2022-2023学年江苏省南京航空航天大学附属高级中学高一下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京航空航天大学附属高级中学高一下学期期中考试数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了已知复数z满足，已知复数z1＝，化简﹣2cs20°所得的结果是，在复平面内，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

 2022-2023学年南京航空航天大学附属高级中学高一下期中考试一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知复数z满足（1﹣i）z＝3﹣i（i为虚数单位），则复数z的模等于（　　）
A．1 B．2 C． D．4
2．已知向量，满足，则向量的夹角的大小为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知复数z1＝（cos+isin），z2＝（cos+isin），则z1z2的代数形式是（　　）
A．（cos+isin） B．（cos+isin）
C．﹣i D．+i
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5．若4sinα﹣3cosα＝0，则sin2α+2cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则（　　）

A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
7．化简﹣2cos20°所得的结果是（　　）
A． B． C． D．2
8．已知△ABC中，B＝C﹣，sinA＝，BC＝，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．在复平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若复数（i为虚数单位），则z＝i
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z＝a+bi（a，b∈R），则z为纯虚数的充要条件是a＝0
D．若复数z满足|z|＝1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
10．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（　　）
A．若|+|＝||﹣||，则，的方向相同
B．若⊥，则|+|＝|﹣|
C．若|+|＝||+||，则在方向上的投影向量为
D．若存在实数λ使得＝λ，则|+|＝||﹣||
11．已知△ABC，a∈R，若tanA，tanB是关于x的方程x2﹣ax+a+3＝0的两个根（含重根），则△ABC可能是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
12．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A．角C一定为锐角 B．a2+2b2﹣c2＝0
C．sinB+2sinAcosC＝0 D．3tanA+tanC＝0
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知平面向量＝（2，﹣1），＝（m，2），且⊥，则|+|＝　 　．
14．已知，且，则α+β＝　 　．
15．为了测量A、B两岛屿之间的距离，一艘测量船在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向．再往正东方向行驶16海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿之间的距离为 　 　海里．
16．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为 　 　；（+）•的最小值为 　 　．
四．解答题（共6小题）
17．（10分）已知复数z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
18．（12分）已知角A是△ABC的内角，若＝（sinA，cosA），＝（1，﹣1）．
（1）若，求角A的值；
（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．
19．（12分）在①A＝，a＝，b＝；②a＝1，b＝，A＝；③a＝，b＝，B＝这三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为2，并加以解答．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ____，解三角形．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝（2c﹣b）cosA．
（1）求角A；
（2）若向量＝（cosB，2cosA），＝（0，sin2），求|﹣2|的取值范围．
21．（12分）如图在四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝．
（1）若AC＝，求△ABC的面积；
（2）若∠ADC＝，CD＝4，求AD的长．

22．（12分）已知 f（x）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（α）＝（≤a≤π），求sin2α值；
（Ⅲ）当时，讨论方程的根的个数。

2022-2023学年南京航空航天大学附属高级中学高一下期中考试参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．已知复数z满足（1﹣i）z＝3﹣i（i为虚数单位），则复数z的模等于（　　）
A．1 B．2 C． D．4
【解答】解：由（1﹣i）z＝3﹣i得z＝＝＝＝2+i，
则|z|＝＝，
故选：C．
2．已知向量，满足，则向量的夹角的大小为（ ）．
A． B． C． D．
【解答】解：向量，满足，
可得﹣＝1，可得，可得cos＝，
则向量的夹角的大小为：30°．
故答案为：B．

3．已知复数z1＝（cos+isin），z2＝（cos+isin），则z1z2的代数形式是（　　）
A．（cos+isin） B．（cos+isin）
C．﹣i D．+i
【解答】解：由已知可得z1z2＝（cos）（cos）
＝[（cos）+（cos+sin）i]
＝（cos+isin）＝
＝，
故选：D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，
利用正弦定理得：
sinA﹣sinB＝sinCcosB﹣sinCcosA，
整理得：sin（B+C）﹣sinB＝sinCcosB﹣sinCcosA，
化简得：sinBcosC﹣sinB＝﹣sinCcosA，
则：（sinB﹣sinA）cosC＝0，
则：sinB＝sinA或cosC＝0，
利用正弦定理整理得：b＝c．
由于cosC＝0，
所以C＝．
故选：D．
5．若4sinα﹣3cosα＝0，则sin2α+2cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由4sinα﹣3cosα＝0，求得，
而，
所以．
故选：B．
6．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则（　　）

