北京市昌平区2023届高三二模数学试题（含答案）

北京市昌平区2023届高三二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则集合（    ）

A． B． C． D．

2．的展开式中项的系数为（    ）

A． B． C． D．

3．已知复数满足，则的值为（    ）

A． B．2 C． D．

4．已知函数为奇函数，且当时，，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

5．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ）

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减

6．已知点在直线上，点，则的最小值为（    ）

A．1 B．3 C．5 D．7

7．已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．4

8．对于两个实数，设则“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．已知等比数列的前项和为，则下列结论中一定成立的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（    ）

A．路口 B．路口 C．路口 D．路口

二、填空题

11．三个数中最大的数是__________.

三、双空题

12．已知抛物线的焦点为，点在上，且在第一象限，则点的坐标为__________；若，点到直线的距离为__________.

13．若函数的最大值为2，则__________，的一个对称中心为__________.

四、填空题

14．已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是__________.

15．如图，在长方体中，，动点分别在线段和上.给出下列四个结论：

①；

②不可能是等边三角形；

③当时，；

④至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形.

其中所有正确结论的序号是__________.

五、解答题

16．在中，.

(1)求；

(2)若，求的面积.

17．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，分别是的中点，是上一点，且.

(1)求证：平面；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.

条件①：；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.

18．2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.

(1)求各班参加竞赛的人数；

(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望；

(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.

19．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线相交于点，N.当点运动时，求证：以为直径的圆截轴所得的弦长为定值.

20．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数在上有最小值，求的取值范围；

(3)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.

21．若数列满足，则称数列为数列.记.

(1)写出一个满足，且的数列；

(2)若，证明：数列是递增数列的充要条件是；

(3)对任意给定的整数，是否存在首项为1的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.

参考答案：

1．C

2．B

3．D

4．A

5．D

6．B

7．C

8．C

9．D

10．B

11．

12．         

13．          （答案不唯一）

14．

15．①②④

16．(1)或

(2)或

17．(1)证明见解析；

(2).

18．(1)3,4,2,1

(2)分布列见解析，2.8

(3)

19．(1)

(2)证明见解析

20．(1)；

(2)；

(3).

21．(1).（答案不唯一.）

(2)证明见解析；

(3)答案见解析.