黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高一下学期4月考试 数学 （Word版试题含解析）

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哈尔滨市第六中学2022级高一下学期4月考试数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1. 已知向量，，则的坐标为（    ）A. （－1，1） B. （－2，3） C. （－1，4） D. （－1，0）2. 在中，若，则的形状为（    ）A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形3. 在中，角的对边分别为，若，则（    ）A.  B.  C. ： D. 4. 下列命题：①若，则；②的充要条件是且③若，则；④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 35. 已知O，N，P在的所在平面内，且，且，则O，N，P分别是的（    ）A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心6. 若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（    ）A.  B.  C.  D. 7. 在中，角的对边分别为，若且，则的形状为（    ）A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形C. 等边三角形 D. 钝角三角形8. 在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（    ）A. 8 B. 10 C. 13 D. 16二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列叙述正确的为（    ）A. 有向线段就是向量，向量就是有向线段B. 若，则C. 所有单位向量都相等D. 与是非零向量，若与同向，则与反向10. 在平面直角坐标系中，已知点，下列判断正确的是（    ）A. B. 直角三角形C. 与的夹角的大小为D. 点为的重心11. 在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（    ）A. 若，则只有一解B. 若，则是锐角三角形C. 若，则.D. 若，则形状是等腰或直角三角形12. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（    ）A. B. C. 若，则D. 若，则为等边三角形三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若，且，则___________.14. 已知向量与的方向相反，，则___________.15. 已知向量，，若，则的值为___________.16. 如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且.①若，则的值是___________；②以点为坐标原点，向量所在轴为轴建立平面直角坐标系，若向量，则最大值时点坐标为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知点，，.（1）若点，，三点共线，求实数的值；（2）若是以为斜边直角三角形，求实数的值.18. 已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．19. 已知，，，设，若函数图象相邻的两对称轴之间的距离为；（1）求；（2）若任意，均使恒成立，求实数取值范围.20. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.21. 如图，在平行四边形中，，垂足为P.（1）若，求的长；（2）设，，，，求x和y的值.22. 已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距离为， 且其在处取得最小值．（1）求参数和的值;（2）若，求向量 与向量夹角的余弦值;（3）若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时， 恒成立，求A的取值范围．
哈尔滨市第六中学2022级高一下学期4月考试数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1. 已知向量，，则的坐标为（    ）A. （－1，1） B. （－2，3） C. （－1，4） D. （－1，0）【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算可得结果.【详解】，故选：D2. 在中，若，则的形状为（    ）A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果.【详解】解：因为，，所以，所以为等边三角形．故选：D3. 在中，角的对边分别为，若，则（    ）A.  B.  C. ： D. 【答案】D【解析】【分析】由题知，再根据求解即可.【详解】解：因为在中，，所以，，所以，由正弦定理得故选：D4. 下列命题：①若，则；②充要条件是且③若，则；④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案【详解】解：对于①，若，则模相等，方向不一定相同，故错误；对于②，当时也满足且，故错误；对于③，当时，满足，但不一定成立；对于④，若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，正确.故真命题的个数是1个.故选：B5. 已知O，N，P在的所在平面内，且，且，则O，N，P分别是的（    ）A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心【答案】C【解析】【分析】根据三角形四心的定义，结合平面向量的模的定义、四则运算与数量积运算，判断即可.【详解】因为，所以到的三个顶点的距离相等，所以为的外心；设的中点为，则由得，所以为的重心；因为，所以，则，即，所以，同理可得，所以为的垂心.故选：C.6. 若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由∥得的坐标，再根据投影向量的概念即可得出结果.【详解】∵∥，∴，即，在上的投影向量为：，故选:A7. 在中，角的对边分别为，若且，则的形状为（    ）A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形C. 等边三角形 D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理边角互化，余弦定理得，，进而判断三角形形状即可.【详解】解：因为，所以，由正弦定理边角互化得，因为，所以，即，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以,所以，，故的形状为等边三角形故选：C8. 在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（    ）A. 8 B. 10 C. 13 D. 16【答案】D【解析】【分析】由题设且，进而可得，将目标式化为，结合基本不等式“1”的代换求最小值，注意等号成立条件.【详解】由题意，如下示意图知：，且，又，所以，故且，故，仅当，即时等号成立.所以的最小值是16.故选：D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列叙述正确的为（    ）A. 有向线段就是向量，向量就是有向线段B. 若，则C. 所有的单位向量都相等D. 