高考数学二轮强化练习07 圆锥曲线中的二级结论及应用（2份打包，原卷版+教师版）

查补易混易错点07 圆锥曲线中的二级结论及应用

圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。

1设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则

（1）|PF1||PF2|＝；（2）S△PF1F2＝b2tan ；（3）e＝.

2设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则

（1）|PF1||PF2|＝；（2）S△PF1F2＝；（3）e＝.

3.设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则kAP·kBP＝e2－1.

4.设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.

（1）圆锥曲线为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则kAB＝－，kAB·kOM＝e2－1.

（2）圆锥曲线为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则kAB＝，kAB·kOM＝e2－1.

（3）圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则kAB＝.

5.过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且||＝λ||，则椭圆的离心率等于.

6.过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于||.

7.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为，，＋＝，|AB|＝，S△AOB＝.

1.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

【答案】B

【解析】由题意可知kAB＝＝1，kMO＝＝，由双曲线中点弦中的斜率规律得kMO·kAB＝，即＝，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5，故双曲线的方程为－＝1.

2.已知双曲线E的中心为原点，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为，则双曲线E的渐近线的方程为 

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，，由结论2

，，可得双曲线的渐近线方程为，故选：．

3.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，经过右焦点且斜率为k(k＞0)的直线交椭圆于A，B两点，已知＝3，则k＝(　　)

A．1  B.  C.  D．2

【答案】B

【解析】∵λ＝3，由结论可得，e＝，由规律得cos α＝，cos α＝，k＝tan α＝.

4.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)

A．5      B．6     C.        D.

【答案】C

【解析】因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.

5.（2021·贵州·遵义师范学院附属实验学校高二期末（文））已知，分别为双曲线：（，）的左、右顶点，是上一点，且直线，的斜率之积为2，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由结论可得，，故选B

6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，则的面积为（     ）．

A． B． C． D．

【答案】C   

【解析】由，，，由结论可知．

7.设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为－，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】

【解析】kAP·kBP＝－，e2－1＝－，∴e2＝，e＝.

8.在椭圆＋＝1上，△PF1F2为焦点三角形，如图所示．

(1)若θ＝60°，则△PF1F2的面积是________；

(2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e＝________．

【答案】(1)3　(2)

【解析】(1)由结论得S△PF1F2＝b2tan ，即S△PF1F2＝3.

（2）由公式e＝＝＝.

9.(2022·荆州模拟)已知 P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，则△PF1F2的面积为________．

【答案】   

【解析】由结论可得：S＝b2tan，可得S＝1·tan＝.

10.已知椭圆的左､右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，O为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则椭圆C的离心率为     .

【答案】  

【解析】kAP·kBP＝

，，所以椭圆的离心率；

11.已知一条过点的直线与抛物线交于A，B两点，P是弦AB的中点，则直线的斜率为_______________．

【答案】1

【解析】由结论可知

12.已知椭圆的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且中点为，则的离心率_____．

【答案】

【解析】且，

，即

13.过双曲线的右焦点，作直线交的两条渐近线于，两点，，均位于轴右侧，且满足，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为     

【答案】

【解析】由，，又，倾斜角，由结论可得：

14.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则|AB|为    

【答案】12

【解析】易知2p＝3，由结论可得知|AB|＝，所以|AB|＝＝12.

15.设F为抛物线C：y2＝16x的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为      。

【答案】64

【解析】由y2＝16x，，由结论可得，.