2023届江西省宜春市丰城县高三下学期4月一模理科数学试题含解析

2023届宜春市丰城县高三下学期4月一模

数学（理）试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．复数满足，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．已知数列是等比数列，是1和3的等差中项，则(    )

A．16 B．8 C．2 D．4

4．设函数，则使得成立的的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

5．某校高一(1)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，现甲、乙各投篮一次，至少有一人投进球的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．已知是边长为的正方形，分别为边的中点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．在数列中，，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

8．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，则m的值为（    ）

A． B．

C． D．

9．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为（       ）

A． B． C． D．

10．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈（单位：千元，，，）的模型波动，（为月份，且）.已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

11．斐波那契数列在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：，当时，．若，则（    ）

A．98 B．99 C．100 D．101

12．已知定义在R上的函数满足，且，若关于x的方程恰有5个不同的实数根，，，，，则的取值范围是

A．（-2，-1） B．（-1，1）

C．（1，2） D．（2，3）

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)

13．设向量，，，且，则__________．

14．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_________．

15．在直三棱柱中，，是上一点，则的最小值为_________.

16．已知，分别为椭圆的右顶点和上顶点，平行于的直线与轴、轴分别交于、两点,直线、均与椭圆相切,则和的斜率之积等于__________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 - 21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．已知直线，直线经过点，且.

（1）求直线的方程；

（2）记与y轴相交于点A，与y轴相交于点B，与相交于点C，求的面积.

18．某地教体局为了解该地中学生暑假期间阅读课外读物的情况，从该地中学生中随机抽取100人进行调查，根据调查所得数据，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中m的值，并估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值；（各组数据用该组中间值作代表）

(2)若某中学生在暑假期间阅读课外读物不低于6本，则称该中学生为阅读达人，以样本各组的频率代替该组的概率，从该地中学生中随机抽取4人，记抽取到的中学生为阅读达人的人数为X，求X的分布列与数学期望.

19．如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．

20．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点．

（1）当抛物线过点时，求抛物线的方程；

（2）证明：是定值．

21．已知函数（为无理数，）

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）设实数，求函数在上的最小值；

（3）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值．

请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数），.

(1)求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；

(2)已知点，设曲线与曲线的交点为、，当时，求的值.

23．【选修4-5： 不等式选讲】

设函数.

(1)解不等式；

(2)令的最小值为，正数，，满足，证明：.

1．C

【分析】先分别化简集合,再求其并集.

【详解】∵集合,

,

∴,

故选:C.

【点睛】本题考查集合的并集运算,涉及解不等式,属于简单题.

2．D

【分析】由复数除法运算可求得复数，根据虚部定义可得结果.

【详解】，的虚部为.

故选：D.

3．D

【分析】根据等差中项求得，再由，即可得到结果.

【详解】因为是和的等差中项，所以，

由题意可知.

故选:D．

4．A

【分析】确定函数的奇偶性与单调性，根据单调性解函数不等式．

【详解】由于，因此是上的奇函数，

时，是增函数，因此在上也是增函数，即是上的增函数，

∴由得，．

故选：A．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握单调性的定义是解题关键．

5．D

【分析】根据对立事件的概率公式以及相互独立事件同时发生的概率乘法公式即可求出．

【详解】设事件“甲、乙各投篮一次，至少有一人投进球”，

所以．

故选：D．

6．C

【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用平面向量求解数量积

【详解】以A为原点，为轴、轴建立直角坐标系，则，

故，

所以.

故选：C.

7．C

【分析】由平面向量垂直的坐标表示推导出，利用累乘法可求得的值.

【详解】，故，可得，

，可得，，，则对任意的，，故，

因此，.

故选：C.

8．B

【分析】由分布列的性质得出m的值.

【详解】由分布列的性质得

故选：B

9．C

【分析】应用组合数、排列数求含“徵”音阶的基本事件数、五个音阶中任取三个音阶基本事件数，再根据古典概型的概率求法求概率.

【详解】从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，基本事件总数，

其中这个音序中含“徵”这个音阶的基本事件个数.

则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为.

故选：C.

10．D

【分析】先根据最值，求出，求出最小正周期，进而求出，代入特殊点坐标求出，求出正确答案.

【详解】由题意得：，解得：，又最小正周期为，所以，所以，将代入，解得：，则，，因为，所以当时，符合题意，综上：.

故选：D

11．B

【分析】根据题意推出,再利用累加法化简即可求出的值.

【详解】由题意得，，因为,，

所以，

，

，

，

累加得，

因为，所以

当,,是递增数列.

所以，所以.

故选：.

12．B

【详解】作出函数的图象，

由图象可知，若方程恰有5个不同的实数根，则．

设，则，

由图象可知．

所以.选B．

点睛：函数图象在函数与方程中的应用

（1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；

（2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．

13．7

【详解】分析：根据向量的线性运算，求得，根据向量垂直时坐标间满足的关系即可求得k的值．

详解：根据向量的坐标运算

因为

所以

解得

点睛：本题考查了向量的线性运算、坐标运算和垂直时坐标间的关系，综合性强，但难度不大．

14．180

【分析】写出二项展开式通项公式，由只有第六项二项式系数最大求得，再确定常数项．

【详解】，

由题意，此不等式组只有一解，因此（）．

，，

所以常数项为．

故答案为：180．

15．

【分析】连，沿将展开与在同一个平面内，连，则的长度就是所求的最小值，利用直棱柱的性质，由余弦定理可得结果.

