交CD于点E，易证得四边形ABDE是矩形，即可得AE=BD=20m，DE=AB=0.8m，然后在Rt△ACE中，由三角函数的定义，而求得CE的长，继而求得筒仓CD的高．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
15.【答案】2.5x+2y=20x+y+11=20
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，根据路程=速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】
解：设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，
依题意，得：2.5x+2y=20x+y+11=20．
故答案为：2.5x+2y=20x+y+11=20．
16.【答案】1，2 3，4 5
【解析】解：(1)若k=2，选出2组数，第一组为：1，2；第二组为：3，4，
∵1，2，3，4互不相同，互不相等，且1+2=3<15，3+4=7<15，
∴第一组为：1，2；第二组为：3，4，符合题意，
故答案为：1，2；3，4；(答案不唯一)．
(2)若k取最大值，方案如下：
①1，14，1+14=15，
②2，12，2+12=14<15，
③3，10，3+10=13<15，
④4，8，4+8=12<15，
⑤5，6，5+6=11<15，
∴k的最大值为5，
故答案为：5．
(1)根据题干中的条件解答即可；
(2)利用列举的方法解答即可得出结论．
本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的运算，理解题干的条件并熟练操作是解题的关键．
17.【答案】解：原式=1−2 3+4+ 3−1=4− 3．
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】BQ 等弧所对的圆周角相等 内错角相等两直线平行
【解析】解：(1)图形如图所示：
(2)理由：连接PB，QB．
∵PA=QB，
∴PA=BQ．
∴∠PBA=∠QPB(等弧所对的圆周角相等)．
∴PQ//l(内错角相等两直线平行)．
故答案为：BQ，等弧所对的圆周角相等，内错角相等两直线平行．
(1)根据要求画出图形即可．
(2)根据平行线的判定方法解决问题即可．
本题考查作图−复杂作图，平行线的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：解不等式4(x−1)≤3(x+2)得：x≤10，
解不等式x−12
∴不等式组的解集为：7
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：“大小小大中间找”确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】解：∵y2−2xy−1=0，
∴y2−2xy=1，
(x−2y)2−(x−y)(x+y)−3y2
=x2−4xy+4y2−x2+y2−3y2
=2y2−4xy
=2(y2−2xy)
=2×1
=2．
【解析】先求出y2−2xy=1，先算代数式的乘法，合并同类项，再代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵DE//BC，DF//AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠DBF，
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠DBF，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
(2)连接EF，交BD于O，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴BD=DC=12，
∵DF//AB，
∴∠FDC=∠A=90°，
∴DF=DC 3=12 3=4 3，
在Rt△DOF中，OF= DF2−OD2= (4 3)2−62=2 3，
∴菱形BFDE的面积=12×EF⋅BD=12×12×4 3=24 3．
【解析】(1)根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
(2)根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．
此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设B(0,t)，t>0，
∵AB=4 2，
∴(−4)2+t2=(4 2)2，
解得t=4或t=−4(舍去)，
∴B(0,4)，
将A(4,0)，B(0,4)代入y=kx+b得：
4k+b=0b=4，
解得k=1b=4，
∴一次函数的解析式为y=x+4；
(2)当x=2时，y=x+4=2+4=6，
将(2,6)代入y=mx得：
6=2m，
解得m=3，
∴m的值是3；
(3)①∵当x<2时，对于x的每一个值，函数y=nx(n≠0)的值小于一次函数y=kx+b(k>0)的值，
∴直线y=x+4与直线y=nx有交点时，交点的横坐标满足x≥2，即x+4=nx的解大于等于2，
∴4 n−1≥2，
当n−1>0时，4≥2(n−1)，
解得n≤3，
∴1
解得n≥3，
此时不等式无解，
∴直线y=x+4与直线y=nx有交点时，1
此时x+4>x总成立，即x<2时，函数y=nx(n≠0)的值总小于一次函数y=kx+b(k>0)的值，
综上所述，n的范围是1≤n≤3．
【解析】(1)设B(0,t)，根据AB=4 2，可得B(0,4)，用待定系数法即得一次函数的解析式为y=x+4；
(2)当x=2时，y=x+4=2+4=6，将(2,6)代入y=mx得m的值是3；
(3)分两种情况：①直线y=x+4与直线y=nx有交点时，交点的横坐标满足x≥2，即4 n−1≥2，可得1
