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重难点07 函数类综合问题-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）
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这是一份重难点07 函数类综合问题-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用），文件包含重难点07函数类综合问题解析版docx、重难点07函数类综合问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共119页， 欢迎下载使用。
重难点07 函数类综合问题
首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般3-4题，其中有1-2道大题．所占分值大约25分左右．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形、几何变换相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．
1．通过思维导图整体把握二次函数所有考点
1）图象与性质：（函数的三种表达式、开口问题、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、图象的平移等）；
2）与一元二次方程（不等式）结合（交点坐标与方程的根的关系）；
3）与实际生活结合（用二次函数解决生活中的最值（范围）问题）
2.二次函数的压轴题主要考向
1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）、几何变换等）；
2）最值问题（线段、周长、面积）
3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略
1）线段最值（周长）问题——斜化直策略
2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略
3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题
4）线段差——三角形三边关系或函数
5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论
6）（特殊）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法
限时检测1：最新各地模拟试题（90分钟）
1．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西南昌·南昌市外国语学校校考一模）如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①，②（为任意实数）；③若点为对称轴上的动点，则有取大值，最大值为；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的序号有（ ）．
A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④
3．（2023·福建漳州·统考一模）已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左则），与轴交于点，连接，直线与轴交于点D，交上方的拋物线于点，交于点，下列结论中错误的是（ ）
A．点C的坐标是 B． C．当的值取得最大时， D．是直角三角形
4．（2023·重庆九龙坡·校考一模）已知点在二次函数上，其中，，……，，令，，……，；为的个位数字（n为正整数），则下列说法：①；②；③；④的最小值为，此时；⑤的个位数字为6．正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023·山东枣庄·校考一模）二次函数的图像的一部分如图所示，已知图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为-3，5；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2023·浙江温州·校考一模）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．（2023·安徽合肥·统考一模）已知点是抛物线上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是______；
（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为______．
8．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，A，B为反比例函数第一象限图象上任意两点，连接并延长交反比例函数图象另一支于点C，连接交x轴于点F，交y轴于点G，连接，连接并向两侧延长分别交x轴于点E，交y轴于点D．已知，，则______，k的值为______．
9．（2023·广东深圳·深圳外国语学校校考一模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点．连接，则的值为______．
10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，已知在平面直角坐标系中，点，点M是横轴正半轴上的一个动点，经过原点O，且与相切于点M．（1）当轴时，点P的坐标为_______；（2）设点P的坐标为，则y关于x的函数关系式为 _____________ （不用写出自变量x的取值范围）；
（3）当射线与直线相交时，点M的横坐标t的取值范围是_____________
11．（2023·四川成都·统考一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则__________．
12．（2022·浙江金华·校联考三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度________，液面到点所在水平地面的距离是________．
13．（2023·江苏常州·常州市校考模拟预测）如图1，抛物线的图像与x轴交于两点.过点动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒.(1)求抛物线的表达式；(2)过D作交于点E，连接BE，当时，求的面积；(3)如图2，点在抛物线上.当时，连接、、，在抛物线上是否存在点P，使得若存在，直接写出此时直线与x轴的交点Q的坐标，若不存在，请简要说明理由.
14．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，对于平面内小于等于的，我们给出如下定义：若点在的内部或边上，作于点，于点，则将称为点与的“点角距”，记作．如图，在平面直角坐标系中，、正半轴所组成的角为．
(1)已知点、点，则______ ，______．
(2)若点为内部或边上的动点，且满足，在图中画出点运动所形成的图形．
(3)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过与点两点，点是、两点之间的抛物线上的动点(点可与、两点重合)，求当取最大值时点的坐标．
15．（2023·广东佛山·统考一模）二次函数．(1)当时，函数图象与轴交于点、，与轴交于点．①写出函数的一个性质；②如图1，点是第四象限内函数图象上一动点，求出点坐标，使得的面积最大；③如图2，点为第一象限内函数图象上一动点，过点作.轴，垂足为，的外接圆与交于点，求的长度；(2)点、为函数图象上任意两点，且.若对于时，都有，求的取值范围．
16．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、（左右），与轴交于点，直线经过点、，．
(1)求抛物线的解析式；(2)点在直线上方的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，点在点右侧轴上，连接，，，过点作轴交抛物线于点，连接，点在轴负半轴上，连接，若，连接，求直线的解析式
17．（2023·山东济南·统考一模）已知抛物线过两点，交轴于点.
