鲁教版（五四制）数学七年级下册导学案 第八章 平行线和相交线 章末复习

一、知识结构

相交线

1.邻补角与对顶角

注意点：

（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角。

（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角。

（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

2.垂线

（1）定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作： 如图所示：AB⊥CD，垂足为O

（2）垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)

（3）垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

3.点到直线的距离

（1）定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。

PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。

4.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念

（1）垂线与垂线段 

区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。  

联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)

（2）两点间距离与点到直线的距离   

区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。   

联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。

（3）线段与距离 

距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

平行线

1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。

2.两条直线的位置关系

（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。

（2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

3.平行公理----（平行线的存在性与惟一性）

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

4.平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

5.三线八角：两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

　如图，直线被直线所截

①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）

②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）

③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。

④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。

6.如何判别三线八角

判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。

　例如：

　如图，判断下列各对角的位置关系：

（1）∠1与∠2；（2）∠1与∠7；（3）∠1与∠BAD；

（4）∠2与∠6；（5）∠5与∠8。

注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？

不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成。

7.两直线平行的判定方法

方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：同位角相等，两直线平行

方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：内错角相等，两直线平行

方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

　　　　简称：同旁内角互补，两直线平行

　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180°

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

注意：

⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

一、例题精讲

题型一：对顶角

1.下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形（  ）

        A                 B             C              

2.三条直线相交于一点，构成的对顶角共有（    ）。

 A．3对    B．4对    C．5对     D．6对

3.下列说法正确的是（   ）

A．有公共顶点，且方向相反的两个角为对顶角   

B．有公共顶点，且又相等的角为对顶角

C．角的两边互为反向延长线且有公共顶点的两个角为对顶角

D．有公共顶点的两个角为对顶角

4.判断下列说法是否正确。

①顶点相对的角是对顶角。（  ）  

②由公共顶点并且相等的两个角是对顶角。（  ）  

③两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角。（  ） 

④两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角。（  ）     

5.如图，直线a， b相交于O点，∠1+∠3=100°，则∠2=________， ∠3= ________，∠4=________。

6.如图，AB、CD相交于O，且 ∠1=∠2，问∠3=∠4吗？为什么？

7.如图，直线AB、CD、EF相交于O点，已知∠AOE=20°， ∠DOB=52°，OG平分∠COF，求∠EOG的度数。

8.如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠2：∠3=2：4：3，求∠AOF的度数。       

题型二：邻补角

1.下列图形∠1与∠2不是邻补角的是（    ）

        A                    B                   C                  D

2.如图，直线a与b相交于点O，∠1+∠2=100°，则∠3的度数为（     ）

  A.80°      B.100°      C.120°      D.130°

3.如图,直线AB，CD，EF相交于点O。 

（1）∠AOC的邻补角是_______； ∠BOE的邻补角是_______； 

（2）∠DOA的对顶角是_______；, ∠EOC的对顶角是_______；

4.两条直线相交可以构成______对对顶角，三条直线相交于一点可以构成________对对顶角，n条直线相交于一点可以构成____________对对顶角。

5.如图直线AB、CD交于点O，OE是∠AOD的平分线，已知∠AOC=50°，求∠DOE的度数。

题型三：余角和补角

1.已知∠α=32°，则∠α的补角为（   ） 

  A.58°     B.68°     C.148°     D.168° 

2已知∠α=35°，则∠α的余角是（   ） 

  A.35°     B.55°     C.65°    D.145°

3.两个角大小的比为7：3，它们的差是72°，则这两个角的数量关系是（   ） 

  A.相等     B.互补     C.互余    D.无法确定

4.如果一个角的余角和这个角的补角互补，那么这个角的度数是（   ） 

  A.30°     B.45°     C.90°     D.135°

5.一个角的余角是这个角的补角的，试求这个角。

6.直线AB、CD相交于O，则∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线。画出图形并求出∠BOD和∠DOF的度数。

题型四：垂线和垂线段

1.如图1所示，CD⊥AB，则点D是_____，∠ADC=∠CDB=________°。 

2.如图2所示，l1⊥l2，垂足为_____，∠1与∠2是一组_____的邻补角，∠1与______是一对_______的对顶角。 

3.如图3所示，l1//l2，图中与直线l1垂直的直线是（  ）     

A．直线a     B．直线L2    C．直线a，b    D．直线a，b，c 

4.如图4所示，若∠ACB=90°，BC=8cm，AC=•6cm，则B点到AC边的距离为________。

5.如图5所示，直线l外一点P到l的距离是________的长度．

题型五：平行线的判定

1.如图，已知，，,求和的度数。

2.如图，已知，于D，为上一点，于F，交CA于G.求证.

3.如图，已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？

4.如图，已知：，，求的度数。

题型六：平行线的性质

1.如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 =     ，∠3 =        ，∠4 =        。

2.如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE =           。

3.如图3所示：

（1）若EF∥AC，则∠A +∠    = 180°，∠F + ∠     = 180°（                       ）．

（2）若∠2 =∠      ，则AE∥BF.

（3）若∠A +∠       = 180°，则AE∥BF．

4.如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 =       。

5.如图5，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G。

6.如图6，DE∥BC，∠D∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB的度数。

7.如图，已知AB//CD，

（1）你能找到∠B、∠D和∠BED的关系吗？

（2）如果∠B=，∠D=，则∠E的度数是多少？

作业布置

1．两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确的是（    ）

    A.同位角相等，但内错角不相等     B.同位角不相等，但同旁内角互补

    C.内错角相等，且同旁内角不互补   D.同位角相等，且同旁内角互补

2．下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ）

   A. ②③           B.①②③     C. ①②④          D. ①④

3．如图，直线和相交于，，那么图中与的关系是（   ）

    A.对顶角         B.相等        C.互余           D.互补

4. 如图，图中同旁内角的对数是（    ）

    A.2对   B.3对  C.4对  D.5对

5.若的补角是，则的余角为______。

6．已知直线在同一平面，若，，则     。

7. 如图，，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=        

8．如图，按角的位置关系填空：与             ；与是             ；与是            。

9.如图，直线AB、CD、EF相交于同一点O,而且∠BOC=∠AOC,∠DOF=∠AOD,那么∠FOC=_____度.

10．(1) 两直线平行，同位角互补。 (2) 同旁内角互补，两直线平行 。(3) 内错角相等。　　　

　　(4) 两个锐角的补角相等。（5）对顶角相等，两直线平行。（6）同角的余角互补。

　　上述说法错误的是：         。

11.如图：∠1=53°，∠2=127°，∠3=53°，试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系。