第61讲 随机变量分布列、期望与方差-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第61讲 随机变量分布列、期望与方差

【知识通关】

通关一、离散型随机变量分布列

1. 离散型随机变量的分布列的表示

一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为，X取每一个值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为x的分布列.

为了简单起见，也可以用等式，表示X的分布列.

2. 离散型随机变量的分布列的性质

根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：

（1）；

（2）；

（3）（）.

通关二、离散型随机变量的均值与方差

1. 期望与方差的表示

一般地，若离散型随水变量X的概率分布列为：

则称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了高散型随机变量取值的平均水平；称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X）的均偏离程度，其算术平方根为随机变量x的标准差.

2. 均值的性质

若，其中是常数，X是随机变量，则均值的性质：

（1）（k为常效）；

（2）；

（3）；

（4）若相互独立，则.

3. 方差的性质

（1）（为常数）；

（2）；

（3）.

通关三、正态分布曲缆及特点

我们把画数（其中是样本均值，是样本标准差）的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

（1）曲线位手轴上方，与轴不相交；

（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；

（3）曲线在处达到峰使（最大值）

（4）曲线与轴之间的面积为1；

（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；

（6）当一定时，曲线的形状由确定；越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

【结论第讲】

结论一、求解离散型随机变量X的分布到的步骤

1. 理解X的意义，写出X可能取的全部值；

2. 求X取每个值的概率；

3. 写出X的分布列；

4. 根据分布列的性质对结果进行检验.

【例1】 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，

（1）求甲获胜的概率；

（2）求投篮结束时甲的投球次数的分布列.

【变式】在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为2，4，2，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（1）求该选手进人第三轮才被淘汰的概率；

（2）求该选手至多进人第三轮考核的概率；

（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列.

结论二、期望与方差的一般计算步骤

1. 理解X的意义，写出X的所有可能取的值；

2. 求X取各个值的概率，写出分布列；

3. 根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.

【例2】 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.  根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率，

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

【变式】  为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.

（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率；

（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望.

结论三、二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生次的概率为"，k=0，1，2…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作x~B（n，p）.

要点诠释：

.

【例】3 为保护水资源，宣传节约用水，某校4. 名志愿者准备去附近的甲、乙、两三个公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三个公园中随机选择一个，且每人的选择相互独立.

（1）求4人恰好选择了同一个公园的概率；

（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列及期望.

【变式】 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x的分布列、期望E(X）及方差D(X）.

结论四、超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则其中且.

要点诠释：

【例】4 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.

【变式】 为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动. 这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人.

（1）求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；

（2）求选出的3人中，语文教师人数X的分布列和数学期望.

结论五、利用期望与方差进行决策

若我们希望实际的平均水平较理想时，一般先求随机变量的期望，若时，则用来比较这两个随机变量的偏离程度. 若与比较接近，且期望较大者的方差校小，显然该变量更好；若与比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.

【例5】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下；

（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；

（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.