2023届河北省沧州市高三下学期4月调研性模拟数学试题含解析

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沧州市2023届高三年级调研性模拟考试

数学试题

班级______姓名______

注意事项：

1.答卷前、考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数满足，若复数在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C. D.

3.在等腰梯形中，，，，分别是，的中点，则（    ）

A. B. C. D.

4.用短语“maths test”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为（    ）

A.10 B.20 C.30 D.40

5.已知函数的图象关于对称，当的最小正周期取得最大值时，距离原点最近的对称中心为（    ）

A. B. C. D.

6.焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（    ）

A. B. C. D.

7.已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

8.已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A.2 B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和个白球，从袋中一次抓出2个球，记事件“两球同色”，事件“两球异色”，事件“至少有一红球”，则（    ）

A.事件与事件是对立事件 B.事件与事件是相互独立事件

C.若，则 D.若，则

10.下列关于三棱柱的命题，正确的是（    ）

A.任意直三棱柱均有外接球

B.任意直三棱柱均有内切球

C.若正三棱柱有一个半径为1的内切球，则该三棱柱的体积为

D.若直三棱柱的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形

11.已知点在直线上移动，圆，直线，是圆的切线，切点为，.设，则（    ）

A.存在点，使得

B.存在点，使得

C.当的坐标为时，的方程为

D.点的轨迹长度是

12.已知函数，，则（    ）

A.有极小值  B.有极大值

C.若，则 D.的零点最多有两个

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等比数列的前项和为，若，，则______.

14.已知，则______.

15.在圆台中，是其轴截面，，过与轴截面垂直的平面交下底面于，若点到平面的距离是，则圆台的体积等于______.

16.若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质.若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

近年来，随着科技不断地进步，科技成果逐年呈递增的态势，尤其与物理专业有关的方面——光学、电学、机械力学、电气等方面递增更快.为了保护知识产权，需要将科技成果转化为科技专利，这样就需要大量的专利代理人员从事专利书写工作，而物理方面的研究生更受专利代理公司青睐.因为通过培训物理方面的研究生，他们可以书写化学、生物、医学等方面的专利，而其他科目的研究生只能写本专业方面的专利.某大型专利代理公司为了更好、更多的招收研究生来书写专利，通过随机问卷调查的方式对物理方向的研究生进行了专利代理方向就业意向调查，得到的数据如下表：

（1）根据的独立性检验，能否认为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联？

（2）该专利代理公司从这150人的男研究生中按专利代理方向就业意向分层，用分层随机抽样方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人用问卷的形式调查他们毕业后的年薪资意向，这3人中有人喜欢从事专利代理工作，求的分布列和数学期望.

下面附临界值表及参考公式：

.

18.（本小题满分12分）

在各项均为正数的等差数列中，，，成等比数列，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，，证明：.

19.（本小题满分12分）

在中，角，，所对的边分别为，，，已知.

（1）若，求面积的最大值；

（2）若，求的值.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，是直角梯形，，，，，，点在上，且平面.

（1）求的值；

（2）若，且平面，求平面与平面夹角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

（2）若方程有两个实根，，且，求证：.

参考数据：，.

22.（本小题满分12分）

已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设点是直线上的动点，直线，分别与曲线交于不同于，的点，，过点作的垂线，垂足为，求最大时点的纵坐标.

沧州市2023届高三年级调研性模拟考试

数学参考答案

1.B  解析：由题可知，，，则，故选B.

[命题意图]该题考查函数定义域、一元二次不等式及集合交集运算，是高考必考内容，数学素养方面主要考查知识的迁移与数学运算.

2.A  解析：，∴，，故选A.

[命题意图]该题考查复数的运算以及简单一元二次不等式的解法，是高考必考内容，数学素养方面考查简单数形结合及数学运算.

3.C  解析：如图，过作交于，∴是的中点.分别过，作，，交于，，显然，，故选C.

[命题意图]该题考查向量加法的几何意义以及平行线的性质，是高考热点，数学素养方面主要考查数形结合与逻辑推理.

4.A  解析：有2个，有3个，5个字母看成不同时的排列为，故其排列个数为，故选A.

[命题意图]该题考查排列组合中重复排列问题，是高考的常考点之一，数学素养方面主要考查运算思想及分类思想.

