高考数学二轮强化练习04 概率与统计（2份打包，原卷版+教师版）

查补易混易错点04 概率与统计

1．关于两个计数原理应用的注意事项

分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

2．排列、组合问题的求解方法与技巧

(1)特殊元素或特殊位置优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)正难则反，等价条件．

3．二项式定理应用时的注意事项

(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．

项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．

(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.

4．应用互斥事件的概率加法公式时，一定要先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．

5．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

6．易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．

7．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别

(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．

(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．

8．(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误．

(2)涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布．

1．（2023·河南·校联考模拟预测）数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为（    ）

A．240 B．480 C．360 D．720

【答案】A

【解析】有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线，

则5名同学分成2，1，1，1四组，共有种情况，

再将四组学生分配给四种曲线，一共有种情况，

则可能的安排方案的种数为种，

故选：A.

2．（2023·河南·校联考模拟预测）若的展开式中的系数为40，则k＝（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】C

【解析】因为的展开式的通项公式为，且的系数为40，

所以，即，

解得.

故选：C

3．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的系数为（    ）

A．85 B．5 C．-5 D．-85

【答案】A

【解析】的展开式的通项为，

则，，

从而的展开式中的系数为．

故选：A．

4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知随机变量 分别满足，，且期望，又，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，，，

故，

由，知，故，

故选：C

5．（2023·江苏·统考一模）某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（    ）

A．0.9 B．0.7 C．0.3 D．0.1

【答案】D

【解析】由题得：，故，

因为，所以根据对称性得：.

故选：D.

6．（2023·江苏·统考一模）“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可得，,

所以.

故选：D.

7．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则（    ）

A． B． C． D．e

【答案】C

【解析】因为，所以，

令，所以，即.

故选：C

8．（2023·贵州毕节·统考二模）某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（    ）

A．若，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差

B．若，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数

C．若，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差

D．若，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数

【答案】C

【解析】对于A：甲地区考核得分的极差为，乙地区考核得分的极差为，

即甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差，故A错误；

对于B：甲地区考核得分的平均数为

乙地区考核得分的平均数为，

即甲地区考核得分的平均数大于乙地区考核得分的平均数，故B错误；

对于C：甲地区考核得分从小到大排列为：75，78，81，84，85，88，92，93，94

乙地区考核得分从小到大排列为：74，77，80，83，84，87，91，95，99

由以上数据可知，乙地区考核得分的波动程度比甲地区考核得分的波动程度大，

即甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差，故C正确；

对于D：由茎叶图可知，甲地区考核得分的中位数为，乙地区考核得分的中位数为，则甲地区考核得分的中位数大于乙地区考核得分的中位数，故D错误；

故选：C

9．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】传球的结果可以分为：

分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；

若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；

再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种；

共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为

故选：D.

10．（2023·陕西西安·统考一模）某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（    ）

A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大

C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等

【答案】C

【解析】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，

（1）甲获得冠军有两种情况：

①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为

②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜，

胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，即，

因此，甲最终获得冠军的概率为；

（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为；

（3）丙获得冠军，概率为，

由此可知丙获得冠军的概率最大，即A，B，D错误，C正确，

故选∶C．

11．（多选题）（2023·江苏泰州·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（    ）

A． B．为互斥事件

C． D．相互独立

【答案】AC

【解析】正确；

可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；

在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；

不独立，

D错误；

故选：AC.

12．（多选题）（2023·山东淄博联考二模）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）进行统计，其成绩都在区间内.按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间内的人数为40，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．图中

C．估计该市全体学生成绩的平均分为84分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）

D．若对80分以上的学生授予“优秀学生”称号，则该市约有14000人获得该称号

【答案】BCD

【解析】对于A项，因为成绩落在区间内的人数为40，所以，故A项错误；

对于B项，由，得，故B项正确；

对于C项，学生成绩平均分为：，故C项正确；

对于D项，因为，故D项正确.

故选：BCD.

13．（多选题）（2023·山东临沂二模）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．常数项是 B．各项的系数和是64

C．第4项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为

【答案】AC

【解析】二项式的展开式通项为.

令，可得，故常数项是，A正确；

各项的系数和是，B错误；

二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；

奇数项二项式系数和为，D错误.

故选：AC

14．（多选题）（2023·辽宁·校联考一模）随机变量且，随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】因为且，

所以，故，，选项A正确，选项B错误；

因为，所以，

所以，解得，选项C正确；

，选项D正确.

故选：ACD.

15．（多选题）（2023·雅礼中学高三预测）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习、领会党的二十大精神，并推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是，乙能答对其中的6道题，规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，最终得分最低为0分，甲、乙两人答对与否互不影响，则（    ）

A．乙得40分的概率是 B．乙得分的数学期望是

C．甲得0分的概率是 D．甲、乙的得分都是正数的概率是

【答案】ABD

【解析】A，B选项：设乙的得分为，则的所有可能取值为0，10，25，40，

且，

，，，

因此，故A，B正确；

C，D选项：记“甲得分为正数”为事件，“乙得分为正数”为事件，

则，，

，，

因此甲得0分的概率是，

甲、乙的得分都是正数的概率是，

故C错误，D正确.

故选：ABD

16．（2022·天津红桥·天津三中校考二模）某地区教研部门开展高三教师座谈会，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，已知某校共有8名教师参加座谈会，记X为该校教师中被抽到发言的人数，若，且，则_____.

【答案】

【解析】由题意，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，

所以随机变量，

因为，可得，解得或，

又因为，可得，所以，

所以.

17．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）的展开式中，含的项的系数为______．

【答案】

【解析】的展开式中，含的项有以下两类：

第一类：4个因式中有1个取到，其余3个都取到2，即

第二类：4个因式中有2个取到，其余2个都取到2，即

所以的展开式中含的项为，

故含的项的系数为.

18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：

经计算得：，，，.

(1)利用最小二乘法估计建立y关于x的线性回归方程；

(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致.

（i）求这两条直线的公共点坐标.

（ii）比较与的斜率大小，并证明.

附：y关于x的线性回归方程中.，，

【解析】（1）由题意可知，；

，，

故回归方程为；

（2）设，的斜率分别为，，

x关于y的线性回归方程为， ，

，，

（i）根据回归直线的求解过程可知两条直线都过，且，

故公共点只有一个 ；

（ii）∵，，，，∴ ，

若，则，即恒成立，代入表格一组数据得：

，矛盾，故.

19．（2023·四川成都·川大附中校考二模）2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式.为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关.

(1)求n的值；

(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国航天事业的人数为X，求X的分布列及数学期望.

附表：

.

【解析】（1）由已知，完成列联表，

将数值代入公式可得的观测值：，

根据条件，可得，解得，

因为，所以.

（2）由（1）知，样本的男生中了解中国航天事业的频率为，

用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，了解中国航天事业的概率为，则，

，，

，，

，.

则X的分布列为

.

20．（2023·陕西汉中·统考二模）“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；

(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；

(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.

【解析】（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得.

平均年龄（岁）.

（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30

根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人

再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为.

（3）由题意可知：，则有：

，，

，.

∴X的分布列为：

可得的数学期望.