第52讲 直线与圆的位置关系-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第52讲 直线与圆的位置关系

通关一、直线与圆的位置关系的判定

通关二、圆与圆的位置关系

通关三、圆的方程

1.过直线与圆的交点的圆系方程是 ;

2.以为圆心的同心圆系方程是 : ;

3.与圆同心的圆系方程是;

4.过同一定点的圆系方程是.

结论一、直线与圆的位置关系判定步骤

（1）明确圆心的坐标和半径长,将直线方程化为一般式;

（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离;

（3）比较与的大小,写出结论.

【例】 1 若直线关系 与圆 有公共点,则 （     ）

 A.        B. ..........C.  D.

【答案】

【解析】 圆心到直线的距离不大于1即可,即1. 故选 D.

【变式】若直线关系与圆相切,则直线与圆 的位置关系是 （     ）.

 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定

【答案】 A

【解析】因为直线与圆相切,所以,解得,因为,所以,所以直线的方程为 ,圆的圆心到直线的距离,所以直线与圆 相交. 故选 .

结论二、切线方程的求解

1.求过圆上的一点的切线方程;

如图,利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于,

即.

(1)过圆上一点的切线方程是

(2)过圆上一点的切线方程

是.

2. 求过圆外一点的圆的切线方程:

当斜率存在时,设为,则切线方程为,即.

由圆心到直线的距离等于半径,即可求出的值,进而写出切线方程.

【例2】 已知圆的方程为:及圆上一点,则过的圆的切线方程为______________

【答案】

【解析】 解法一 由题意知点在圆上,且,所以可得切线斜率 .所以切线方程为, 整理后可得.

解法二 设切线方程为,即,所以 ,整理可得,即,解得 . 所以, 即.

【变式】 过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程

是（     ）.

 A. B.  C.  D. 

【答案】  A

【解析】 设两切线切点分别为,则两切线方程为 .又在两切线上,所以.所以两切点的坐标满足 方程.故选.

结论三、圆的弦长问题处理方法

1. 几何法:如图所示,设直线被圆截得的弦为,圆的半径为,圆心到直线的距离为,则有关系式:

2.代数法:若斜率为的直线与圆相交于,两点,则 (其中).特别地,当 时,;当斜率不存在时,.

【例3】已知直线与圆相交于两点,且(其中为原点) ,那么的值为___________

【答案】

【解析】 如图,作,所以, 所以

, 即, 所以.

【变式】已知直线和圆相交于两点. 若,则的值为___________

【答案】 5

【解析】 因为圆心到直线的距离,由可得,解得.

结论四、切线长问题

已知圆C和圆外的一条直线l,则过直线上的点作圆的切线,切线长的最小值为,则若最小,只需最小即可,所以P点为过C作垂线的垂足时,最小

【例4】由直线上一点向圆引切线,

则切线长的最小值是（     ）.

 A.1 B. C.  D.3

【答案】  A

【解析】 如图,,因为固定, 故求最小,即求最小,

即,故的最小值为1.故选A.

【变式】过点作圆的切线,切线长外为,点到直线的 距离为,若,则 （      ）

 A.或10 B.2或10 C.或 D.2或3

【答案】 B

【解析】依题意,因为,所以,

整理得,解得或.故选B.

结论五、圆与圆的位置关系判定步骤

(1)确定两圆的圆心坐标判定步骤和半径长;

(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距,求;

(3)比较的大小, 写出结论.

【例5】若圆与圆外切,则正数的值是_________

【答案】4

【解析】圆,圆心为,半径为.圆可化为 ,圆心为,半径是1.由两圆相外切得, 解得: .

【变式】已知圆的方程为,圆的方程为,那么这两个圆的位置关系不可能是(      ).

 A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切

【答案】

【解析】 因为圆的方程为,所以圆的圆心坐标为,半径为2.又因为圆的方程为,所以圆的圆心坐标判定步骤为,半径为1. 因此有有两圆,两圆的半径和为3,半径差的绝对值为1,故两圆的圆心距 不可能小于两圆的半径差的绝对值,不可能是内含关系. 故选.

结论六、相交圆公共弦所在直线的方程

设圆(1),圆(2),

若两圆相交,则有一条由得公共弦,由（1）(2)得(3)

方程(3)表示圆与的公共弦所在直线的方程.

【例6】 已知圆和圆,求两圆的公 共弦所在的直线方程及公共弦长.

 【解析】设两圆的交点为,则两点的坐标是方程组 的解.两个式子相减,得.由于两点的坐标都满足此方程,因此为两圆的公共弦所在的直线方程.易知圆的圆心为 ,半径为.又的圆心到直线的距离为 ,所以,即两圆的公共弦长为.

【变式】 若圆与圆的公共弦的长为,则=_____

【答案】1

【解析】两圆的方程相减,得公共弦所在直线方程为,则.

结论七、与圆的几何性质有关的最值

(1)记为圆心,圆外一点到圆上距离最小为,最大为;

(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为以该点为中点孩的弦;

(3)记圆心到直线的距离为,直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距离为,最小距离为;

(4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.

【例7】已知圆,过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(     ).

 A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】 B

【解析】 圆可化为, 以圆心的坐标为,半径为3. 设,当过点的直线和直线垂直时,圆心到过点的直线的距离最大,所截得的弦长最短,根据弦长公式,最小值为.故选.

【变式】已知半径为1的圆经过点,则其圆心到原点的距离的最小值为 (     ).

 A.4  B.5 C.6 D.7

【答案】 A

【解析】 设圆心为,则1 ,

化简得,所以圆心的轨迹是

以为圆心,1为半径的圆,所以

,所以,当且仅当

在线段上时等号成立.故选.

结论八、与圆的代数结构有关的最值

1.形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;

2.形如形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;

3.形如形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

【例8】已知圆为圆上的动点,则的最大值为_____,最小值为_____

【答案】 36   16

【解析】 解法一 圆的标准方程为,可设点

的坐标为是参数.则

(其中).所以.

解法二 是圆上点到原点距离的平方,所以要求的最值,即求圆上距离原点距离最远和最近的点.结合图像知,距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1,距离的最小值

等于圆心到原点的距离减去半径1.

所以.

【变式】 设点是圆上任一点,则的取值范围为________

【答案】

【解析】 解法一 设,则有,所以

,所以,所以,即 .所以.又因为 , 所以.解得 .

解法二 （根据几何意义求解） 的几何意义是过圆上一动点和定点 的连线的斜率,利用此直线与圆有公共点,可确定出的取值范围.由 得,此直线与圆有公共点,故点到直线的距离 ,所以,解得.另外,直线与圆的公共点还可以这样来处理:由消去后得,此方程有实根,故,解得