河南省信阳市罗山县2021-2022学年八年级下学期期中质量监测数学试卷(含答案)

2021-2022学年河南省信阳市罗山县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤2

解析：解：根据题意得：x﹣2≥0，

解得x≥2．

故选：C．

2．下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．3+2

解析：解：A、﹣＝2﹣＝，故此选项正确；

B、+无法合并，故此选项错误；

C、4﹣3＝，故此选项错误；

D、3+2无法合并，故此选项错误；

故选：A．

3．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

A． B． C． D．

解析：解：A、原式＝|x|，不是最简二次根式；

B、是最简二次根式；

C、原式＝2，不是最简二次根式；

D、原式＝，不是最简二次根式，

故选：B．

4．一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为（　　）

A．10 B．12 C．24 D．48

解析：解：已知三角形的三边分别是BC＝15，AB＝20，AC＝25，BD是AC上的高，

∵BC＝15，AB＝20，AC＝25，

∴AC2＝AB2+BC2，

∴三角形ABC为直角三角形，

∵BD是AC上的高，

∴BD•AC＝AB•BC，

∴BD＝12．

故选：B．

5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（　　）

A． B． C． D．

解析：解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；

D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．

故选：D．

6．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）

A．76 B．72 C．68 D．52

解析：解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则

x2＝122+52＝169

所以x＝13

所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．

故选：A．

7．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（　　）

A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm

解析：解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高6cm，宽＝2+3+2+3＝10cm，AB为对角线．

AB＝＝2cm．

故选：B．

8．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O．过点O作OE⊥AC，交AD于点E．连接CE，则△CDE的周长为（　　）

A．3 B．5 C．8 D．11

解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，

∵AB＝3，BC＝5，

∴AD+CD＝8，

∵OE⊥AC，

∴AE＝CE，

∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8．

故选：C．

9．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S＝，其中p＝；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S＝，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　）

A． B． C． D．

解析：解：∵S＝，

∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S＝＝，

故选：B．

10．如图1，已知AC是矩形纸片ABCD的对角线，AB＝3，∠ACB＝30°，现将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中A′B′C′，当四边形A′ECF是菱形时，平移距离AA′的长是（　　）

