2022届安徽省马鞍山市高三下学期第一次教学质量监测（一模）（2月） 数学（理） PDF版

2022年高三第一次教学质量监测

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

 13．    14．   15．    16．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

【解析】（1），，．      ……………2分

，

，即，      ……………4分

，，又，则，

于是，则

所以是首项为，公差为的等差数列，

           ……………6分

（2）由（1）            ……………7分

，

          ……………11分

所以．           ……………12分

18．（12分）

【解析】（1）证明：因为，，，

 所以，则，

 又，，所以平面，      ……………3分

所以，

又，，所以平面．      ……………5分

  （2）法一：过点作，交于点

过点作，交于点，连接

 易证平面，

 所以为二面角的补角，

 在中，易得，

 在中，易得，

 所以，则．

 所以二面角的正弦值为．         ……………12分

 法二：过点作，交于点，过点作且，

以点为空间直角坐标系原点，分别以方向为正方向建立空间直  角坐标系．

易得，，，，      ……………7分

易得平面的法向量为

易得平面的法向量为

故

所以，则        ……………11分

故二面角的正弦值为．         ……………12分

19．（12分）

【解析】（1）．             ………………3分

 （2）①由直方图知：产品为一等品的概率是，二等品概率是，三等品概率是，

 随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值是0,1,2,3, 且，  ………………4分

 . 

 .      

 则的分布列为：

      ……7分

．       ………………8分

②产品的收益：，

产品的收益：，      ………………10分

，

因为，所以，故投资产品的收益更大．      ………………12分

20．（12分）

【解析】（1）因为，，则，

 又，解得，故椭圆的方程为．    ………………4分

 （2）法一：当直线斜率存在且不为0时，设：（），

 由，

 得：，，      ………………6分

 故，则：，与：联立得，：，

 ：与：联立得：，     ………………8分

 因为，则，

 即，解得，则：，恒过点， ……10分

 当时，易知，

  由得，则：过点，

 当斜率不存在时，设，易知，

  由得，则：过点，       

 综上，直线过定点．             ………………12分

 法二：可先由斜率为0和斜率不存在时分别求出：和：得出定点坐标，

 再证明直线过点，可按步骤酌情给分．

21．（12分）

【解析】（1）易知时，为增函数，且，   ………………2分

 故时，，单调递减，

 时，，单调递增．        ………………4分

 （2）， …5分

 又，所以，   ……7分

 下证：，即，      ………………8分

 令，，

 因为，所以在时单调递增，

 故，即，即，     

 所以，             ……………11分

 又为增函数，故．        ……………12分

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）（为参数），得曲线的普通方程.

      ，得直线的极坐标方程；．  …………5分

 （2）曲线的极坐标方程为，

将带入曲线的极坐标方程得：，.

将带入直线的极坐标方程得：.

．   …………10分

 法二：直线普通方程为，与直线的交点，

 直线的参数方程为（为参数），带入曲线

 得：，则．           …………10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）当时，，

 由得不等式的解集为       ………………5分

 （2）由二次函数，知其在处取得最小值1，

 因为，在处取得最大值，

 所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，

 只需，即，所以m的取值范围为．          ………………10分