辽宁省本溪市高级中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试卷含答案

  本溪县高级中学2022级高一上12月月考

数学试题

考生注意：

1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4. 本卷命题范围：人教B版必修第一册，第二册第四章~第五章第1节.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，

A.  B.  

C.  D.

【答案】B

2. 命题“”的否定是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

3. 某病毒实验室成功分离培养出贝塔病毒60株、德尔塔病毒20株、奥密克戎病毒40株，现要采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为30的样本，则奥密克戎病毒应抽取（    ）

A. 10株 B. 15株 C. 20株 D. 25株

【答案】A

4. “且”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

5. 已知函数，下列含有函数零点的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

6. 已知，，，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】C

7. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为（参考数据：，）（    ）

A. 2032 B. 2035 C. 2038 D. 2040

【答案】D

8. 已知函数的值域为R，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】AD

10. 某社区组织居民开展消防安全知识公益讲座.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

B. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

C. 讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差

D. 讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差

【答案】ACD

11. 已知，则（    ）

A. 有最大值 B. 有最小值

C. 有最大值50 D. 有最小值50

【答案】AC

12. 已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若幂函数的图象经过点，则实数a的值为______.

【答案】4.

14. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是__________.

【答案】6

15. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为___________.

【答案】

16. 当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为_______.

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 设集合．

（1）用列举法表示集合；

（2）若是的必要条件，求实数的值．

【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

，即或，；

【小问2详解】

若是的必要条件，则，

，

解得或，又，所以，

得．

18. 计算：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；   

（2）.

【小问1详解】

解：原式.

【小问2详解】

解：原式.

19. 已知函数的图象关于原点对称，且当时，

（1）试求在R上的解析式；

（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.

【答案】（1）   

（2）函数图象见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为；

【小问1详解】

解：的图象关于原点对称，

是奇函数，．

又的定义域为，，解得．

设，则，

当时，，

，

所以；

【小问2详解】

解：由（1）可得的图象如下所示：

由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；

20. 已知函数

（1）求方程f（x）＝3f（2）的解集；

（2）讨论函数g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零点的个数．

【答案】（1）；（2）见解析.

【详解】（1），，

由，得

①当时，由，得，得，解得；

②当时，由，得，得，解得.

因此，方程的解集为；

（2）由，得出，则函数的零点个数等于直线与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示：

由图象可知，当时，函数没有零点；

当时，函数有且只有一个零点；

当时，函数有两个零点.

21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：.设分配给植绿护绿项目的资金为x（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为（单位：百万元）.

（1）将表示成关于x的函数；

（2）为使生态收益总和最大，对两个生态项目的投资分别为多少？

【答案】（1）   

（2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元

【小问1详解】

若分配给植绿护绿项目的资金为x百万元，则分配给处理污染项目的资金为百万元，

∴.

【小问2详解】

由（1）得

（当且仅当，即时取等号），

∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y最大.

22. 已知e是自然对数的底数，.

（1）判断函数在上的单调性并证明你的判断是正确的；

（2）解不等式；

（3）记，若对任意恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析   

（2）或   

（3）

【小问1详解】

函数在上单调递增，证明如下：

任取，，且，

则

，

因为，，且，所以，所以，，，

故，即，

所以在上单调递增.

小问2详解】

函数的定义域为，，

所以是偶函数，

又由（1）知在上单调递增，

所以，

两边平方可得，解得或，

故不等式的解集或.

【小问3详解】

，问题即为恒成立，显然，

首先对任意成立，即，

因为，则，所以.

其次，，即为，

即成立，

亦即成立，

因为，所以对于任意成立，

即，所以.

综上，实数a的取值范围为.