2022-2023学年广东省广州中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共8小题，共24.0分.）

1.  下列根式中，不是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长为(    )

A.  B. 或 C.  D. 无法确定

4.  如图，在中，，，，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在平面直角坐标系中，▱的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，已知矩形，，，点、分别是，上的定点，点、分别是，的中点，若，则(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

7.  下列各命题的逆命题是假命题的是(    )

A. 平行四边形的两组对边分别相等 B. 若，则
C. 全等三角形的对应边相等 D. 等边三角形三个内角都等于

8.  如图，矩形的边在数轴上，点表示数，点表示数，，以点为圆心，的长为半径作弧与数轴负半轴交于点，则点表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  如图，在中，，点是边上的中点下列结论正确的有(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在边长为的正方形中，点在对角线上，，，，分别为垂足，连结，，下列结论正确的有(    )

A. 四边形为矩形
B. 若，则
C.
D. 的最小值为

三、填空题（共6小题，共24.0分）

11.  菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为__________．

12.  计算：______．

13.  已知三角形三边长分别是，，，则此三角形的面积为______．

14.  如图，在菱形中，

，，于点，则的长为

______．
 

15.  如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为______．

16.  如图，正方形的边长为，、为线段和上的动点，且始终满足，连接，，则的最小值为______ ．

四、解答题（共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
尺规作图：在如图所示的正方形内作等边，并连接、，求的度数不写作法，保留作图痕迹

19.  本小题分
如图，矩形的对角线，相交于点，，求证：四边形是菱形．
 

20.  本小题分
如图，点是正方形边的中点，点在正方形的外角平分线上，且，点为边的中点，求证：．

21.  本小题分
一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是若轮船速度为，求轮船从岛沿返回港所需的时间．

22.  本小题分
如图，将长为，宽为的矩形折叠，使点与点重合，求的长．

23.  本小题分
我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
城是否受到这次台风的影响？为什么？
若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且，满足动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动设运动时间为秒．
直接写出，两点的坐标；
当为何值时，四边形是平行四边形？
当为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出，两点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

解：、是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键，判断一个二次根式是最简二次根式，必须具备以下两个条件：被开方数的每一个因数或因式的指数都小于根指数，被开方数不含有分母．
 

2.【答案】 

解：、没有意义，故A不成立，不符合题意；
B、，故B不成立，不符合题意；
C、，故C成立，符合题意；
D、当时，，故D不成立，不符合题意．
故选：．
利用二次根式的化简的法则，二次根式的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

解：边长为的边为直角边，则第三边即为斜边，则第三边的长为：；
边长为的边为斜边，则第三边即为直角边，则第三边的长为：．
故第三边的长为或．
故选：．
题干中没有明确指出边长为的边是直角边还是斜边，所以我们需要分类讨论，边长为的边为直角边；边长为的边为斜边．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了分类讨论思想，解题的关键讨论边长为的边是直角边还是斜边．
 

4.【答案】 

解：，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
故选：．
先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

解：如图，▱的顶点，，，
，点纵坐标与点纵坐标相同，
顶点的坐标是：．
故选：．
根据题意画出图形，进而得出点横纵坐标，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的关系，正确建立坐标系画出平行四边形是解题关键．
 

6.【答案】 

解：如图，连接，

，，
，
，，
，
点、分别是，的中点，
，
故选：．
连接，根据勾股定理可求出，再根据中位线定理即可得出答案．
本题考查矩形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握矩形的性质及中位线定理是解题关键．
 

7.【答案】 

解：、平行四边形的两组对边分别相等的逆命题是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、若，则的逆命题是若，则，是假命题，符合题意；
C、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，是真命题，不符合题意；
D、等边三角形三个内角都等于的逆命题是三个内角都等于的三角形是等边三角形，是真命题，不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理、平方的概念、全等三角形的判定定理、等边三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
表示的数是．
故选：．
由矩形的性质得到，，由勾股定理求出的长，即可解决问题．
本题考查勾股定理，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．
 

