云南师大附中2023届高考适应性月考卷（七）数学试卷及参考答案

云南师大附中2023届高考适应性月考卷（七）

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、在试題卷上作答无效．

3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．设集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知复数z满足，则（    ）

A．    B．2    C．    D．4

3．已知，向量，则（    ）

A．0    B．1    C．2    D．3

4．根据统计法和《全国人口普查条例》，我国以2020年11月1日零时为标准时点开展了第七次全国人口普查．数据显示，第七次全国人口普查全国人口共141178万人，与2010年（第六次全国人口普查数据）的133972万人相比，增加7206万人，增长，年平均增长率为．在全国人口中，男性人口为72334万人，占；女性人口为68844万人，占．总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年基本持平，略有降低．出生人口性别比为111.3，较2010年下降6.8．结合以上数据和如图，下列说法不正确的是（    ）

A．我国人口在2010年~2020年继续保持低速增长态势

B．关于x的方程的近似解为0.0053

C．在七次人口普查中，女性人口占全国总人口的比例最高的是第七次

D．若某地2020年新生儿中女性有1万人，则该地新生儿中男性必超过1.1万人

5．展开式中的系数为（    ）

A．4    B．2    C．    D．

6．设等比数列的首项为1，公比为q，是数列的前n项和，则“”是“恒成立”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

7．正方体的棱长为3，点P在正方形的边界及其内部运动．若，则三棱锥的体积的最小值是（    ）

A．1    B．    C．3    D．

8．设，则（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9．将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为                   B．的图象关于轴对称

C．的图象关于中心对称            D．是奇函数

10．已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（    ）

A．0    B．1    C．    D．2

11．已知，曲线，曲线，直线，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，曲线离心率为

B．当时，曲线离心率为

C．直线l与曲线有且只有一个公共点

D．存在正数m，n，使得曲线截直线l的弦长为

12．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同．现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球．重复该试验，直至小球全部取出．假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的是（    ）

A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为

B．已知第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手中共有1白球和1红球的概率为

C．经过6次试验后试验停止的概率为

D．经过6次试验后试验停止的概率最大

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知，则________________．

14．盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了5个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各1个．小明想将这5个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有____________种摆放方法．

15．古希腊伟大的数学家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城，在其辉煌的职业生涯中，最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆柱外切于一个球，则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即）．现有球O与圆柱的侧面与上下底面均相切（如图），若圆柱又是球的内接圆柱，设球，圆柱的表面积分别为，体积分别为，则__________；_________．（第一空2分，第二空3分）

16．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上一点，点A在以为直径的圆上，若，则的值是______________．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）如图，在平面四边形中，，，，．

（1）求；

（2）求的长．

18．（本小题满分12分）如图所示，在四棱柱中，以A为端点的三条棱的长都为1，且两两夹角为，点M，N分别在线段和上，且满足，其中．

（1）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；

（2）当时，求异面直线与所成角的大小．

19．（本小题满分12分）近年来，云南省保山市龙陵县紧紧围绕打造“中国石斛之乡”的发展定位，大力发展石斛产业，该产业带动龙陵县近四分之一人口脱贫致富．2022年8月，龙陵紫皮石斛获国家地理标志运用促进工程重点项目，并被评为优秀等次．在政府的大力扶持下，龙陵紫皮石斛产量逐年增长，2017年底到2022年底龙陵县石斛产量统计如下及散点图如图．

（1）根据撒点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）经计算得下表中数据，根据（1）中结果，求出y关于x的回归方程；

其中．

（3）龙陵县计划到2025年底实现紫皮石斛年产量达1.5万吨，根据（2）所求得的回归方程，预测该目标是否能完成？（参考数据：）

附：，．

20．（本小题满分12分）已知数列满足．记的前n项和为．

（1）求；

（2）设，若表示不小于x的最小整数，如，试判断是否存在正整数n，使得？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说出理由．

21．（本小题满分12分）在①；②；③面积的最小值为8，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并解答下列问题．（若选择多个条件作答，则按第一个解答计分）

已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，_____________．

（1）求抛物线的方程；

（2）点C在抛物线上，的重心G在y轴上，直线交y轴于点Q（点Q在点F上方）．记的面积分别为，求T的取值范围．

22．（本小题满分12分）已知函数．

（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）求证：恒成立．

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

【解析】

1．，x是6的倍数，且为正整数，可知x必是3的倍数，，所以．又，所以，故选C．

2．，所以，故选B．

3．由，可知，得，所以，所以，解得，又，∴，故选C．

4．由第七次人口普查，全国人口共141178万人，与第六次全国人口普查数据的133972万人相比，增加7206万人，增长，年平均增长率为，可知增长率为，，年平均增长率是方程的解，，故A正确，B也正确；设总人口性别比为，则女性人口占总人口比例为．结合图可知，七次人口普查中，第七次人口普查n最小，女性人口占总人口比例最大，故C正确；第七次人口普查出生人口性别比为111.3，说明新生儿男性对女性的比例为，但某地出生人口性别比不一定等于全国出生人口性别比，所以D不正确，故选D．

5．，含的项为，所以展开式最后的系数为，故选D．

6．．当时，，可知．所以“”是“，恒成立”的充分条件．又当时，．若n为偶数，

则；若m为奇数，则．所以，当时，恒成立．综上，“0”是“恒成立”的充分不必要条件，故选A．

7．如图所示，因为平面平面，所以，∵，由，则；所以P在以A为圆心，为半径的圆上及圆内部，由题意可知，，P到的最小距离为，所以的面积的最小值是，所以四面体的体积的最小值是，故选B．

