2023届陕西省咸阳市高三下学期高考模拟检测（三）理科数学试题含答案

  咸阳市2023年高考模拟检测（三）

数学（理科）试题

注意事项：

1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．

2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂墨．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，则集合的真子集个数是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．15

2．已知复数，则复数的共轭复数的虚部是（    ）

A．-2 B． C．2 D．3

3．如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知方程，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（    ）

A． B． C． D．

6．已知正三棱锥的所有棱长均为2，点，分别为棱和的中点，点为棱上一个动点，则三角形的周长的最小值为（    ）

A．3 B． C． D．

7．已知函数的两个零点分别在区间和上，则的取值范围为    ）

A． B． C． D．

8．已知函数（），对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是    ）

A．  B．的对称轴方程为（）

C．为奇函数 D．在上的最大值为

9．已知实数，，任取一点，则该点满足的概率是（    ）

A． B． C． D．

10．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知抛物线（），把该抛物线绕其对称轴旋转一周得到一个几何体，在该几何体中放置一个小球，若使得小球始终与该几何体的底部相接，则小球体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若一数列为2，7，14，23，…，则该数列的第8个数是______．

14．已知三角形的三个内角、、所对的边分别是、、，若，且，则面积的最大值为______．

15．已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是______．

16．已知，是双曲线：的左，右焦点，点是双曲线在第一象限上一点，设，分别为的内心和重心，若与轴平行，则______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必顺作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．

（Ⅰ）求这100份数学试卷的样本平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）在样本中，从数学成绩不低于125分的试卷中，，随机抽取3份进行答卷情况分析，设为抽取的试卷成绩不低于135分的试卷份数，求的分布列及数学期望．

18．（本小题满分12分）

如图，三棱柱的侧面是边长为1的正方形，平面平面，，，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为30°？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

已知数列满足，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）数列的前项和为，若，求的最大值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，的最大值为120°，且点到右焦点距离的最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数（）．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若对于任意的，有，求正数的取值范围．

（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

直线：（为参数），圆：（极轴与轴的非负半轴重合，且单位长度相同）．

（Ⅰ）求圆心到直线的距离；

（Ⅱ）若直线被圆截得的弦长为，求的值．

23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知定义在上的函数的最小值为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设，，，，求证：．

咸阳市2023年高考模拟检测（三）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．B  2．C  3．C  4．B  5．D  6．D  7．C  8．D  9．C  10．B  11．A  12．C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．79 14． 15． 16．23

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．解：（Ⅰ）这100份数学试卷的平均分为

．

（Ⅱ）抽查的100份试卷中，成绩位于区间的有8份，位于区间的有4份，共计12份试卷．从中抽取3份试卷，这3份试卷中成绩在的试卷数的可能取值是0、1、2、3．

，，

，

则的分布列为

数学期望．

18．解：（Ⅰ）证明：在中，，，，

则，

则，即，

由已知平面平面，且平面平面，

又平面，故平面．

又平面，则平面平面．

（Ⅱ）存在，，证明如下：

如图，以为坐标原点，以、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，

则，，，（），

则，．

设平面的一个法向量为，

则即，

令，则，，即．

又平面的一个法向量，

则二面角的余弦值为，

解得，又，则．

故．

19．解：（Ⅰ）∵，且，

∴．

由于，则，∴．

则．

∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列．

∴数列的通项公式为．

（Ⅱ）∵，

∴．

∵，即，

∴满足的的最大值为10．

20．解：（Ⅰ）∵的最大值为120°，

∴为短轴的端点时，此时易得．

又点到右焦点距离的最大值为，即，

解得，．

又由，可得．

∴椭圆的方程为：．

（Ⅱ）由题意，设直线的方程为，

联立得，

设，，

则，，

当且仅当即时取等号．

∴所求直线的方程为或．

21．解：（Ⅰ）当时，，得，

切点，斜率，所求切线方程为：，

即．

（Ⅱ），即（，）

（，）

（，）．

令，显然是增函数，于是上式可化为，

即．

令（），则，易知在上递减，在上递增，

故，于是，可得．

故．

（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．解：（Ⅰ）直线：（为参数）化为普通方程为，

，即，即，即，

圆心到直线的距离．

（Ⅱ）圆的半径为，弦的一半为，

∴，

即，解得或．

23．解：（Ⅰ），当且仅当时取等号，

∴，即．

（Ⅱ）证明：依题意可知，则由柯西不等式得

，

∴，即，

当且仅当时取等号．