(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)如图1，若点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点的坐标；(3)如图2，点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线线段于点点，过点作轴，求的最大值.
18．（2023·山西晋中·统考一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，．点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线的表达式；(2)连接，，求面积的最大值；
(3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
19．（2023·广东佛山·统考一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点为D，且．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段上存在一点M，过点O作交的延长线于H，且，求点M的坐标；(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2023·湖南长沙·校联考一模）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点C．过点A作线段垂直y轴交于点B，过点C作线段垂直抛物线的对称轴交于点D，我们称矩形为抛物线的“伴随矩形”．(1)请根据定义求出抛物线的“伴随矩形”的面积；(2)已知抛物线的“伴随矩形”为矩形，若矩形的四边与直线共有两个交点，且与双曲线无交点，请直接写出m的取值范围；(3)若对于开口向上的抛物线，当时，方程的两个根为，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形”为正方形；②（其中表示矩形的面积）；③的最小值为．请求出满足条件的t值．
21．（2023·山东泰安·宁阳二中校考一模）如图，抛物线过，，三点；点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且．
(1)试求抛物线的表达式；直接写出抛物线对称轴和直线的表达式；(2)过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标；(3)当点运动到使时，请简要求出的值．
22．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考一模）小明同学在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（I）列表（完成以下表格）．
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
…
…
15
8
0
0
3
15
…
…
15
8
0
0
3
15
…
（II）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数的图象可由函数的图象如何变化得到？答： ．
（2）探究发现直线与函数的图象交于点E，F，，，则不等式的解集是______．
（3）设函数的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线的解析式；②探究应用：将直线沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
23．（2023·湖北武汉·校考一模）在平面直角坐标系中，抛物线恰好经过，，三点中的两点．(1)直接写出，的值；(2)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，在轴上取点，使，求点的坐标；
(3)将抛物线向上平移4个单位，向左平移1个单位得到抛物线，点在轴上，过的直线与拋物线交于点，，与轴交于点，求证：．
24．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图1，抛物线（为常数，）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段上的一个动点，连接并延长与过O，A，B三点的相交于点C，过点C作的切线交x轴于点E．(1)①求点的坐标；②求证：；(2)如图2，连接，，，，当，时，①求证：；②求的值．
25．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知．
(1)如图1，求抛物线解析式；(2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标．
限时检测2：最新各地中考真题（90分钟）
1．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
2．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·湖南长沙·中考真题）若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
(1)①若函数，当时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
(2)若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
(3)若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；
(3)如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
6．（2022·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；(4)如图2，作交x轴于点，点H在射线上，且，过的中点K作轴，交抛物线于点I，连接，以为边作出如图所示正方形，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．
7．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．
8．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．(1)求a，b的值；(2)如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接、设点P的纵坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)如图2，在（2）的条件下，连接，点F在上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接交y轴于点G，点G为的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接，，延长交于点M，点R在上，连接，若，，求直线的解析式．
9．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线由直线平移得到，与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为，，，．(1)填空：______，______；
(2)若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值；
(3)当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线上的交点，直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．
①当时，直接写出的取值范围；②求的取值范围．
10．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；
(2)若，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
11．（2022·四川南充·中考真题）抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，顶点P在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．(3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在延长线上，，连接并延长到点D，使．交x轴于点E，与均为锐角，，求点M的坐标．
12．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上．
(1)求该抛物线的表达式．(2)正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．(3)在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
13．（2022·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
14．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