【详解】

          图1

连，沿将展开与在同一个平面内，

如图1所示，连，则的长度就是所求的最小值，

由直棱柱性质可得，由得，

所以，

所以平面，

因为平面，所以

所以,又因为是等腰直角三角形，所以，

由此得，又

所以由余弦定理可求得，

，故答案为 .

【点睛】本题主要考查直棱柱的性质、线面垂直的判定定理、余弦定理的应用以及空间想象能力，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于难题.

16．

【分析】设出设方程，求出、两点的坐标，可得方程为，利用判别式为零可得，同理可得，相乘、化简即可得结果.

【详解】

设椭圆方程为，可知，

，

设方程为，

则，

方程为，

由，得，

与椭圆相切，

，

得，

同理可得，

，

，故答案为.

【点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

17．（1）（2）9

【解析】（1）根据，得到的斜率，结合过点，得到答案；（2）根据题意求出，，坐标，从而得到的面积.

【详解】（1）由直线知，

又因，所以；

因为直线经过点，

则直线的方程为，

即

（2）由（1）可得与y轴相交于点，

与y轴相交于点，

且与相交于点，

故的面积.

【点睛】本题考查根据直线垂直关系求直线方程，求直线与坐标轴围成的三角形的面积，属于简单题.

18．(1)；平均值为4.6；

(2)分布列见解析；.

【分析】（1）先由频率分布直方图的频率公式及频率之和为1求得m，再利用频率分布直方图的平均值求法求得平均值；

（2）先根据频率分布直方图求得抽取到阅读达人的概率，再利用二项分布概率公式和数学期望公式求得X的分布列和数学期望.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，

则可以估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值为：.

（2）由频率分布直方图可知从该地中学学生中随机抽取1人，此人是阅读达人的频率为，

所以从该地中学生中随机抽取4人，记抽取到的中学生为阅读达人的人数为X，则，

故.

所以，，，，，

X的分布列为：

X的数学期型.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故而得证；

（2）作出辅助线，找到∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可.

【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，

因为，所以⊥AD，

因为PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，

因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，

因为CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；

（2）连结，过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，

如图，

平面，AD，AC平面ABCD，

所以PA⊥AD，PA⊥AC，

因为，，

由勾股定理得：，则∠ADB=30°，

同理可得，∠CDB=30°，

故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，

故，，，

在△BCP中，由余弦定理得：，

则，，

在△CDP中，由余弦定理得：，

在△CDE中，，

因为，所以DE⊥PC，

所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，

由余弦定理得：.

20．（1）y2＝4x（2）证明见解析

【解析】（1）将点代入抛物线方程，即可求得的值，求得抛物线方程；

（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，即可证明是定值．

【详解】解：（1）因为抛物线过点，

所以，，

所以抛物线的方程；

（2）证明：当直线斜率存在时，，设直线的方程为，则，

将（1）代入（2）得，，化简得，

设，的坐标分别为，，则，

因为点，都在抛物线上，所以，，

所以，所以，

因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，

所以，，所以，是定值．

当直线无斜率时，，设，的坐标分别为，，，，则，代入抛物线方程得，，，

所以，因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，

所以，，所以，是定值．

综上，，是定值．

【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查分类讨论思想，计算能力，属于中档题．

21．（1）；

（2）当时,，当时，.

（3）3.

【分析】（1）求导，求出函数在点处的切线斜率，由点斜式求出切线方程；

（2）研究函数在上的单调性即可求出在上的最小值；

（3）由题意分离变量对任意恒成立，即即可，构造函数，研究的性质，求出其最小值即可.

【详解】解：（1）∵函数的定义域为又，

故函数在点处的切线方程为，即.

（2）∵，令得，当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

当时，在单调递增，

当时，得.

故当时,，当时，.

（3）对任意恒成立，

即对任意恒成立，即对任意恒成立，

令，则，

令，则，所以在上单调递增．

∵，则，

∴所以存在唯一零点，即．

当时，；

当时，；

∴在时单调递减；在时，单调递增；

∴

由题意，，

又因为为正整数，所以的最大值为3.

22．(1)；椭圆；

(2).

【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求出的直角坐标方程，再由方程确定曲线作答.

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，利用几何意义计算作答.

【详解】（1）把代入得：，即，

所以曲线的直角坐标方程是，它是焦点在x轴上的椭圆.

（2）由（1）知，把方程代入并整理得：，

设点、所对参数分别为，于是得，，

由直线参数方程的几何意义知：

，

解得，而，于是得，

所以的值是.

23．(1)

(2)证明见解析

【分析】（2）分，，三种情况讨论，去绝对值符号，从而可得答案；

（2）根据绝对值的三角不等式求出的最小值，再根据基本不等式中“1”的整体代换结合基本不等式即可得证.

【详解】（1）当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得，

综上所述，不等式的解集为；

（2）由题，

当且仅当即时取“等号”，

故的最小值，即，

则，

,

当且仅当，即，时取等号,

所以．