初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质课堂检测

基础提升专练题库：特殊平行四边形的性质及判定

1．如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．

2．如图，已知四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

（1）求证：AE＝AF；

（2）若∠B＝70°，求∠EAF的度数．

3．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C作l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，求AB的长．

4．如图，将▱ABCD的边DC延长至点E，使CE＝CD，连接AE，BE，AE交BC于点O．

（1）求证：△ADC≌△BCE；

（2）若∠AOC＝2∠ABC，求证：四边形ABEC是矩形．

5．如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．

（1）求证：四边形DECF是平行四边形．

（2）当AC、BC满足什么条件时，四边形DECF为菱形？

6．已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内、外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F，且∠ACB=90°，求证：四边形AECF是正方形．

7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若EF＝8，AE＝5，求四边形AECF的面积．

8．如图，四边形ABCD是一个矩形，AB=8 cm，BC=10 cm．现沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，求：

（1）BF的长；

（2）CE的长．

9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F，点B的对应点为B′．

（1）证明：AE＝CF；

（2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长．

10．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片使点B落在AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF．

（1）求证：四边形BFEP为菱形．

（2）当折痕PQ的点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长．

11．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．

基础提升专练题库：特殊平行四边形的性质及判定

参考答案

1．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．∵E为CD边上的中点，∴DE＝CE．∴△ADE≌△BCE（SAS）．∴AE＝BE．

2．（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB＝∠AFD＝90°．∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D．在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS）．∴AE＝AF．

（2）解：∵AE⊥BC于点E，∠B＝70°，∴∠BAE＝20°．∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝20°．∴∠EAF＝180°﹣∠B﹣∠BAE﹣∠DAF＝70°．

3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠ABE＝90°，AB＝BC．∵CF⊥BE，∴∠CBF+∠BCF＝90°．∴∠BCF＝∠ABE．∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）．∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3．∴AB＝＝．

4．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠D＝∠BCE，且DC＝CE，AD＝BC．∴△ADC≌△BCE（SAS）．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，且DC＝CE．∴AB∥CE，AB＝CE．∴四边形ABEC是平行四边形．∴AE＝2OA，BC＝2OB．又∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOC＝∠ABC+∠BAO．∴∠ABC＝∠BAO．∴OA＝OB．∵AE＝BC，∴▱ABEC是矩形．

5．（1）证明：∵D、F分别为边AB、CA的中点，∴DF∥BC，DF＝BC．∵E为边BC的中点，∴EC＝BC．∴DF＝EC，且DF∥EC．∴四边形DECF是平行四边形．

（2）解：当AC＝BC时，四边形DECF为菱形．理由如下：∵E、F分别为边BC、CA的中点，∴EC＝BC，CF＝AC，且AC＝BC．∴EC＝CF．∴平行四边形DECF是菱形．

6．证明：∵CE、CF分别是△ABC的内、外角平分线，∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°．∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC=∠AFC=90°．∴四边形AECF是矩形．∵∠ACE=∠ACB=45°，∴∠EAC=∠ACE=45°．∴AE=CE．∴四边形AECF是正方形．

7．（1）证明：如图，∵AB∥DC，∴∠1＝∠2．在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（ASA）．∴OF＝OE．∵点O是AC的中点，∴OA＝OC．∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．

（2）解：∵四边形AECF是菱形，EF＝8，∴OE＝EF＝×8＝4．又∵在Rt△AEO中，AE＝5．∴由勾股定理得到OA＝＝3，∴AC＝2AO＝2×3＝6．∴S菱形AECF＝EF•AC＝×8×6＝24．

8．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，CD=AB=8，∠B=∠C =90°．∵△ADE沿AE折叠至△AFE，∴AF=AD=10．∴BF==6．

（2）∵BF=6，∴CF=BC-BF=10-6=4．∵△ADE沿AE折叠至△AFE，∴AF=AD=10，EF=DE=CD-CE=8-CE．在Rt△CEF中，EF2=CF2+CE2，∴(8-CE)2=16+CE2．∴CE=3．

9．（1）证明：由折叠得FA＝FC，∠CFE＝∠AFE．∵ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴∠CFE＝∠AEF，∴∠AFE＝∠AEF．∴AF＝AE．∴FC＝AE．

（2）解：设DF＝x，则FC＝AF＝18﹣x．在Rt△ADF中，由勾股定理得x2+122＝(18﹣x)2，解得x＝5，即DF＝5．

10．（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称．∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF．又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP．

∴∠EPF＝∠EFP．∴EP＝EF．∴BP＝BF＝EF＝EP．∴四边形BFEP为菱形．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，∠A＝∠D＝90°．∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5．在Rt△CDE中，DE＝＝4，∴AE＝AD﹣DE＝5﹣4＝1．在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，∴EP2＝12+(3﹣EP)2，解得EP＝．∴菱形BFEP的边长为．

11．（1）证明：∵点O为AB的中点，∴OA＝OB．∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°．∴平行四边形AEBD是矩形．

（2）解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴∠ABD＝∠BAD＝45°．∴AD＝BD．∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．