鲁教版（五四制）数学七年级下册导学案 8.6 三角形内角和定理

鲁教版（五四制）数学七年级下册导学案

 8.6  三角形内角和定理

知 识 梳 理

知识点1  三角形内角和定理

三角形内角和定理:______________________________________________。

知识点2三角形内角和定理的推论

推论1:三角形的一个外角___________和它不相邻的两个内角的和。

推论2:三角形的一个外角___________任何一个和它不相邻的内角。

如图所示，∠ACD＝∠A＋∠B，∠ACD＞∠B（或∠ACD＞∠A）

注意  应用三角形内角和定理的推论时，关键要找准一个外角是哪个三角形的外角，有时还需要自己构造三角形。

知识点3  其他重要结论

1.直角三角形的两锐角________________。

2.有两角互余的三角形是________________。

3.四边形内角和等于_________________。

4.n边形内角和等于________________。

5.多边形的外角和等于________________。

考 点 突 破

考点1:  三角形内角和定理

【典例1】 如图所示，已知AB∥DE. 求证:∠B＋∠C＋∠E＝360°

思路导析:方法一:过C作AB的平行线，把∠BCE分割成两个角，应用平行线的性质即可证得方法二:学了三角形内角和定理以后，只需连接BE即可。

证明:连接BE。∵AB∥DE，∴∠ABE＋∠DEB＝180°。

又∵∠EBC＋∠BEC＋∠C＝180°，

∴∠ABE＋∠DEB＋∠EBC＋∠BEC＋∠C＝360°

即∠ABC＋∠C＋∠DEC＝360°

变式1 在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（    ）

A.50°    B.75°    C.100°    D.125°

变式2 如图所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D。

（1）若∠ABC＋∠ACB＝110°，则∠BDC＝_________；

（2）若∠A＝100°，则∠BDC＝__________；

（3）若∠A＝n°，则∠BDC＝__________。

考点2:  三角形内角和定理的推论

【典例2】如图所示，求证:

（1）∠BDC＞∠A；

（2）∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A。

思路导析: 要证明上面两个问题，主要是应用三角形内角和定理的两个推论，而应用推论的关键是在哪一个三角形中，以及一个外角是哪个三角形的外角，要注意重新构造三角

证明:如图所示，延长BD与AC相交于点E。

（1）∵∠BDC是△CDE的一个外角，∴∠BDC＞∠1.

又∵∠1是△BEA的一个外角，∴∠1＞∠A

∴∠BDC＞∠A。

（2）∵∠1是△BEA的一个外角，∴∠1＝∠B＋∠A

又∵∠BDC是△CDE的一个外角，∴∠BDC＝∠C＋∠1.

∴∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A

友情提示  注意（2）中的结论∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A是一个常见的结论本题的辅助线也可如下图所示：

变式3 如图所示，P为△ABC内一点，延长BP交AC于点D.用“＜”表示∠1，∠2，∠A的关系为__________________。

考点3:  多边形内角和的应用

【典例3】 如图所示，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E为五角星的五个角，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数。

思路导析:课本上的例题是用外角及内角和定理证明的这个题，这里再介绍另外一种简单解法。

解:如图所示，连接CD，则图中出现一个“X”形图，有∠B＋∠E＝∠FCD＋∠FDC。

所以，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E

＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋（∠B＋∠E）

＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠FCD＋∠FDC

＝∠A＋（∠ACE＋∠FCD）＋（∠FDC＋∠ADB）

＝∠A＋∠ACD＋∠ADC

＝180°

友情提示  像这类求多个角的和的题目，可以像例题这样将多个角转化到一个多边形里面，变成求多边形的内角和.只需要数一数边数n代入公式（n-2）180°即可，而图中的“X”形图是一种典型的转化。

变式4计算:∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F。

        巩 固 提 高

1.已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角的度数为（    ）

A.60°    B.75°    C.90°     D.120°

2.如图所示，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是（    ）

A.120°   B.90°    C.100°    D.30°

3.如图所示，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3等于（    ）

A.180°   B.360°    C.540°   D.无法确定

4.如图所示，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（    ）

A.30°    B.40°    C.60°    D.70°

5.小明把一幅含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a＋∠β等于（    ）

A.180°    B.210°    C.360°   D.270°

6.如图所示，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（   ）

A.∠1＋∠2＝∠3＋∠4     B.∠1＋∠2＝∠4-∠3

C.∠1＋∠4＝∠2＋∠3     D.∠1＋∠4＝∠2-∠3

7.如图所示，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，过l1上的点A作AB⊥l3交l3于点B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是（    ）

A.∠2＞120°    B.∠3＜60°    C.∠4 -∠3＞90°   D.2∠3＞∠4

8.如图所示，x＝____________。

9.如图所示，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是____________________。

10.如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝______________。

11.如图所示，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数。

12.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？

真 题 训 练

1.（2018·广东）如图所示，AB∥CD，则∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是（    ）

A.30°    B.40°    C.50°    D.60°

2.（2018·荆门）已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C＝90°）按如图所示的位置摆放，若∠1＝55°，则∠2的度数是（    ）

A.80°    B.70°    C.85°    D.75°

3.（2018·长春）如图所示，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为（    ）

A.44°    B.40°    C.39°    D.38°

4.（2018·广西）如图所示，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（    ）

    A.40º    B.45º    C.50º    D.55º

参考答案及解析

知识梳理

知识点1：三角形三个内角的和等于180º

知识点2：等于     大于

知识点3：1.互余    2.直角三角形    3.360º    4.(n－2)×180º    5. 360º

考点突破

1，B

2.（1）125°   （2）140°  （3）90°＋

3.∠A＜∠2＜∠1

4.360º

巩固提高

1.C    2.C    3.B    4.A    5.B    6.D    7.D    8.60°   9.∠1＞∠2＞∠3    10. 180º

11. 解:EF∥GH，∠FAC＝72°,∴∠DBC＝∠FAC＝72°

在△BCD中，∠DBC+∠BCD+∠BDC＝180º，

∴∠BDC＝180－72º－58°＝50º.

12.解:解法1:如图①所示，延长BC交AD于点E，则∠DEB＝∠A＋∠B＝90°＋30°＝120°

从而∠DCB＝∠DEB＋∠D＝120°＋20º＝140º。若零件合格，∠DCB应等于140°。

李叔叔量得∠BCD＝142°，因此可以断定该零件不合格。

（也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同.）

解法2:如图②所示，连接AC并延长至E，则∠3＝∠1＋∠D，∠4＝∠2＋∠B，

因此∠DCB＝∠1＋∠D＋∠2＋∠B＝140º.而李叔叔量得∠BCD＝142°，所以判定该零件不合格。

解法3:如图③所示，过点C作EF∥AB，交AD于E，

则∠DEC＝90º，∠PCB＝∠B＝30º，所以∠DCF＝D＋∠DEC=110º.

从而∠DCB＝∠DCF＋∠FCB＝140º.而李叔叔量得∠BCD＝142º，所以判定该零件不合格。

说明：也可以过点C作AD的平行线。

真题训练

1.B2.A3.C2.A3.C4.C3.C    4.C