本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，能根据题意列出关于m的方程和关于n的不等式．
23.【答案】9 45
【解析】解：(1)①m=30−2−10−6−2−1=9，
故答案为：9；
②由条形统计图可得，
一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45，
故答案为：45；
(2)①∵实心球成绩在7.0≤x<7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3，
∴实心球成绩在7.0≤x<7.4这一组优秀的有4人，
∴全年级女生实心球成绩达到优秀的人数是：150×4+6+2+130=65，
答：估计全年级女生实心球成绩达到优秀的有65人；
②同意，
理由：如果女生E的仰卧起坐成绩未到达优秀，那么只有A、D、F有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，
因此，女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．
(1)①根据题意和表格中的数据可以求得m的值；
②根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数；
(2)①根据题意和表格中的数据可以求得全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；
②根据题意和表格中的数据可以解答本题．
本题考查频数分布表、条形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵DE//AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠BDF=90°，
∴∠1+∠F=90°，∠3+∠EDF=90°，
∴∠F=∠EDF，
∴EF=DE；
(2)连接CD，AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵DE//AB，
∴∠DEF=∠ABC，
∵cos∠ABC=35，
∴在Rt△ECD中，cos∠DEC=CEDE=35，
设CE=3x，则DE=5x，
由(1)可知，BE=EF=5x，
∴BF=10x，CF=2x，
在Rt△CFD中，由勾股定理得：DF=2 5x，
∵半径为5，
∴BD=10，
∵BF×DC=FD×BD，
∴10x⋅4x=10⋅2 5x，
解得：x= 52，
∴DF=2 5x=5．
【解析】(1)根据切线的性质和角平分线的定义证明即可；
(2)连接CD，利用三角函数和勾股定理解答即可．
主要考查了切线的性质，关键是根据切线的判定和性质解答．
25.【答案】6.0
【解析】解：(1)根据二次函数的对称性可知，当x=4时，y有最大值6.0，
故答案为：6.0；
由题意知，h=4，k=6，
∴隧道满足的关系式为y=a(x−4)2+6，
把x=0，y=4代入解析式得：16a+6=4，
解得a=−18，
∴隧道满足的关系式为y=−18(x−4)2+6；
(2)根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标，画出图象如图所示：
(3)当x=1时，y=−18(1−4)2+6=4.875，
∴4.875−0.35=4.525(米)，
答：隧道需标注的限高应4.525米．
(1)根据二次函数的对称性可知在当x=4时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标，画出函数图象即可；
(3)令x=1，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米，可得汽车最高点距地面的距离即可解答．
本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．
26.【答案】解：(1)把m=3代入y=mx2−3(m−1)x+2m−1中，得y=3x2−6x+5=3(x−1)2+2，
∴抛物线的顶点坐标是(1,2)．
(2)当x=1时，y=m−3(m−1)+2m−1=m−3m+3+2m−1=2．
∵点A(1,2)，
∴抛物线总经过点A．
(3)∵点B(0,2)，由平移得C(3,2)．
①当抛物线的顶点是点A(1,2)时，抛物线与线段BC只有一个公共点．
由(1)知，此时，m=3．
②当抛物线过点B(0,2)时，
将点B(0,2)代入抛物线表达式，得
2m−1=2．
∴m=32>0．
此时抛物线开口向上(如图1)．
∴当0
将点C(3,2)代入抛物线表达式，得
9m−9(m−1)+2m−1=2．
∴m=−3<0．
此时抛物线开口向下(如图2)．
∴当−3
(2)把x=1，y=2代入y=mx2−3(m−1)x+2m−1，可得出答案；
(3)分三种情况：①当抛物线的顶点是点A(1,2)时，抛物线与线段BC只有一个公共点，求出m=3；
②当抛物线过点B(0,2)时，将点B(0,2)代入抛物线表达式，得2m−1=2.解得m=32，则当0
27.【答案】解：(1)补全图形如图1．
(2)△CDE为等边三角形，证明如下：
延长BC与DE交于F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，①
∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，
∴AD=AB=AC，∠BAD=60°，
∴∠ACD=∠ADC，②
∵四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°．
∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC=300°，③
