安徽省马鞍山市、滁州市2023届高三下学期第二次教学质量监测（二模）数学试卷（含答案）

安徽省马鞍山市、滁州市2023届高三下学期第二次教学质量监测（二模）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、设集合，则(   )

A.     B.     C.     D.

2、若，则在复平面内对应的点所在象限为(   )

A.第一象限     B.第二象限 C.第三象限     D.第四象限

3、在下列区间中，函数单调递减的区间是(   )

A.     B.     C.     D.

4、风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礡，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米､重约25公斤，“龙身”共有180节“鳞片”的巨龙风筝.制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列）.则该“龙身”中竹质骨架个数为(   )

A.161     B.162     C.163     D.164

5、如图是下列某个函数在区间的大致图象，则该函数是(  )

A.     B.

C.     D.

6、如图，在正四棱台中，，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为(   )

A.     B.     C.     D.

7、已知，,则a,b,c的大小关系为(   )

A.     B. C.     D.

8、若a,b,c均为正数，且满足，则的最小值是(   )

A.6     B.     C.     D.

二、多项选择题

9、已知A,B为两个随机事件，且，则(   )

A.

B.若A,B为互斥事件，则

C.若，则A,B为相互独立事件

D.若A,B为相互独立事件，则

10、已知抛物线的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与拗物线交于A,B两点，则(   )

A.最小值为2

B.若，则

C.若，则

D.若点P不在x轴上，则

11、已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若,均为奇函数，则(   )

A.      B.

C.     D.

12、在平面直角坐标系Oxy中，为等腰三角形，顶角，点为AB的中点，记的面积，则(   )

A.

 B.S的最大值为6

C.的最大值为6

D.点B的轨迹方程是

三、填空题

13、展开式中的常数项为__________.

14、已知椭圆与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点F是椭圆的一个焦点，若是等腰三角形，则的值为__________.

15、已知平面向量,满足，则的最大值为__________.

16、如图，正方体的棱长为2，点E,F在棱AB上，点H,G在棱CD上，点,在棱上，点,在棱上，，则六面体的体积为__________.

四、解答题

17、已知等差数列的前n项和为，若，且,,成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

18、在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.

（1）求；

（2）已知，，求的面积.

19、大气污染物（大气中直径小于或等于的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中的平均浓度（单位：），得到的数据如下表：

（1）根据上表，若内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大，大于等于75属于空气污染.请结合表中的数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关联？

（2）设浓度为y，汽车流量为x.根据这些数据建立浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到0.01）.

附：，

，，，，.

在经验回归方程中，.

20、如图，已知四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.

（1）求证：；

（2）若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.

21、已知双曲线的焦距为，离心率.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设P,Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP,MQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点.

22、已知函数.

（1）求函数的零点；

（2）证明：对于任意的正实数k，存在，当时，恒有.

参考答案

1、答案：D

解析：由, 故,

所以.

2、答案：C

解析：, 则,

所以 对应点为, 在第三象限. 故选：C.

3、答案：B

解析：由 得, ，,

所以 的减区间是 , ,

只有选项B的区间,

故选：B.

4、答案：B

解析：设有n 个碳质骨架, ,

由已知可得,

如果只有个碳质骨架, 则骨架总数少于 180 ,

所以,

所以, 且, 又

解得,

所以共有碳质骨架 18 个，故竹质骨架有162个

故选：B.

5、答案：A

解析：对B, 由, 知, 但由图象知, 故可 排除B,

对C, 因为在 上,

而由函数图象知函数一个零点在 上，而排除C;

对D, 由 知, 而由

函数图象可知, 故可排除D.

故选: A.

6、答案：D

解析：如图所示的正四棱台  取上 下两个底面的中心M,N, 连接MN,,AN, 过点 作底面的垂线与AN 相交于点E,

因为四棱台 为正四棱台，

所以外接球的球心一定在直线MN上,

在MN 上取一点 O为球心, 连接,, 则, 设,

因为,

所以,,

所以为正方形, 故O必在MN延长线上, 在中, ,

即

在，, 即,

解得, 所以,

故选: D.

