2023北京高三二模数学分类汇编-导数

2023北京各区高三二模考试分类汇编－导数

一、海淀区

20．（本小题15分）

已知函数

（I）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若函数在区间上无零点，求a的取值范围．

二、东城区

（20）（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.

三、西城区

19. 已知函数.

（1）若，求的值；

（2）当时，

①求证：有唯一的极值点；

②记的零点为，是否存在使得？说明理由.

四、朝阳区

（20）（本小题15分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，

（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（ⅱ）证明：；

（Ⅱ）若函数的极大值大于，求的取值范围．

五、丰台区

20. 已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若是增函数，求a的取值范围；

（3）证明：有最小值，且最小值小于．

六、昌平区

（20）（本小题15分）   

已知函数

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；   

（Ⅱ）若函数在上有最小值，求的取值范围；

（Ⅲ）如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围. 

七、房山区

（19）（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的最小值；

（Ⅲ）证明：

2023北京各区高三二模考试分类汇编－导数－答案解析

1、海淀区

2、东城区

（20）（共15分）

解：（Ⅰ），

，.

所以曲线在点处的切线方程为.       ……………5分

（Ⅱ）令，

则，

当时，，在上单调递增.

因为，，

所以，使得.

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

，，

所以.                       ………11分

（Ⅲ）满足条件的的最大整数值为.

理由如下：

不等式恒成立等价于恒成立.

令，

当时，，所以恒成立.

当时，令， ， ，

与的情况如下：

所以

当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，

所以的值域为.

因为，

所以的最小值小于且大于．

所以的最大整数值为.                                  …………15分

3、西城区

【答案】（1）   

（2）①证明见解析，②不存在，详细见解析.

【解析】

【分析】（1）求得导函数，由，代入计算即可.

(2) ①求得设, 由函数性质可知在上单调递减.进而由，可得有有唯一解，进而利用导数可判断有唯一的极值点.

②由题意，可得假设存在a，使，进而可知由在单调递减，，则，求得，与已知矛盾，则假设错误.

【小问1详解】

因为，所以

因为，所以

【小问2详解】

①的定义域是，

令，则.

设,因为在上单调递减，

所以在上单调递减.

因为，所以在上有唯一的零点，|

所以有有唯一解，不妨设为.

与的情况如下,

所以有唯一的极值点.

②由题意，，则

若存在a，使，则，所以

因在单调递减，，

则需，即，与已知矛盾.

所以，不存在,使得.

4、朝阳区

（20）（本小题15分）

解：（Ⅰ）（ⅰ）当时，，

所以，则．

又．

所以曲线在点处的切线方程为：，

即．                                             ………4分

（ⅱ）设函数，定义域为，

当时，．

所以．

当时，，所以的单调递增区间为，

当时，，所以的单调递减区间为．

所以．

所以．

故．                                  ………9分

（Ⅱ）① 当时，，

所以，与的极大值大于矛盾，不符合题意．

② 当时，，

令，得，或（舍）．

设，则．

当时，，所以的单调递增区间为，

当时，，所以的单调递减区间为．

所以为的极大值点，且，．

此时极大值，

因为，所以，．

所以，符合题意．

综上，的取值范围为．                              ………15分

5、丰台区

20. 【答案】（1）   

（2）   

（3）证明过程见解析

【解析】

【分析】（1）求导得到，利用点斜式写出切线方程；

（2）先求定义域，求导后，即恒成立，即，求出的最小值，从而得到参数的取值范围；

（3）在（2）的基础上得到分与两种情况，结合函数的单调性，得到极值和最值情况，证明出结论.

【小问1详解】

当时，，，

，故，

所以曲线在点处的切线方程为，即；

【小问2详解】

定义域为，

，

若是增函数，则恒成立，故，

即，其中，当且仅当，即时，等号成立，

故，解得，

a的取值范围是

【小问3详解】

定义域为，

，

结合（1）可知，当时，是增函数，故在处取得最小值，且最小值小于，

当时，令得，，

该方程有两个正实数根，设为，由韦达定理得，即，

令得，，或，令得，，

随着的变化，的变化情况如下：

所以的极小值为，故的最小值为，记为，

当时，若，则，此时与矛盾，舍去，

所以，则或，

故，所以肯定小于，所以，

当时，，所以，此时，，

，即，故此时，

综上，有最小值，且最小值小于

【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为：

第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，

第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.

第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.

6、昌平区

 (20)（共15分）

解：（I）当时，

所以                                         ………1分

因为                                       ………3分

所以曲线在点处的切线方程为            ………4分

（II）函数定义域.                                      ………5分

因为                                         ………6分

法一：

因为所以                                   ………7分

      ①当时，在上单调递增，

所以函数在上无最小值，即不合题意.            ………8分

②当时，令则                  

当时，，在上单调递增； 

当时，，在上单调递减.      ………9分

所以函数在上有最小值.

所以函数在上有最小值时的取值范围为       ………10分

法二：

因为                 ………6分

令，则.                                      ………7分

  ①当时，，

所以当时， 即在上单调递增，

所以函数在上无最小值，即不合题意.            ………8分

②当时，                  

当时，，在上单调递增； 

当时，，在上单调递减.      ………9分

所以函数在上有最小值.

所以函数在上有最小值时的取值范围为       ………10分

（III）设                       

      由题意，存在，使，恒有，

即，恒有成立.                              ………11分

因为             ………12分

设.

①当时，函数的对称轴为，，

即当时，，所以。

所以在上单调递减.

所以，即，恒有成立.         ………13分

②当时，令.

因为，

所以.

因为当时，

所以在上单调递增.

所以，不合题意.                                ………14分

综上可知当时，存在，使，恒有.  

………15分

7、房山区

（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ）.     

所以.斜率为.              

，切点为.               

所以，在点处切线的方程为 .                                

（Ⅱ）当时，，           

令，

则.      

当时，，

所以在单调递减.                   

所以.                         

所以.函数在上单调递减.

函数在上单调递减.            

所以，即函数的最小值为. 

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知在上单调递减.

又因为            

所以.                           

所以，即