湖南省娄底市2023届高三四模数学试题（含答案）

湖南省娄底市2023届高三四模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

2．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

3．已知抛物线上的点到其焦点的距离为4，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知，，，则三者的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

5．据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为（    ）

（附：若随机变量服从正态分布，则，，）

A．1070 B．2140 C．4280 D．6795

6．等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金中，，记五角星中阴影部分的面积是，中间空白正五边形的面积是，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（    ）

A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7

二、多选题

9．已知点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则下列各图中，直线PQ与RS是平行直线的是（    ）

A． B．

C． D．

10．根据小红家2022年全年用电量（单位：度）和该月的用电量占年总用电量的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（    ）

A．2022年第二季度的用电量为260度

B．2022年下半年的总用电量为500度

C．2022年11月的用电量为100度

D．2022年12个月的月用电量的中位数为80度

11．已知圆M：，圆N：，直线l：，则下列说法正确的是（    ）

A．圆N的圆心为

B．圆M与圆N相交

C．当圆M与直线l相切时，则

D．当时，圆M与直线l相交所得的弦长为

12．已知，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．数列为等比数列

D．数列的前n项和

三、填空题

13．已知双曲线C：，若，则双曲线C的离心率为_________．

14．已知函数满足以下条件：①在区间上单调递增；②对任意，，均有，则的一个解析式为______．

15．已知向量，满足，，且，则_____．

16．已知函数，若曲线的一条切线为直线l：，则的最小值为______．

四、解答题

17．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．

开学后，某中学团委在高二年级（其中男生150名，女生150名）中，对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，各班男生喜欢观看的人数统计分别为6，7，8，8，6，5，14，14，12，10，各班女生喜欢观看的人数统计分别为4，4，4，5，5，6，7，7，8，10．

(1)根据题意补全2×2列联表；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关？参考临界值表：

，．

18．已知的内角所对的边分别为,若，，．

(1)求；

(2)求的周长.

19．记为数列的前n项和，已知，．

(1)求，；

(2)求数列的通项公式．

20．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，，，．

(1)证明：EF//平面PAD；

(2)求直线PC与平面CDF所成角的正弦值．

21．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，右焦点为，O为坐标原点，OB的中点为D（D在的左方），．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点D且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

22．已知函数（其中），．

(1)证明：函数在区间上单调递增；

(2)判断方程在R上的实根个数．

参考答案：

1．C

2．A

3．D

4．C

5．A

6．D

7．B

8．D

9．AD

10．AC

11．BD

12．BD

13．/

14．（答案不唯一）

15．/0.5

16．

17．(1)列联表见解析

(2)小概率值的独立性检验，能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关

18．(1)

(2)

19．(1)，

(2)

20．(1)证明见解析

(2)

21．(1)

(2)是定值，定值为.

22．(1)证明见解析

(2)