A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
【解答】解：由题意可设，
∴
＝．①
又因为在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，
∴
，，代入①式化简得：
9x+（1﹣x）×9+1＝10．
故选：A．
7．化简﹣2cos20°所得的结果是（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：﹣2cos20°＝﹣2cos20°＝﹣2cos20°＝＝＝＝＝＝．
故选：B．
8．已知△ABC中，B＝C﹣，sinA＝，BC＝，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由B＝C﹣，得C﹣B＝，可得B为锐角，
又sinA＝，∴sin（B+C）＝，则sin（2B+）＝，
即cos2B＝，∴，解得cosB＝，则sinB＝．
sinC＝sin（B+）＝cosB＝，
由正弦定理，
得b＝，c＝．
∴＝．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．在复平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若复数（i为虚数单位），则z＝i
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z＝a+bi（a，b∈R），则z为纯虚数的充要条件是a＝0
D．若复数z满足|z|＝1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
【解答】解：A．z＝＝＝＝i，因此正确；
B．令z＝x+yi（x，y∈R），由z2＝x2﹣y2+2xyi∈R，∴xy＝0，∴x＝0或y＝0，∴z∈R不正确；
C．复数z＝a+bi（a，b∈R），则z为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0，因此不正确；
D．复数z满足|z|＝1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，正确．
故选：AD．
10．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（　　）
A．若|+|＝||﹣||，则，的方向相同
B．若⊥，则|+|＝|﹣|
C．若|+|＝||+||，则在方向上的投影向量为
D．若存在实数λ使得＝λ，则|+|＝||﹣||
【解答】解：A：若|+|＝||﹣|，则与方向相反且|||≥|，∴A错误，
B：若⊥，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且|+|，|﹣|为矩形的两条对角线的长，则|+|＝|﹣|，∴B正确，
C：若|+|＝||+||，则与方向相同，在方向上的投影向量为，∴C正确，
D：当λ＞0时，∵＝λ，∴与方向相同，∴|+|≠||﹣|，∴D错误，
故选：BC．
11．已知△ABC，a∈R，若tanA，tanB是关于x的方程x2﹣ax+a+3＝0的两个根（含重根），则△ABC可能是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：由题意得tanA+tanB＝a，tanAtanB＝a+3
又Δ＝a2﹣4（a+3）≥0，
所以a≥6或a≤﹣2，
当a＝﹣2时，tanA＝tanB＝﹣1，则A，B都为钝角，不符合题意；
当a≠﹣2时，tan（A+B）＝＝＝﹣＜0，
故C为锐角，
当a≥6时，tanA+tanB＞0，tanAtanB＞0，
则tanA＞0，tanB＞0，A，B都为锐角，此时△ABC为锐角三角形，
当a＜﹣2时，tanA+tanB＜0，tanAtanB＜0，则tanA，tanB一正一负，A，B中有一个钝角，此时△ABC钝角三角形，
当a＝6时，tanA＝tanB＝3，此时A＝B，△ABC为等腰三角形，
若△ABC为直角三角形，由题意只能C为直角，此时tanAtanB＝a+3＝1，即a＝﹣2显然不符合题意．
故选：BCD．
12．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A．角C一定为锐角 B．a2+2b2﹣c2＝0
C．sinB+2sinAcosC＝0 D．3tanA+tanC＝0
【解答】解：由于，
利用三角函数关系式的变换：，
即：，
整理得：b﹣2a+2a（1+cosC）＝0，
所以b+2acosC＝0；
利用正弦定理：sinB+2sinAcosC＝0，
利用三角函数关系式sin（A+C）+2sinAcosC＝0，
整理得3sinAcosC+cosAsinC＝0，所以3tanA+tanC＝0，
利用余弦定理：a2+2b2﹣c2＝0，
由于a2+b2﹣c2＝2abcosC，故b2＝2abcosC，
整理得b＝2acosC，
故选：BCD．
三．填空题（共4小题）
13．已知平面向量＝（2，﹣1），＝（m，2），且⊥，则|+|＝　　．
【解答】解：∵平面向量＝（2，﹣1），＝（m，2），且⊥，
∴＝2m﹣2＝0，∴m＝1，∴+＝（ 3，1），
则|+|＝＝，
故答案为：．
14．已知，且，则α+β＝　　．
【解答】解：因为，且，
所以sinα＝，cosβ＝﹣，
则sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝﹣，
因为，
所以α+β＝．
故答案为：．
15．为了测量A、B两岛屿之间的距离，一艘测量船在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向．再往正东方向行驶16海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿之间的距离为 　8　海里．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意知∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝16，所以∠DAC＝45°，
在△ADC中，由正弦定理得：＝，
解得AD＝＝8，
又∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BC＝DC＝16，BD＝16，
又∠ADB＝15°+45°＝60°，
在△ADB中，由余弦定理得：
AB2＝+（8）2﹣2×16×8cos60°＝384，
解得AB＝8，
所以A、B两岛屿之间的距离为8海里．
故答案为：8．