9.【答案】 

解：在中，是直角，
，A正确；
根据勾股定理得得出不正确；
点是边上的中点，
，故C正确；
不能得到，D错误，
故选：．
利用直角三角形的性质直接进行判断即可．
考查了直角三角形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半等性质，难度不大．
 

10.【答案】 

解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，，，
四边形是矩形，
，故选项A，符合题意；
，
，
，
，
，
同理可得，
，故选项B符合题意；
当时，有最小值为，
的最小值为，故选项D不符合题意，
故选：．
由“”可证≌，可得，由矩形的判定可证四边形是矩形，可得，故选项A，不符合题意；由等腰三角形的性质和三角形中位线定理可证，故选项B不合题意；由垂线段最短可求的最小值为，可判断，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【解答】
解：如图所示，菱形中，，，

根据题意得，，
四边形是菱形，
，，
是直角三角形，
，
此菱形的周长为：．
故答案为：．  

12.【答案】 

解：原式．
故答案为：．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式可得出答案．
本题考查二次根式的加减法，比较简单，注意先将二次根式化为最简．
 

13.【答案】 

解：因为，
所以此三角形为直角三角形，两直角边的边长分别为、，斜边为，
所以此三角形的面积为：．
故答案为：．
根据三角形的三边长，利用勾股定理逆定理证得此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．
此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理证此三角形是直角三角形．
 

14.【答案】 

解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，进而得到的长，再设，则，，再在中利用勾股定理可得方程：，解出的值，可得答案．
【解答】

解：，，
，，
根据折叠可得：，
，
设，则，，
在中：，
解得：，
故答案为：．

 

16.【答案】 

解：设．
四边形是正方形，
，，
，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，到，的距离和的最小值如下图，

作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，最小值
的值的最小值为．
故答案为：．
设则欲，求的最小值，相当于在轴上找一点，到，的距离和的最小值．
本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

17.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：如图：

在正方形中，有，，
在等边三角形中，有，，
，，
，
． 

【解析】先根据等边三角形的性质作图，再根据角的和差及等边对等角求解．
本题考查了复杂作图，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形． 

【解析】此题主要考查了矩形的性质以及菱形判定方法，正确掌握相关四边形判定与性质是解题关键．
直接利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，再利用矩形的性质以及菱形的判定方法得出答案．
 

20.【答案】证明：正方形，点，为边、中点，
，为等腰直角三角形，
，
又为正方形外角平分线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由正方形的性质可知，为等腰直角三角形，可得，再利用互余关系，得，由“”可证≌，得出结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据正方形的性质寻找判定三角形全等的条件．
 

21.【答案】解：由题意，得：，
中，，得．
．
．
．
．
答：从岛沿返回港所需的时间为． 

【解析】中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间路程速度；
本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．
 

22.【答案】解：矩形折叠，使点与点重合，折痕为，
，
设，则，
中，，
，解得，
． 

【解析】设，在中用勾股定理列方程即可求出的长．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，解题的关键是利用勾股定理列方程求出．
 

23.【答案】解：由点向作垂线，垂足为，
在中，，，则，
因为，所以城要受台风影响；


设上点，，使千米，
是等腰三角形，
，
是的垂直平分线，
，
在中，千米，千米，
由勾股定理得，千米，
则千米，
遭受台风影响的时间是：小时． 

【解析】点到直线的线段中垂线段最短，故应由点向作垂线，垂足为，若则城不受影响，否则受影响；
点到直线的长为千米的点有两点，分别设为、，则是等腰三角形，由于，则是的中点，
在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键．
 

24.【答案】解：，
又，，
，
，，
，
，．

由题意得：，，
则：，，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：．

当时，过作，
由题意得：，
解得：，
故，，
当时，过作轴，
由题意得：，，
，
解得：，
，
故 ，，．
综上所述：或 ，，． 

【解析】利用非负数的性质求解即可．
根据，构建方程求解即可．
分两种情形：当时，当时，分别构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．