15．（2022·山西·中考真题）综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
16．（2022·广西玉林·中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
17．（2022·湖北鄂州·中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．
(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．
(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
18．（2022·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．
(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2022·湖北恩施·中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点．
(1)直接写出抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．(3)直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
20．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点C，线段轴，交该抛物线于另一点B．
(1)求点B的坐标及直线的解析式：(2)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且．求m的值：
(3)平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．
重难点07 函数类综合问题
首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般3-4题，其中有1-2道大题．所占分值大约25分左右．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形、几何变换相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．
1．通过思维导图整体把握二次函数所有考点
1）图象与性质：（函数的三种表达式、开口问题、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、图象的平移等）；
2）与一元二次方程（不等式）结合（交点坐标与方程的根的关系）；
3）与实际生活结合（用二次函数解决生活中的最值（范围）问题）
2.二次函数的压轴题主要考向
1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）、几何变换等）；
2）最值问题（线段、周长、面积）
3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略
1）线段最值（周长）问题——斜化直策略
2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略
3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题
4）线段差——三角形三边关系或函数
5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论
6）（特殊）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法
限时检测1：最新各地模拟试题（90分钟）
1．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西南昌·南昌市外国语学校校考一模）如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①，②（为任意实数）；③若点为对称轴上的动点，则有取大值，最大值为；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的序号有（ ）．
A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④
3．（2023·福建漳州·统考一模）已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左则），与轴交于点，连接，直线与轴交于点D，交上方的拋物线于点，交于点，下列结论中错误的是（ ）
A．点C的坐标是 B． C．当的值取得最大时， D．是直角三角形
4．（2023·重庆九龙坡·校考一模）已知点在二次函数上，其中，，……，，令，，……，；为的个位数字（n为正整数），则下列说法：①；②；③；④的最小值为，此时；⑤的个位数字为6．正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023·山东枣庄·校考一模）二次函数的图像的一部分如图所示，已知图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为-3，5；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2023·浙江温州·校考一模）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．（2023·安徽合肥·统考一模）已知点是抛物线上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是______；
（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为______．
8．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，A，B为反比例函数第一象限图象上任意两点，连接并延长交反比例函数图象另一支于点C，连接交x轴于点F，交y轴于点G，连接，连接并向两侧延长分别交x轴于点E，交y轴于点D．已知，，则______，k的值为______．
9．（2023·广东深圳·深圳外国语学校校考一模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点．连接，则的值为______．
10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，已知在平面直角坐标系中，点，点M是横轴正半轴上的一个动点，经过原点O，且与相切于点M．（1）当轴时，点P的坐标为_______；（2）设点P的坐标为，则y关于x的函数关系式为 _____________ （不用写出自变量x的取值范围）；
（3）当射线与直线相交时，点M的横坐标t的取值范围是_____________
11．（2023·四川成都·统考一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则__________．
12．（2022·浙江金华·校联考三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度________，液面到点所在水平地面的距离是________．
13．（2023·江苏常州·常州市校考模拟预测）如图1，抛物线的图像与x轴交于两点.过点动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒.(1)求抛物线的表达式；(2)过D作交于点E，连接BE，当时，求的面积；(3)如图2，点在抛物线上.当时，连接、、，在抛物线上是否存在点P，使得若存在，直接写出此时直线与x轴的交点Q的坐标，若不存在，请简要说明理由.
14．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，对于平面内小于等于的，我们给出如下定义：若点在的内部或边上，作于点，于点，则将称为点与的“点角距”，记作．如图，在平面直角坐标系中，、正半轴所组成的角为．
(1)已知点、点，则______ ，______．
(2)若点为内部或边上的动点，且满足，在图中画出点运动所形成的图形．
(3)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过与点两点，点是、两点之间的抛物线上的动点(点可与、两点重合)，求当取最大值时点的坐标．
15．（2023·广东佛山·统考一模）二次函数．(1)当时，函数图象与轴交于点、，与轴交于点．①写出函数的一个性质；②如图1，点是第四象限内函数图象上一动点，求出点坐标，使得的面积最大；③如图2，点为第一象限内函数图象上一动点，过点作.轴，垂足为，的外接圆与交于点，求的长度；(2)点、为函数图象上任意两点，且.若对于时，都有，求的取值范围．
16．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、（左右），与轴交于点，直线经过点、，．
(1)求抛物线的解析式；(2)点在直线上方的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，点在点右侧轴上，连接，，，过点作轴交抛物线于点，连接，点在轴负半轴上，连接，若，连接，求直线的解析式
17．（2023·山东济南·统考一模）已知抛物线过两点，交轴于点.
