人教版27.2.1 相似三角形的判定一课一练

基础提升专练题库：相似三角形的判定与性质

1．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．

2．如图，在△ABC与△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC∽△ADE．

3．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．

（1）求证：△ABC∽△ACD；

（2）若AD＝4，AB＝9，求AC的长．

4．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．

（1）求CE的长；

（2）求AB的长．

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：BD•BC＝BE•BA．

6．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．求证：△ABE∽△DEF．

7．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．求DF的长度．

8．已知：如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．

（1）求证：AC2＝AD•AB．

（2）若AC＝6，BC＝8，求线段AD，BD，CD的长．

9．如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，连接BD．

（1）求证：△ADE∽△ABD；

（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？为什么？

10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C．

（1）求证：AD2＝AE•AB；

（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；

（3）若CD＝2，求AD的长．

基础提升专练题库：相似三角形的判定与性质 参考答案

1．证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．

2．证明：∵∠EAC=∠DAB，∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE．∴∠BAC=∠DAE．∵，∴△ABC∽△ADE．

3．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD．

（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴＝，即＝，∴AC＝6．

4．解：（1）∵FE∥CD，∴=，即=，解得AC=．则CE=AC﹣AE＝﹣4=．

（2）∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得AB＝．

5．证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC．∵CE⊥AB，∴∠BEC＝∠BDA．∵∠B＝∠B，∴△BCE∽△BAD．∴，即BC•BD＝BA•BE．

6．证明：设AB＝4，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，∠A＝∠D＝90°，∴DF＝1，AE＝ED＝2．∴＝＝．∴△ABE∽△DEF．

7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°．∵CE＝1，∴DE＝＝．∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠C＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°．∵∠ADF+∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠DAF．∴△EDC∽△DAF．∴＝，即＝．解得FD＝，即DF的长度为．

8．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．∴．∴AC2＝AD•AB．

（2）解：根据勾股定理可得AB＝．∵AC2＝AD•AB，∴AD＝．∴BD＝AB﹣AD＝10﹣3.6＝6.4，∴CD＝．

9．（1）证明：∵弦AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB．∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°．∵OD⊥DE，∴∠E＝90°．∴∠AED＝∠ADB．∴△ADE∽△ABD．

（2）DE是⊙O的切线．理由如下：连接OD．∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°．∴∠EAD+∠EDA＝90°．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵∠EAD＝∠DAB，∴∠ODA＝∠EAD．∴OD∥AC．∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．

10．（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD．∴＝，即AD2＝AE•AB．

（2）解：∠ADC=∠BED．理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠ADC=∠DAE+∠B，∠BED=∠DAE+∠ADE，∠ADE=∠C，∴∠ADC＝∠BED．

（3）解：∵∠ADC＝∠BED，∠B＝∠C，∴△ADC∽△DEB．∴＝，即＝，解得BE＝2.4．由（1）得，AD2＝AE•AB＝13，则AD＝．