5.D  解析：由已知得，即，当时，最小，为，最大.此时，其对称中心的横坐标为，当时，距离原点最近，故选D.

[命题意图]该试题考查三角函数的图象与性质，为高考必考点，涉及对称轴、对称中心、周期以及两点间的距离等，数学素养方面主要考查最值思想和数形结合.

6.B  解析：将点的坐标代入抛物线中，解得，∴，的斜率为1，其中点为，则的垂直平分线方程为，即，的垂直平分线方程为，故，故选B.

[命题意图]该试题考查抛物线的性质，点斜式方程、直线的垂直等问题，数学素养方面主要考查方程思想与综合思想.

7.B  解析：令，则，即；令，，则，又，则.不妨取任意正数，

.∵，∴，即，∴在上单调递增.又是定义在上的奇函数，故在上单调递增.令，则；令，，则，∴.，即，结合函数单调性可以判断或，故选B.

[命题意图]该试题考查赋值法，抽象函数单调性的判断，考查学生分析问题、解决问题的能力，数学素养方面考查数学抽象与数据分析.

8.D  解析：设，，，共线，，，共线，点在双曲线上，即，这表明①，同理可知，即②，由①②可知，，因此，直线与关于轴对称，又椭圆也关于轴对称，且，过焦点，即轴，又（为椭圆的半焦距），，

，∴，∴双曲线的离心率为，故选D.

[命题意图]该试题考查椭圆与双曲线的定义与性质，是高考常考点，数学素养方面考查方程思想与数形结合思想.

9.AD  解析：显然A正确；对于B，，显然，故B不正确；对于C，，，由，解得，故C不正确；对于D，由C知，，，故D正确，故选AD.

 [命题意图]该试题考查对立事件、独立事件的定义，用组合知识解决古典概型问题，数学素养方面主要考查方程思想和运算能力.

10.ACD  解析：取连接直三棱柱上、下底面三角形外心线段的中点，则到各个顶点的距离相等，∴即为外接球球心，A正确；对于B，直三棱柱若有内切球，其高等于直径，底面内切圆半径等于内切球半径，显然B不正确；对于C，底面正三角形的高为3，底面边长为，正三棱柱的高等于2，其体积为，C正确；对于D，外接球球心为该侧面的中心，其到底面三角形各顶点距离相等，其在底面上的射影到三个顶点的距离也相等，故D正确，故选ACD.

[命题意图]该试题考查几何体的内切球、外接球、射影以及直角三角形的性质等问题，数学素养方面主要考查直观想象.

11.AD  解析：当的坐标为时，，，A正确.当的坐标为时，，此时最大，B不正确；对于C，设，，∴，，代入，即为，，∴过，的直线为，即，C不正确；对于D，设，由C选项知，，解得，，代入中，整理得点的轨迹方程为（去掉原点），其半径为，∴点的轨迹长度是，D正确，故选AD.

[命题意图]该试题考查直线与圆的位置关系，圆的切线，轨迹等问题，是近两年高考的热点，数学素养方面主要考查代换思想、变换主元等.

12.BCD  解析：∵，当时，有极大值，故A不正确；对于B，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴有极大值，故B正确；由，得，即，设，∴，∵有零点1，∴是曲线的切线，∴，C正确；由C知，当时，有小于1的根，结合，的图象，可知的零点有两个，同理，分析，有两个零点，或时，有1个零点，故D正确，故选BCD.

[命题意图]该试题考查函数的极值、函数的零点、函数图象的切线等问题，其中穿插了函数的同构，是高考的热点，数学素养方面主要考查数形结合、同构化归、分析综合等.

13.510  解析：由已知得，，，…，是等比数列，且是该等比数列的前8项和，∴.

[命题意图]该试题考查等比数列的前项和及其性质的灵活应用，是高考热点之一，数学素养方面主要考查化归思想和运算能力.

14.  解析：∵，∴，，.

[命题意图]该试题考查三角函数的和差公式、二倍角公式、三倍角公式、同角三角函数关系，是高考常考点，数学素养方面主要考查创新思想和化归思维。

15.  解析：∵，∴，点到平面的距离即为与的距离，即点到的距离等于，∴，，则，.