8．因为，所以，所以，可得．构造函数，所以在上单调递减，当时，，所以，可知，即，，又，所以，有造函数，法一：，当时，在上单调递减，，可知，所以．法二：考虑，当时，在上单调递增，，即．所以当时，，可知，所以．综上，，故选A．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

【解析】

9．，所以函数最小正周期为，故A正确；令的图象向上平移1个单位后得到的图象，所以的图象关于轴对称，关于中心对称，故B，C正确，D不正确，故选ABC．

10．由题意知，直线与的图象有2个交点．当直线过点时，，当直线过点时，．结合图象如图可知，当时，直线与的图象有2个交点，恰有两个互异的实数解．又当直线与曲线相切在第一象限时，直线与的图象也有2个交点．法一，令，当时，得，所以，得．法二：，化简可得，由，得，又由图可知，所以，此时直线与曲线相切于点．综上，实数a的取值范围是，故选BCD．

11．当时，曲线是焦点在y轴上的椭圆，离心率，故A正确．当时，曲线是焦点在x轴上的双曲线，离心率，故B错误．又，直线：过点，斜率．双曲线的渐近线方程为，直线l过的一个顶点且与的渐近线平行，所以直线l与曲线有且只有一个公共点，故C正确．曲线：与x轴的交点是，与y轴的交点是．所以直线l与曲线相交，弦长为，当时，，曲线截直线l的弦长为，故D正确，故选ACD．

12．记事件“一次试验硬币正面朝上”，则“一次试验硬币反面朝上”，则．从箱子中不放回地抽球，记“第i次抽到白色小球”，记“第i次抽到红色小球”，“第i次硬币正面朝上且抽到白色小球”，记“第i次硬币正面朝上且抽到红色小球”，所以，经过两次试验后，试验音手巾共有2个白球的概率为，故A正确；已知第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手中共有1白球和1红球的概率为，故B不正确；试验6次后停止等价于前5次有4次硬币正面朝上，第6次硬币正面朝上，所以其概率为，故C正确；试验n次后停止概率为，则，．令，得，化简可得，解得，可知…，所以经过8次或者9次试验后小球全部取出的概率最大，故D不正确，故选AC．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

3．由，解得，所以．

14．记2个相同的“竹林春熙”为A，A，“冰雪派对”为B，“青云出岫”为C，“如意东方”为D，先摆放B，C，D，一共有种摆放方式，再将2个A插空放入，有种摆放方式，所以，一共有种摆放方式．

15．设球O的半径为r，体积为，表面积为，则圆柱的底面半径为r，高为，球半径为．由阿基米德得出的结论，又球O与球的半径比为，所以，所以．

16．根据椭圆的方程可得，焦点坐标为，点A在以为直径的圆上，设O为坐标原点，所以．由，可知点A是线段的中点，故，则，又点P在椭圆C上，故，则．

在中，，即，所以，在中，．综上，．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．解：（1）∵，，，∴．

记，则，

在中，由正弦定理得：，∴，

化简得，∴，

可知，即．

（2）解法一：由（1）知：，

由正弦定理得：，∴．

解法二：在中，．

解法二：在中，由余弦定理得：，

∴，解得．

18．解：（1）延长交直线于点P，连接，如图．

由，可知．

∵，∴，∴，

∴．

因此，当时，平面平面，

∴平面．

当时，即为，∴平面．

（2）记，

则．

，

，

方法一：

当时，点P与点C重合，连接，如图，

∵，∴异面直线与所成角即为直线与所成角．

在中，，∴．

在中，．

∴异面直线与所成角为．

方法二：

当时，，

，

设异面直线与所成角为，

则，

∴异面直线与所成角为．

19．解：（1）由散点图可知，更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程类型．

（2）对两边取自然对数，得．

令，所以．

因为，

所以．

所以，

所以．

所以龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程为．

（3）当时，，

故预测该目标可以完成．

20．解：（1）当n为偶数时，，

∴

∴，

解得．

（2）当n为奇数时，，两式相减得，

又，∴n为奇数时，；

当n为偶数时，，∴，

综上，

∴，

法一：，令，得，解得．

因此，存在正整数n，使得，n的取值集合为．

法二：令，则，即，

∴，∴．

因此，存在正整数n，使得，n的取值集合为．

21．解：（1）由题得，且的斜率存在，设．

联立方程得，

可知恒成立，设，

则，

若选条件①，少，

，

∴，

故抛物线的方程为．

若选条件②，，

由抛物线定义得，

∴，故抛物线的方程为．

若选条件③，，当且仅当“”时，面积有最小值为，

∴，故抛物线的方程为．

（2）解法一：由（1）得抛物线的方程为，故，

如图，∵G为重心，∴，且，

∴．

又，

∴．

令，得，

则，即．

令，则，

则，

∵，∴，当且仅当“”，即“”时取等．

∴，

∴，故．

法二：由（1）得抛物线的方程为，

故，

∵A在抛物线上，不妨设，则，

∵G为重心，∴，则，

又，

所以，

，

，

又，

∴．

令，得，又点Q在点F上方，可知，即．

令，则，

，

∵，∴，当且仅当“”，即“”时取等．

∴

∴，故．

22．（1）解：，由题意，在上恒成立，

∴在上恒成立，

令，

当时，；当时，．

∴在上单调递减，．

∴．

综上，实数a的取值范围是．

（2）证明：由（1）知：当时，在上单调递增，．

∴当时，，

令，则，∴．

∴，可得．

∴

累加得，

∴，

∴得证