2023北京房山高三二模数学（教师版）含答案解析

2023北京房山高三二模

数    学

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。

第一部分（选择题　共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则

（A）       （B）     

（C）     （D）

（2）在复平面内，复数 对应的点位于

（A）第一象限    （B）第二象限   

（C）第三象限    （D）第四象限

（3）已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，若，，则的值为

（A）   （B）        （C）   （D）

（4）已知正方形的边长为，点满足，则的值为

（A）     （B）         （C）       （D）

（5）下列函数中，是偶函数且有最小值的是

（A）           （B）    

（C）         （D）

（6）已知圆的圆心在抛物线上，且此圆过定点，则圆与直线的位置关系为

（A）相切  （B）相交   （C）相离   （D）不能确定

（7）一个高为，满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出. 若鱼缸水深为时，鱼缸里的水的体积为，则函数的大致图象是

（A）            （B）             （C）          （D）

（8）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是

（A）                （B）

（C）        （D）

（9）已知函数 则“”是“在上单调递减”的 

（A）充分而不必要条件    （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件      （D）既不充分也不必要条件

（10）设集合，则

（A）当时，        （B）对任意实数，

（C）当时，        （D）对任意实数，

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）若，则       .

（12）已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则       ；       .  

（13）已知函数，给出两个性质：

①在上是增函数；

②对任意，.

写出一个同时满足性质①和性质②的函数解析式，       .

（14）若函数的图象与直线有两个交点，则这两个交点横坐标的和为       .

（15）如图所示，在正方体中，是棱上一点，平面与棱

交于点.给出下面几个结论：

①四边形是平行四边形；

②四边形可能是正方形；

③存在平面与直线垂直；

④任意平面与平面垂直；

⑤平面与平面夹角余弦的最大值为.

其中所有正确结论的序号是       .

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

在中，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若角为钝角，求的周长．

（17）（本小题14分）

如图，已知直三棱柱中，，为中点，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

条件①：；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

（18）（本小题13分）

2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到小时. 某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.

（高一）                              （高二）

（Ⅰ）从该校高一年级学生中随机抽取人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于小时

的概率；

（Ⅱ）从该校高二年级学生中随机抽取人，这人中平均每天的睡眠时间为小时或

小时的人数记为，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）从该校高一年级学生中任取人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小.（只需写出结论）

（19）（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的最小值；

（Ⅲ）证明：

（20）（本小题15分）

已知椭圆的一个顶点为，焦距为. 椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆上异于的动点，交直线于点，与椭圆的另一个交点为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线是否过轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由.

（21）（本小题15分）

若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质．

（Ⅰ）判断数列是否具有性质，并说明理由；

（Ⅱ）设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项；

（Ⅲ）若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）B    （2）D    （3）C     （4）C    （5）D

（6）A    （7）B    （8）A     （9）B    （10）C

二、填空题(（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）          （12）；     （13） (答案不唯一)       

（14）           （15）①④⑤   

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

解：（Ⅰ）

方法一：（使用二倍角公式）

.        

.              

，                                    

.                         

方法二：（使用特殊角）

.      

（以下同方法一）

（Ⅱ） 方法一： (使用角余弦定理)                     

，.

由得.       

整理得，解得.  

所以的周长为.                

方法二：(使用角余弦定理)

，.

由得.             

整理得，解得.                 

当时，. 角为钝角. 

当时， .不符合题意.

所以，的周长为.          

（17）（本小题14分）  

选条件②：.

（Ⅰ）证明：

，             

以点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则

，，.     

，.

.   

（Ⅱ），，，，

，，.          

设平面的法向量为，则

令得，.                               

.   

若选择条件①: .

（Ⅰ）证明：.，

       .            

       ，

       .            

       ，

       .      

       ，

.                

，

.         

，

.               

（Ⅱ）

（方法一）在中，由，得

又，所以，. 

（方法二）由，得，

，得.

又，所以，. 

（方法三），

，.

解得..             

（以下同选择条件②）

（18）（本小题13分）

（Ⅰ）记事件为“从该校高一学生中随机抽取人，该生平均每天的睡眠时间不少于小时”，样本中高一学生人数为：，其中平均每天的睡眠时间不少于小时的人数为，则：.                     

（Ⅱ）从高二年级学生中随机抽取1人，其平均每天的睡眠时间为小时或小时的概率为.                                

的可能取值为                        

的分布列为                                     

.                  

（Ⅲ）.                                   

（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ）.     

所以.斜率为.              

，切点为.               

所以，在点处切线的方程为 .                                

（Ⅱ）当时，，           

令，

则.      

当时，，

所以在单调递减.                   

所以.                         

所以.函数在上单调递减.

函数在上单调递减.            

所以，即函数的最小值为. 

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知在上单调递减.

又因为            

所以.                           

所以，即               

（20）（本小题15分）

（Ⅰ）解：由题意可得：   解得

所以椭圆的标准方程为.          

（Ⅱ）设，，由题可知，

则直线的方程为.                      

由 整理得.  

则，即.

则，.

直线的方程为.

由整理得.

则，即.

得.

当，即时，

直线方程为，直线过点.

当时，即时，

.

所以直线方程为，

即，此时直线过定点.

综上，直线过轴上定点.                   

（2）方法二：

①当直线斜率不存在时，设直线为.

设， ，

直线方程为.

令，得.

.

.

因为三点共线，

所以.

.

因为所以.

此时直线方程为，直线过点.

②当直线斜率存在时，

设，，由题可知，

则直线的方程为.

由整理得.

则，即.

则，.

直线的方程为.

由整理得

则，即，

得，

.

所以直线方程为.

当时，此时直线过定点.

综上，直线过轴上定点.                   

（21）（本题满分15分）

解：

（Ⅰ）数列具有性质．                    

因为，均是数列中的项，

所以数列具有性质．            

（Ⅱ）证明：设数列所有的项组成集合.

1.因为，所以，，

所以，即 .所以，. 

2.当，因为，所以，．

（Ⅲ）因为．

且，

所以，，，…，，，

即．   ①         

当时，则，所以，得．

由

及，

可得 ，，，…，．

所以 ．      

因为，，且 ，

所以，且，

所以．    ②  

① ②两式相减得.

所以，当时，是等差数列．