∴由①②③，得∠ACB+∠ACD=150°，
即∠BCD=150°，
∴∠DCF=180°−∠BCD=30°，
∵点E与点D关于直线BC对称，
∴∠ECF=∠DCF=30°，DC=CE，
∴∠DCE=60°．
∴△DCE是等边三角形；
(3)存在，作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，
证明：延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，
由(2)可知，∠PCD=180°−∠DCE=120°，∠PCQ=∠DCE=60°，∠PCG=∠FCE=30°，
∴∠CPG=90°−∠PCG=60°，
∴∠PQC=∠CPQ=∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴PC=CQ，∠APC=120°−∠PCD，①
∵AG⊥BC，AC=BC，
∴AG垂直平分BC，
∴PB=PC=QB=QC，
∴四边形PBQC是菱形，
∴PB=QC，∠PBQ=∠PCQ=60°，②
∵QB=QC，
∴∠QBC=∠QCB，
∴∠ABQ=∠ACQ，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°=∠PCQ，
∴∠ABQ−∠ABD=∠ACQ−∠PCQ，
∴∠DBQ=∠ACP，③
∴由①②③得△ACP≌△DBQ(AAS)，
∴AP=DQ．
∵CQ=PB，
∴AP=DQ=DC+CQ=DC+PB．
即PA−PB=CD成立．
【解析】(1)由旋转的性质画出图形即可；
(2)延长BC与DE交于F，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，根据旋转的性质得出∠ACD=∠ADC，由四边形内角和得出∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC=300°，求出∠DCE=60°.可得出△CDE为等边三角形；
(3)作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，得出△PCQ为等边三角形，证明四边形PBQC是菱形，可根据AAS证明△ACP≌△DBQ，得出AP=DQ.则PA−PB=CD成立．
本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，四边形内角和，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，图形旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，轴对称的性质是解题的关键．
28.【答案】(1)①点A，B
②∵点D在直线y= 3x上，且点D的横坐标为m，
∴D的坐标为(m, 3m)，
∴点D关于点O的对称点D′的坐标为(−m,− 3m)，
∴DD′= (m+m)2+( 3m+ 3m)2=4|m|，
∵点D是⊙O的称心点，且⊙O的半径为2，
∴2≤4|m|≤6，
∴−32≤m≤−12或12≤m≤32，
∴点D的横坐标m的取值范围是−32≤m≤−12或12≤m≤32；
(2)如图，
针对于直线y= 33x+1，
令x=0，
∴y=1，F(0,1)，
∴OF=1，
令y=0，
∴ 33x+1=0，
∴x=− 3，
∴E(− 3,0)，
∴OE= 3，
在Rt△EOF中，tan∠EFO=OEOF= 3，
∴∠EFO=60°，
过y轴上一点H作直线EF的垂线交线段EF于G，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，且⊙T的半径为2，
∴TG最小=2，
在Rt△FGT中，sin∠EFO=HGFH，
∴FH=HGsin∠EFO=2 33，
∴OH=FH−OF=2 33−1，
当点T从H向下移动时，GH，FH越来越长，EH越来越短，到点G和E重合之后，GH越来越长，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，
∴FH=1−t≤3，
∴t≥−2，
EH≤3，
∴ t2+3≤3，
∴t≥− 6，
∴−2≤t≤1−2 33，
当点T从点H向上移动时，点T在FH上时，T到EF的距离小于2，此种情况不符合题意，
当点T从点F向上移动时，ET≥EF，
即：ET≥2，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，
∴FH≥1，EH≤3，
∴t−1≥1， t2+3≤3，
∴2≤t≤ 6，
且t的取值范围是−2≤t≤1−2 33或2≤t≤ 6．
【解析】
解：(1)①∵A(0,1)，
∴点A关于点O的对称点为A′(0,−1)，
∴AA′=1−(−1)=2，
∵⊙O的半径为2，
∴点A是⊙O的称心点，
∵B(2,0)，
∴点B关于点O的对称点为B′(−2,0)，
∴BB′=2−(−2)=4，
∵⊙O的半径为2，
∴2
∵C(3,4)，
∴点C关于点O的对称点为C′(−3,−4)，
∴CC′= (3+3)2+(4+4)2=25>3r，
∴点C不是⊙O的称心点，
故答案为：点A，B；
②见答案
(2)见答案
【分析】
(1)①先求出点A，B，C关于点O的对称点A′，B′，C′进而求出AA′，BB′，CC′，再判断即可得出结论；
②先求出点D的坐标，再利用新定义建立不等式求解即可得出结论；
(2)先求出点E，F坐标，进而求出∠EFO=60°，进而找出y轴上到线段EF的距离为2时的位置，再分情况利用新定义，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了新定义的理解和应用，锐角三角函数，两点间的距离公式，分类讨论，理解和应用新定义是解本题的关键．
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