[命题意图]该试题考查线面垂直、点到平面的距离、台体的体积公式等问题，是高考热点题目，数学素养方面主要考查转化思想与辩证思维.

16.  解析：由题意可得，.于是，.设切点分别为，，则由函数具有性质，可得，即，整理得，将上式视为关于的方程，则其判别式，即

，注意到，，则，故，此时或代入方程可得，因此，.另一方面，由，可设，，其中，则，即.因此，.

[命题意图]本题考查数学阅读理解与逻辑推理能力，考查导数的几何意义及直线的垂直的判定，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力和逻辑推理素养.

17.解：（1）零假设为：物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联，

，……（3分）

∴根据的独立性检验，可以推断不成立，

∴物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联. ……（4分）

（2）由分层随机抽样可知，抽取的喜欢专利代理的男生有2人，不喜欢专利代理的男生有3人.

可取0，1，2，……（5分）

，，，……（8分）

∴的分布列为

……（9分）数学期望.……（10分）

[命题意图]该试题考查相关变量之间的关系以及列联表、超几何分布及其期望等问题，是高考常考点，数学素养方面主要考查运算能力.

18.解：（1）设等差数列的公差为，由已知得，

即，……（2分）

又，解得（舍负），，……（4分）∴.……（5分）

（2），……（7分）

∴，……（9分）

∴

……（10分）

……（11分）.……（12分）

[命题意图]该题主要考查等差数列及其求和、等比数列及其性质、裂项求和的灵活应用等，是高考热点问题.该试题从全新的角度进行了裂项的考查，数学素养方面主要考查创新思维、延伸思维等.

19.解：（1）由余弦定理，∴，……（2分）

∴，当且仅当时，等号成立，……（5分）

∴面积的最大值为.……（6分）

（2），由正弦定理得，……（8分）

∵，∴，……（10分）

即，∴.……（12分）

[命题意图]该试题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式、同角正切公式等，是高考必考点，其中将数代换成字母也是本题亮点，在前几年的高考中，曾经惊鸿一现.数学素养方面主要考查运算能力、发散思维、创新思维等.

20.解：（1）连接交于，连接.∵平面，∴，……（1分）

∴.……（2分）∵，，，，，

过点作，垂足为，，∴，……（3分）∴.……（4分）

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，……（5分），，设平面的法向量为，

由取.……（7分）

，，设平面的法向量为，

由取，……（9分）∴，……（11分）

∴平面与平面夹角的余弦值为.……（12分）

[命题意图]该试题考查线面平行的性质定理、三角形相似、空间向量的计算等问题，是高考必考点，数学素养方面主要考查数形结合、逻辑推理等.

21.解：（1）函数的定义域为，由题意，.……（1分）

当时，，函数在上单调递增，不合题意；……（2分）

当时，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.

又函数在区间上单调递减，所以，，即.

因此，实数的取值范围是.……（4分）

（2）由题意，于是令，则由可得，.

于是，即.从而.……（6分）

另一方面，对两端分别取自然对数，则有，

于是，即证，即，其中.……（8分）

设，.则，（9分）

设，.

则在上恒成立，

于是，在上单调递增，从而. ……（11分）

所以，，即函数在上单调递增，于是.

因此，，即原不等式成立.……（12分）

[命题意图]本题考查函数的极值、零点，以及导数在研究函数性质的应用，考查双变量不等式的证明，考查学生恒等变形能力、逻辑推理能力和数学运算素养.

22.解：（1）由题意得，，，∴，……（2分）

整理得曲线.……（4分）

（2）设，，，若直线平行于轴，根据双曲线的对称性，可知点在轴上，不符合题意，故设，代入曲线中，得，则，，∴.……（6分）

由，，三点共线得，即，同理，由，，三点共线得，……（7分）

消去，得，即，

，，

∴.……（8分）

∴直线恒过点，则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，

……（10分）当与重合时，最大，此时轴，，.

∴当最大时，点的纵坐标为.……（12分）

[命题意图]该试题主要考查双曲线及其性质、直线与圆锥曲线、韦达定理、以及韦达不对称等问题的处理、轨迹问题、最值问题等.该题作为压轴试题，利用韦达不对称问题，从隐含的过顶点问题过渡到轨迹中的最值问题，数学素养方面主要考查创新思维.