A． B． C．2 D．

解析：解：如图（2）设AA′＝x，

∵∠A＝30°，A′B＝DC＝3，

∴AD＝3，

∴A′D＝3﹣x，A′E＝

∵四边形A′ECF是菱形

∴A′E∥FC，A′E＝A′F，

∴∠DA′F＝∠A＝30°，

∴A′F＝＝，

∴＝，

∴x＝2

故选：C．

二、填空题（共5小题，共15分）

11．计算+×的结果是　6　．

解析：解：原式＝2+

＝2+4

＝6．

故答案为6．

12．已知，则　1.01　．

解析：解：∵，

∴＝＝＝＝1.01；

故答案为：1.01．

13．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站　12　千米的地方．

解析：解：设AE＝x千米，则BE＝（36﹣x）千米，

在Rt△AEC中，CE2＝AE2+AC2＝x2+242，

在Rt△BED中，DE2＝BE2+BD2＝（36﹣x）2+122，

∵CE＝ED，

∴x2+242＝（36﹣x）2+122，解得x＝12，

所以E站应建在距A站12千米的地方，能使蔬菜基地C、D到E的距离相等．

故答案为12．

14．如图，矩形ABCD中，对角线AC＝8cm，△AOB是等边三角形，则AD的长为　　cm．

解析：解：∵△AOB是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∴∠ACB＝30°，

∵AC＝8cm，

∴AB＝4cm，

在Rt△ABC中，BC＝＝＝4cm，

∵AD＝BC，

∴AD的长为4cm．

故答案为：4．

15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 　1　．

解析：解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，

∵E，F分别是边AB，BC的中点，

∴AE＝CF＝×2＝，

∵AD∥BC，

∴∠DPH＝∠FCH，

∵∠DHP＝∠FHC，

∵DH＝FH，

∴△PDH≌△CFH（AAS），

∴PD＝CF＝，

∴AP＝AD﹣PD＝，

∴PE＝＝＝2，

∵点G，H分别是EC，CP的中点，

∴GH＝EP＝1；

方法二：设DF，CE交于O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，

∵点E，F分别是边AB，BC的中点，

∴BE＝CF，

∴△CBE≌△DCF（SAS），

∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，

∵∠CDF+∠CFD＝90°，

∴∠BCE+∠CFD＝90°，

∴∠COF＝90°，

∴DF⊥CE，

∴CE＝DF＝＝，

∵点G，H分别是EC，PC的中点，

∴CG＝FH＝，

∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，

∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，

∴∠FCO＝∠CDO，

∵∠DCF＝∠COF＝90°，

∴△COF∽△DOC，

∴＝，

∴CF2＝OF•DF，

∴OF＝＝＝，

∴OH＝，OD＝，

∵∠COF＝∠COD＝90°，

∴△COF∽△DCF，

∴，

∴OC2＝OF•OD，

∴OC＝＝，

∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，

∴HG＝＝＝1，

故答案为：1．

三、解笞题（共8题：共75分）

16．（10分）计算：

（1）﹣（﹣）

（2）（a2﹣）

解析：解：（1）原式＝5﹣+4

＝；   

（2）原式＝a2﹣

＝9a3﹣

＝a3．

17．（9分）当2＜m＜3时，化简﹣3|m﹣4|．

解析：解：∵2＜m＜3，

∴﹣3|m﹣4|，

＝﹣3（4﹣m），

＝•（3﹣m）﹣12+3m，

＝﹣3﹣12+3m，

＝3m﹣15．

18．（9分）已知，如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°．试求：

（1）∠BAD的度数；

（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）．

解析：解：（1）如图，连接AC，

∵AB＝BC＝1，且∠B＝90°，

∴∠BAC＝45°，AC＝＝，

而CD＝，DA＝1，

∴CD2＝AD2+AC2，

∴△ACD是直角三角形，即∠DAC＝90°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°；

（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，

而S△ABC＝AB×BC＝，

S△ACD＝AD×CA＝，

∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝（+1）．

19．（9分）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（结果保留根号）

解析：解：∵CD⊥AC，

∴∠ACD＝90°，

∵∠ABD＝135°，

∴∠DBC＝45°，

∴∠D＝45°，

∴CB＝CD，

在Rt△DCB中：CD2+BC2＝BD2，

2CD2＝8002，

CD＝400（米），

答：直线L上距离D点400米的C处开挖．

20．（9分）如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，试判断四边形AECF是不是平行四边形，并说明理由．

解析：解：四边形AECF是平行四边形．

理由如下：

∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，

∴∠AEF＝∠CFE＝90°，

∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），

在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABE＝∠CDF，

在△ABE与△DCF中，，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴AE＝CF，

∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

21．（9分）如图是“赵爽弦图”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，AE＝a，DE＝b，取c＝10，a﹣b＝2．

（1）正方形EFGH的面积为　4　，四个直角三角形的面积和为　96　；

（2）求（a+b）2的值．

解析：解：

（1）∵HE＝a﹣b＝2，

∴S正方形EFGH＝HE2＝4，

∵AD＝c＝10，

∴S正方形ABCD＝AD2＝100，

∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝100﹣4＝96，

故答案为：4；96；

（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，

∴4×ab＝96，解得2ab＝96，

∵a2+b2＝c2＝100，

∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196．

22．（10分）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB延长线上一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．

（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．

（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：

①当BE＝　2　时，四边形BECD是矩形；

②当BE＝　4　时，四边形BECD是菱形．

解析：（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，

∵点F是BC的中点，

∴BF＝CF，

在△DCF和△EBF中，

，

∴△EBF≌△DCF（AAS），

∴DC＝BE，

又∵DC∥AB，

∴四边形BECD是平行四边形；

（2）解：①BE＝2；

∵四边形BECD是矩形，

∴∠CEB＝90°，

∵∠ABC＝120°，

∴∠CBE＝60°，

∴∠ECB＝30°，

∴BE＝BC＝2，

故答案为：2；

②BE＝4，

∵四边形BECD是菱形，

∴BE＝CE，

∵∠ABC＝120°，

∴∠CBE＝60°，

∴△CBE是等边三角形，

∴BE＝BC＝4．

故答案为：4．

23．（10分）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为　C　

A．平行四边形  B．菱形   C．矩形    D．正方形

（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．

①求证：四边形AFF′D是菱形．

②求四边形AFF′D的两条对角线的长．

解析：解：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为矩形，

故选：C；

（2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15，

∴AE＝3．

如图2：

，

∵△AEF，将它平移至△DE′F′，

∴AF∥DF′，AF＝DF′，

∴四边形AFF′D是平行四边形．

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF＝＝＝5，

∴AF＝AD＝5，

∴四边形AFF′D是菱形；

②连接AF′，DF，如图3：

在Rt△DE′F中E′F＝FF′﹣E′F′＝5﹣4＝1，DE′＝3，

∴DF＝＝＝，

在Rt△AEF′中EF′＝EF+FF′＝4+5＝9，AE＝3，

∴AF′＝＝＝3．