7、答案：B

解析：

8、答案：C

解析：,

因为a,b,c 均为正数,

所以

当且仅当 时取等号, 即，时取等号,

故选: C.

9、答案： BCD

解析：根据题意, 依次分析选项：

对于A ，当A，B 为互斥事件时, ，A错误；

对于B ，若A，B 为互斥事件，即事件A、B 不 会同时发生，则 ，B正确；

对于C, 若 ,, 则有, 故 A,B为相互 独立事件，C 正确;

对于D， 若A,B 为相互独立事件，则

，D正确；

故选: BCD.

10、答案： ABC

解析：

11、答案： BD

解析：

12、答案： ABD

解析：由，，为AB的中点，

若且，则，

故，

整理得：，则A轨迹是圆心为，半径为2的圆（去掉与x轴交点），

如下图，由圆的对称性，不妨令A在轨迹圆的上半部分，即，

令，则，

所以，则，

所以，A正确；

由，

则S的最大值为6，B正确；

由下图知：，所以无最大值，C错误；

令，则.代入A轨迹得，

即，

所以B轨迹为且，D正确；

故选：ABD.

13、答案：

解析：因为 ，

 令 ，解得 ，

所以展开式中常数项为.

14、答案：

解析：由题意可知：，, 因为, 所以，, 因为 是等腰三角形,所以由椭圆的性质可知F是椭圆的下焦点, 所以

故答案为:.

15、答案：20

解析：

16、答案：

解析：取, 连接MH, ,,，，, 如图,

所求几何体可以看作正方体去掉 4 个体积相同的 三棱柱 (如图中三棱柱)， 再去掉四个五面体（如图中 ）， 五面体可分割为一个四棱锥与一个三 棱锥 ，因为

四棱锥

所以,

故答案为:.

17、答案：(1)

(2)

解析：（1）设数列的公差为d，由,,成等比数列，

得即，解得或-1，

当时不合题意，所以，即；

（2）由（1）得所以

所以.

18、答案：(1)

(2)

解析：（1）由题设得，

由余弦定理，，

整理得，所以.

（2）由（1）知，由余弦定理得，解得，

故的面积为.

19、答案：(1) 认为车流量大小与空气污染有关联

(2)

解析：（1）由题知，列二联表，如下图

，

依据小概率值的独立性检验，可以认为车流量大小与空气污染有关联.

（2）由题知，，

，

故浓度关于汽车流量的经验回归方程为.

20、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）设线段AC中点为E，连接BE，PE，

由及得且，又，所以平面PBE，

又平面PBE，所以.

（2）过点作垂直直线AD于点O，则，

因为平面平面ABCD，平面平面，及平面PAD，所以平面ABCD，

连接OC，由，，易知，所以四边形ABCO是菱形，

因为，所以四边形ABCO是正方形，且OA,OC,OP两两互相垂直，

以O为空间直角坐标系原点，分别以OC，OA，OP方向为轴正半轴，轴正半轴，轴正半轴，建立如图空间直角坐标系.

设，则，，，，

即，，，，

设平面PBD的法向量为，则，，得，；不妨取，则，同理可得平面PBC的一个法向量，

由平面平面PBC得，所以，即.

21、答案：(1)

(2)

解析：（1）由题意知，，，解得，

所以双曲线C的方程为.

（2）由题意可知直线PQ斜率存在，设其方程为，与联立，

得，设，，

则，

由得，

即，

即，

即，

将代入上式并整理得，

即，故或.

当时，直线PQ方程为过定点；

当时，直线PQ方程为过点M与题意矛盾.

综上，直线PQ过定点.

22、答案：(1) 函数的零点为1

(2)见解析

解析：（1）由题，，定义域为，

因为，所以函数在区间上单调递减.

又，故函数的零点为1.

（2）由（1）可知时，，即，

因此，进而.

注意到，当时，等价于，等价于，

于是，对于任意的正实数，取，则当时，有

，即证.