与是非零向量，若与同向，则与反向【答案】BD【解析】【分析】根据向量的概念依次分析即可的答案.【详解】解：对于A选项，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故错误；对于B选项，根据零向量的定义，，则，故正确；对于C选项，所有的单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故不一定相等，故错误；对于D选项，与是非零向量，若与同向，则与反向，故正确.故选：BD10. 在平面直角坐标系中，已知点，下列判断正确的是（    ）A. B. 是直角三角形C. 与的夹角的大小为D. 点为的重心【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，结合向量坐标运算依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为点所以，故，A选项正确；因为，所以，即是直角三角形，B选项正确；因为，，所以，与的夹角的大小为，C选项正确；因为是直角三角形，三角形的重心为三边中线的交点，所以，点不可能为的重心，故错误；故选：ABC11. 在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（    ）A. 若，则只有一解B. 若，则是锐角三角形C. 若，则.D. 若，则形状是等腰或直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用正弦定理及特殊角三角函数值直接求解即可；对于B，利用向量的数量积的定义即可求解；对于C，利用正弦定理直接进行判断；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦展开式化简计算求解.【详解】对于A，由正弦定理，则，因为，所以，只有一解，故A正确；对于B，若，则，则为锐角，无法确定，不一定是锐角三角形，故B错误；对于C，由正弦定理，又，可得，故C正确；对于D，已知，由正弦定理可得，因为，所以，即，则，解得或，所以，或，所以的形状是等腰或直角三角形，故D正确.故选：ACD.12. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（    ）A. B. C. 若，则D. 若，则为等边三角形【答案】AD【解析】【分析】根据平面向量的加减法法则、几何意义以及向量的数量积公式逐一判断各选项即可.【详解】对于A，由向量加法的平行四边形法则可得，即，故A正确；对于B，由向量减法的三角形法则可得，故B错误；对于C，若，则，即，故C错误；对于D，如下图，分别表示方向的单位向量，由向量加法的平行四边形法则可得为菱形对角线向量，若，则，，且与同向，又，所以，，由已知及菱形性质可知， 既是中线又是角平分线，由为中线，所以，又，，又，则，所以，又，为等边三角形，故D正确.故选：AD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若，且，则___________.【答案】【解析】【分析】由题得，根据解决即可.【详解】解：因为，所以，因为，，所以，所以．故答案为：14. 已知向量与的方向相反，，则___________.【答案】【解析】【分析】根据两个向量反向关系表示出向量的坐标，再根据其模长列出方程求解.【详解】已知向量与的方向相反，设，又，所以，，解得.所以.故答案为：.15. 已知向量，，若，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.【详解】由可得，整理可得，即，整理可得.故答案为：.16. 如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且.①若，则的值是___________；②以点为坐标原点，向量所在轴为轴建立平面直角坐标系，若向量，则最大值时点坐标为___________.【答案】    ①. ##    ②. 【解析】【分析】①由题知是边长为1的等边三角形，进而根据向量数量积求解即可；②点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在正方体内的圆弧部分，设，进而根据坐标运算，向量相等得，再结合三角函数求最值即可.【详解】解：①因为，，所以是边长为1的等边三角形，所以.②因为，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在正方体内的圆弧部分，因为正方体的边长为，所以,设点，，所以，，因为，，所以，所以，，即，所以，其中，，.因为，所以，所以，，当且仅当时等号成立，所以，，，所以，当取得最大值时，点的坐标为.故答案为：；四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知点，，.（1）若点，，三点共线，求实数的值；（2）若是以为斜边的直角三角形，求实数的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由题意可得，再利用向量共线求解即可；（2）由题意可得，再利用平面向量数量积的坐标表示求解即可.【小问1详解】因为点，，三点共线，所以，又，，所以，即.小问2详解】由题意，，因为，，则，所以.18. 已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.19. 已知，，，设，若函数图象相邻的两对称轴之间的距离为；（1）求；（2）若任意，均使恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先将函数化成一个三角函数，再由函数图象相邻的两对称轴之间的距离为得出函数的周期，进一步求解得出结果.（2）在给定区间上求的最大值，进一步求解不等式即可.【小问1详解】，又因为函数相邻的对称轴距离为，所以，又，，，解得，所以.【小问2详解】由题意可知，，故，即，所以，解得.故实数的取值范围.20. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；（2）由的面积为，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.【小问1详解】由题意及正弦定理知，，，，.【小问2详解】，又，由①，②可得，所以的周长为.21. 如图，在平行四边形中，，垂足为P.（1）若，求的长；（2）设，，，，求x和y的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）化简得到，得到答案.（2），根据三点共线，故，，得到，解得答案.【详解】解：（1），解得.（2）因为，设所以①，又因为，，，所以，由可知，展开化简得到，②联立①②解得，.22. 已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距离为， 且其在处取得最小值．（1）求参数和的值;（2）若，求向量 与向量夹角的余弦值;（3）若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时， 恒成立，求A的取值范围．【答案】（1），    （2）    （3）【解析】【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出；（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；（3）设，利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点P位置，然后根据最小值大于等于1可得A的取值范围.【小问1详解】因为的相邻两条对称轴之间的距离为所以又时，取最小值则，，又，则【小问2详解】因为，所以，则，，则则【小问3详解】是上动点，，又恒成立设，易知在或处有最小值，在或处有最大值所以当或时，有最小值即当在或时，有最小值，此时或为时，，，得又，则为时，，，解得综上，