2023北京各区高三二模考试分类汇编－解析几何

这是一份2023北京各区高三二模考试分类汇编－解析几何，共20页。
1、（海淀区2）．在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（ ）
A． B． C．2 D．
2、（海淀区6）已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
3、（海淀区10）．已知动直线l与圆交于A，B两点，且．若l与圆相交所得的弦长为t，则t的最大值与最小值之差为（ ）
A． B．1 C． D．2
4、（海淀区12）．已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为___________．
东城区
1、（东城区2）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为
（A） （B） （C） （D）
2、（东城9）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有
（A） 个 （B）2 个 （C） 个 （D）无数个
西城区
1、（西城区2） 已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
2、（西城区5）已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
3、（西城区13）. 已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为___________；直线与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则__________.
朝阳区
1、（朝阳区3）已知双曲线的一条渐近线方程为，则
（A） （B） （C） （D）
2、（朝阳区14）已知圆，抛物线，则圆心到抛物线的准线的距离为 ；过圆心的直线与圆相交于,两点，与抛物线相交于,两点，若，则 ．
丰台区
1、（丰台区6）已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则（ ）
A. B. C. D. 8
2、（丰台12）. 已知点，直线，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是__________．
3、（丰台14） 在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为__________米．
昌平区
1、（昌平区6）已知点在直线上，点，则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
2、（昌平区7）已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
3、（昌平区12）已知抛物线的焦点为，点在上，且在第一象限，则点的坐标为______ ；若，点到直线的距离为______ .
4、（昌平区14）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是_________ .
房山区
1、（房山区6）已知圆的圆心在抛物线上，且此圆过定点，则圆与直线的位置关系为
（A）相切（B）相交（C）相离（D）不能确定
2、（房山区8）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
解答题
1、（海淀区19）
．（本小题15分）
已知椭圆的左顶点为A，上、下顶点分别为，直线的方程为.
（I）求椭圆E的方程及离心率；
（Ⅱ）P是椭圆上一点，且在第一象限内，M是点P关于x轴的对称点．过P作垂直于y轴的直线交直线于点Q，再过Q作垂直于x轴的直线交直线于点N．求的大小．
2、（东城19）（本小题15分）
已知焦点为的抛物线经过点．
（Ⅰ）设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积；
（Ⅱ）设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
3、（西城区20）.
已知椭圆：左顶点为，圆：经过椭圆的上、下顶点.
（1）求椭圆的方程和焦距；
（2）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，不在坐标轴上），且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点.求线段长度的最小值.
4、（朝阳区19）. （本小题15分）
已知点在椭圆上，且的离心率为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设为椭圆的右焦点，点是上的任意一点，直线与直线相交于点，求的值．
（丰台区19）
19. 已知椭圆经过两点.
（1）求椭圆C的方程和离心率；
（2）设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，若点满足，求证：P，O，Q三点共线．
（昌平区19）
（19）（本小题15分）
已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，且右焦点为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线相交于点.当点运动时，求证：以为直径的圆截轴所得的弦长为定值.
（房山区20）（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，焦距为. 椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆上异于的动点，交直线于点，与椭圆的另一个交点为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线是否过轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由.
2023北京各区高三二模考试分类汇编－解析几何－答案解析
一、选填题答案：
海淀区
1－3：ADD 4:
东城区
1－2：CC
西城区
1－2：CB 3： ① 2 ②.
朝阳区
1：C 2：4 8
丰台区
1、C 2、 ①. ②. 3、80
昌平区
1－2：BC 3：（12） 4： （14）
房山区
1－2：AA
二、解答题答案
（海淀区：19）
（东城区19）
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）因为抛物线过点，
所以，即．
故抛物线的方程为，焦点，准线方程为.
所以 ………………6分
（Ⅱ）设直线的方程为．
由 得．
由有．
设
则，．
设的中点为，则.
到准线的距离，