16．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为 　1　；（+）•的最小值为 　　．
【解答】解：如图，设BE＝x，

∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，
∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，
∴（2+）2＝4+4•+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，
则|2+|＝1，
∵（+）•＝（+）•（+）＝+•
＝+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1
＝5+，x∈（0，），
∴（+）•的最小值为．
故答案为：1，．
四．解答题（共6小题）
17．已知复数z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
【解答】解：（1）∵z1＝a+3i，z2＝2﹣ai，
∴，
∵在复平面内对应的点落在第一象限，
∴，解得a＞﹣2，
故a的取值范围为（﹣2，+∞）．
（2）由，得（a+3i）2﹣6（a+3i）+m＝0，
即a2﹣6a+m﹣9+（6a﹣18）i＝0，
故，解得，
故m＝18．
18．已知角A是△ABC的内角，若＝（sinA，cosA），＝（1，﹣1）．
（1）若，求角A的值；
（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．
【解答】解：（1）∵角A是△ABC的内角，∴0＜A＜π，
又＝（sinA，cosA），＝（1，﹣1）且，
∴﹣，即2（sinA+）＝0，
∴sin（A+）＝0，
∵0＜A＜π，∴＜A+＜，
则A+＝π，即A＝；
（2）f（x）＝＝＝，
∵＜A﹣＜，∴要使f（x）取得最大值，则，即A＝．
∴＝（，cos）＝（，﹣），
∴在上的投影向量为＝•（1，﹣1）＝（1，﹣1）．
19．在①A＝，a＝，b＝；②a＝1，b＝，A＝；③a＝，b＝，B＝这三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为2，并加以解答．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ____，解三角形．
【解答】解：选①A＝，a＝，b＝，
由正弦定理得，＝＝2，
所以sinB＝，
因为a＞b，
所以A＞B，
所以B＝，只有一解，不符合题意；
②a＝1，b＝，A＝，
由正弦定理得，＝＝2，
所以sinB＝，
因为a＜b，
所以A＜B，
所以B＝或B＝，有两解，符合题意；
③a＝，b＝，B＝，
由正弦定理得，＝＝，
所以sinA＝1，
所以A＝，只有一解，不符合题意；
故只能选②
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝（2c﹣b）cosA．
（1）求角A；
（2）若向量＝（cosB，2cosA），＝（0，sin2），求|﹣2|的取值范围．
【解答】解：（1）在△ABC中，acosB＝（2c﹣b）cosA，
由正弦定理：sinAcosB＝2sinCcosA﹣sinBcosA，可得：sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosA，可得sinC＝2sinCcosA，
因为C∈（0，π），
故sinC＞0，
从而，
又A∈（0，π），
所以A＝．
（2）因为向量＝（cosB，2cosA），＝（0，sin2），
可得＝，
可得||2＝cos2B+cos2C＝＝＝＝＝＝＝，
因为，可得，可得，
所以，
所以||2∈[，），
所以||∈[，）．
21．如图在四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝．
（1）若AC＝，求△ABC的面积；
（2）若∠ADC＝，CD＝4，求AD的长．

【解答】解：（1）∵∠ABC＝，AC＝，AB＝，
∴由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，
可得BC2+2BC﹣3＝0，解得BC＝1，
∴S△ABC＝AB•BC•sin∠ABC＝×＝．
（2）设∠BAC＝θ（0），AC＝x，则∠CAD＝﹣θ，
在△ABC中，由正弦定理＝，可得x＝，
在△ACD中，由正弦定理＝，可得x＝，
所以＝，化简可得tanθ＝，
所以sin∠CAD＝cosθ＝，
所以AC＝x＝＝，cos∠CAD＝，
在△ACD中，由余弦定理CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos∠CAD，可得AD2﹣2AD﹣22＝0，解得AD＝+2．

22．已知 f（x）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（α）＝（≤a≤π），求sin2α值；
（Ⅲ）当时，讨论方程的根的个数。
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 f（x）＝•﹣＝sin2ωx+sinωx•cosωx
＝+sin2ωx﹣＝sin（2ωx﹣），且f（x）的周期为π＝，求得ω＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）＝sin（2x﹣），根据f（α）＝sin（2α﹣）＝（≤α≤π），
可得 2α﹣∈[，π]，∴cos（2α﹣）＝﹣．
∴sin2α＝sin[（2α﹣）+]＝sin（2α﹣）cos+cos（2α﹣）sin
＝+（﹣）×＝．
（Ⅲ）由于函数，则
当k>1,个数为0
当k=1或时，个数为1
当时，个数为2