(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)如图1，若点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点的坐标；(3)如图2，点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线线段于点点，过点作轴，求的最大值.
18．（2023·山西晋中·统考一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，．点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线的表达式；(2)连接，，求面积的最大值；
(3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
19．（2023·广东佛山·统考一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点为D，且．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段上存在一点M，过点O作交的延长线于H，且，求点M的坐标；(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2023·湖南长沙·校联考一模）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点C．过点A作线段垂直y轴交于点B，过点C作线段垂直抛物线的对称轴交于点D，我们称矩形为抛物线的“伴随矩形”．(1)请根据定义求出抛物线的“伴随矩形”的面积；(2)已知抛物线的“伴随矩形”为矩形，若矩形的四边与直线共有两个交点，且与双曲线无交点，请直接写出m的取值范围；(3)若对于开口向上的抛物线，当时，方程的两个根为，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形”为正方形；②（其中表示矩形的面积）；③的最小值为．请求出满足条件的t值．
21．（2023·山东泰安·宁阳二中校考一模）如图，抛物线过，，三点；点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且．
(1)试求抛物线的表达式；直接写出抛物线对称轴和直线的表达式；(2)过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标；(3)当点运动到使时，请简要求出的值．
22．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考一模）小明同学在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（I）列表（完成以下表格）．
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
…
…
15
8
0
0
3
15
…
…
15
8
0
0
3
15
…
（II）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数的图象可由函数的图象如何变化得到？答： ．
（2）探究发现直线与函数的图象交于点E，F，，，则不等式的解集是______．
（3）设函数的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线的解析式；②探究应用：将直线沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
23．（2023·湖北武汉·校考一模）在平面直角坐标系中，抛物线恰好经过，，三点中的两点．(1)直接写出，的值；(2)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，在轴上取点，使，求点的坐标；
(3)将抛物线向上平移4个单位，向左平移1个单位得到抛物线，点在轴上，过的直线与拋物线交于点，，与轴交于点，求证：．
24．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图1，抛物线（为常数，）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段上的一个动点，连接并延长与过O，A，B三点的相交于点C，过点C作的切线交x轴于点E．(1)①求点的坐标；②求证：；(2)如图2，连接，，，，当，时，①求证：；②求的值．
25．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知．
(1)如图1，求抛物线解析式；(2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标．
限时检测2：最新各地中考真题（90分钟）
1．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
2．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·湖南长沙·中考真题）若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
(1)①若函数，当时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
(2)若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
(3)若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；
(3)如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
6．（2022·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；(4)如图2，作交x轴于点，点H在射线上，且，过的中点K作轴，交抛物线于点I，连接，以为边作出如图所示正方形，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．
7．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．
8．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．(1)求a，b的值；(2)如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接、设点P的纵坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)如图2，在（2）的条件下，连接，点F在上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接交y轴于点G，点G为的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接，，延长交于点M，点R在上，连接，若，，求直线的解析式．
9．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线由直线平移得到，与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为，，，．(1)填空：______，______；
(2)若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值；
(3)当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线上的交点，直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．
①当时，直接写出的取值范围；②求的取值范围．
10．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；
(2)若，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
11．（2022·四川南充·中考真题）抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，顶点P在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．(3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在延长线上，，连接并延长到点D，使．交x轴于点E，与均为锐角，，求点M的坐标．
12．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上．
(1)求该抛物线的表达式．(2)正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．(3)在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
13．（2022·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
14．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
15．（2022·山西·中考真题）综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
16．（2022·广西玉林·中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
17．（2022·湖北鄂州·中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．
(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．
(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
18．（2022·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．
(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2022·湖北恩施·中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点．
(1)直接写出抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．(3)直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
20．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点C，线段轴，交该抛物线于另一点B．
(1)求点B的坐标及直线的解析式：(2)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且．求m的值：
(3)平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．
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