依题意有，
即，
整理得，
解得，满足．
所以直线过定点． ………………15分
（西城区20）
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出，写出椭圆C的方程并计算焦距作答.
（2）设出点P，Q坐标，求线段AP中垂线方程得点M，求圆O在点Q处的切线方程得点N，再借助均值不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意，，由，得，
所以椭圆C的方程为：，焦距为.
【小问2详解】
设，则，依题意，设，且，
因，则线段AP的中点为，直线AP的斜率，
则线段AP的中垂线方程为：，
令得点M的纵坐标，而，则，即，
直线OQ的斜率，因此，圆O在点Q处的切线斜率为，
切线方程为，令得点N的纵坐标，即，
则有，当且仅当，即时取“=”，
所以线段长度的最小值为.
4、（朝阳区19）
解：（Ⅰ）由题意得解得
所以椭圆的方程为． ………5分
（Ⅱ）因为点是椭圆上的任意一点，所以．
①当时，点或．
当点为时，直线与直线相交于点．此时．
当点为时，直线与直线相交于点．此时．
②当时，直线的方程为．
由得所以点．
所以
．
所以．
综上，． ………15分
（丰台区19）
19. 【答案】（1），
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出椭圆方程，并求出，得到离心率；
（2）先根据得到两三角形相似，得到，从而设直线方程为，直线方程为，与椭圆方程联立后，表达出P，Q两点的横纵坐标，得到两点关于原点对称，证明出结论.
【小问1详解】
将代入椭圆方程，，
解得，故，，
所以椭圆C的方程为，离心率为；
【小问2详解】
法1：设点，，
所以直线PA的方程为：，直线AQ的方程为：，
所以点，．
，
因为，所以
即①
当直线PQ无斜率时，设，
则，
代入①得：，解得：，
所以P，O，Q三点共线．
当直线PQ有斜率时，设，
由得：
所以
，
代入（1）得：，
解得：或.
当时，直线PQ的方程：，不符合题意．
故，所以P，O，Q三点共线．
综上，P，O，Q三点共线．
法2：设点，点，直线PA的方程为：，
所以点．
，，
因为，所以，
所以，即，
所以直线AF的方程为：，
要证P，O，Q三点共线，由椭圆的对称性，只需证在直线AF上．
又因为，所以，
所以，所以在直线AF上，
所以P，O，Q三点共线．
法3：由题意得，不妨令E点在x轴上方，
因为，所以，
又因为，所以，
所以Rt∽Rt，故，即，
设，则，
则直线方程为，与联立得，
设，则，解得，则，
直线方程为，与联立得，
设，则，解得，则，
故，，
所以P，Q关于原点对称，P，O，Q三点共线.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
（昌平区19）
19）（共15分）
解：（ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）由题设，解得 ………4分
所以椭圆的方程为 ………5分
(Ⅱ)解法一：
由题意可知，.
设，则 ① ………6分
直线的方程为. ………7分
令，得点的纵坐标为，则. ………8分
直线的方程：. ………9分
令，得点的纵坐标为，则. ………10分
设以为直径的圆经过轴上的定点，则.
由得. ② ………11分
由①式得，代入②得. ………12分
解得或. ………13分
所以以为直径的圆经过轴上的定点和. ………14分
所以以为直径的圆截轴所得的弦长为定值 ………15分
解法二：
由题意可知，.
设，则 ……………6分
因为, ……………7分
设直线的方程为.
令，得点的纵坐标为，则. ………8分
则直线的方程为. ………9分
令，得点的纵坐标为，则. …………10分
设以为直径的圆经过轴上的定点，则. …………11分
由得. ……………12分
可得，解得或. ……………13分
所以以为直径的圆经过轴上的定点和. ………14分
所以以为直径的圆截轴所得的弦长为定值 ………15分
解法三：
由题意可知，.
设，则 ① ………6分
直线的方程为. ………7分
令，得点的纵坐标为，则. ………8分
直线的方程：. ………9分
令，得点的纵坐标为，则. ………10分
所以.
则的中点为. ………11分
所以以为直径的圆的方程为
………12分
令则
由 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①可得
所以
所以或 ………13分
所以以为直径的圆恒过点 ………14分
所以以为直径的圆截轴所得的弦长为定值 ………15分
（房山区19）
（20）（本小题15分）
（Ⅰ）解：由题意可得： 解得
所以椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）设，，由题可知，
则直线的方程为.
由 整理得.
则，即.
则，.

直线的方程为.
由整理得.
则，即.
得.
当，即时，
直线方程为，直线过点.
当时，即时，
.
所以直线方程为，
即，此时直线过定点.
综上，直线过轴上定点.
（2）方法二：
①当直线斜率不存在时，设直线为.
设， ，
直线方程为.
令，得.
.
.
因为三点共线，
所以.
.
因为所以.
此时直线方程为，直线过点.
②当直线斜率存在时，
设，，由题可知，
则直线的方程为.
由整理得.
则，即.
则，.
直线的方程为.
由整理得
则，即，
得，
.
所以直线方程为.
当时，此时直线过定点.
综上，直线过轴上定点.