2023届江西省临川一中五市九校协作体高三下学期第二次联考数学（理）试题含答案

  江西省五市九校协作体2023届第二次联考

数学试题（理科）

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.若复数z满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）

A.z的虚部为  B.

C.  D.z在复平面内对应的点在第二象限

3.若，是第三象限的角，则（    ）

A.2 B. C. D.

4.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、末、申、西、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（    ）

A.葵未年 B.辛丑年 C.己亥年 D.戊戌年

5.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线C的右支上，且，双曲线C的一条渐近线方程为，则k的最小值为（    ）

A. B. C. D.

6.中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕，2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（    ）

A.450种 B.72种 C.90种 D.360种

7.已知椭圆的一个焦点为F，点P是椭圆C上的一个动点，的最小值为，且存在点P使得（点O为坐标原点）为正三角形，则椭圆C的焦距为（    ）

A.2 B. C. D.4

8.关于曲线C：，下列说法正确的是（    ）

A.曲线C可能经过点

B.若，过原点与曲线C相切的直线有两条

C.若，曲线C表示两条直线

D.若，则直线被曲线C截得弦长等于

9.已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A.是偶函数  B.的图像关于直线对称

C.的值域为 D.在上有5个零点

10.如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（    ）

A.5052 B.5057 C.5058 D.5063

11.在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q满足，（，）.下列结论不正确的是（    ）

A.若，则四面体的体积为定值

B.若平面，则的最小值为

C.若的外心为M，则为定值2

D.若，则点Q的轨迹长度为

12.已知，，，则有（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上）

13.已知非零向量，满足，，则向量，的夹角是______.

14.已知，则______.

15.已知实数a，b满足，，，则的最小值为______.

16已知.设函数若关于的不等式恒成立，则a的取值范围为______.

三、解答题：（共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

已知中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为的角平分线.

（1）求证：；

（2）若且，求的面积.

18.（本小题满分12分）

如图，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，.

（1）求证：平面；

（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大?并求此时锐二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.

（1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；

（2）已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.

（i）请用表示；

（ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.

20.（本小题满分12分）

过坐标原点O作圆的两条切线，设切点为P，Q，直线恰为抛物线

的准线.

（1）求抛物线E的标准方程；

（2）设点T是圆C的动点，抛物线E上四点A，B，M，N满足：，，设中点为D.

（i）证明：TD垂直于y轴；

（ii）设面积为S，求S的最大值.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数存在两个极值点，，且恒成立，求实数k的最小值.

选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求的最小值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a，b，c均为正实数，且.证明：

（1）；

（2）.

江西省五市九校协作体2023届第二次联考

答案理科数学

一、选择题：

BBCA    BADB    CBCD

二、13.   14.132 15.2025   16.

17.【解】（1）由题意可得，

因为为的角平分线，则，

在中，，则……3分

同理可得，因此……6分

（2）设，则，

因为

即.……8分

又且，可得，

因为，则，则，，可得，……10分

所以，，.……12分

18.【解】（1）证明：在梯形中，，，故梯形为等腰梯形，

因为，则，所以

又因为，则，∴.

因为平面，平面.∴

∵， ∴平面……4分

因为四边形为矩形，则，因此，平面.……5分

（2）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

在    ，……12分

则、、、、，

设点，其中

设平面的法向量为，，……7分

由，取，可得……8分

易知平面的一个法向量为，……10分

所以，当，即与重合时，取最小值，此时平面与平面所成锐二面角最大，

此时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为……12分

19.解：（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3，

因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以……1分

所以，，

，，……2分

所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为：

控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为.……3分

由题意知，……5分

（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为

所以升级改造后单位时间内产量的均值为

设备升级后单位时间内的利润为……6分

因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，

则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；……7分

第二类：原系统恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有一个正常工作，其概率为

，……8分

第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为

；……9分

所以

，即，……10分

所以当时，，单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大.……11分

当时，，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大

又因为，所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件个数来提高利润；

当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.……12分

20.解：（1）设直线与轴交于，

由几何性质易得：与相似，所以，

即：，解得：.所以抛物线的标准方程为：……3分

（2）设，，，

（i）由题意，中点在抛物线上，即

又，将代入得：，

同理：有，此时D点纵坐标为……6分

所以直线的斜率为0；所以垂直于y轴.

（ii）因为……7分

所以点，此时

，……9分

所以

又因为点T在圆C上，有，即，代入上式可得：

由.……11分

所以时，S取到最大值.所以S的最大值为48……12分

21.解：（1）由可得定义域为，

则，……1分

令，则.

①当，即时，恒成立，则.……2分

∴在上单调递增；

②当，即或时……3分

（i）当时，是开口向上且过的抛物线，对称轴方程为，

则函数有两个零点和（显然），列表如下：

……4分

（ii）当时，是开口向上且过的抛物线，对称轴方程为，则在上恒成立，从而，在上单调递增

综上所述，当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在，上单调递增，

在上单调递减.……5分

（2）由（1）可知，当时，有两个极值点，，则，是方程的两根，

∴，，

∴……7分

∴恒成立转化为恒成立.

令，不等式转化为.……8分

∴，，即.

令，则不等式化为.……9分

∵，当时，，在上单调递增，

∴，即，令，则，……10分

当时，，即在单调递增，

当时，，即在单调递减，……11分

所以，∴，即时，实数k取得最小值为.

即实数k的最小值为.……12分

22.解：（1）曲线C的极坐标方程为，

根据，转换为直角坐标方程为.……3分

（2）把直线的参数方程为（t为参数），代入方程；

得到.……5分

整理得，.故，……8分

当时，最小值为8.……10分

23.（1）依题意：a，b，c都为正实数，且，

，，，当且仅当时等号成立.……2分

上述三个式子相加得

即成立

（2）法一：∵a，b，c都为正整数，且.

∴，由题意得……8分

，得，

当且仅当时“”成立.……10分

法二：由Cauchy不等式，得……7分

令，则.

令，则在上单调递增.……9分

∴，即.……10分