2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考模拟数学试题（4月）

2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考模拟数学试题（4月）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数为（    ）

A．  B．  C．  D．

2．中国空间站“天宫一号”运行在距离地球平均高度约375000米处，数375000用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，直线，直线l与，相交，若图中，则（    ）

A． B． C． D．

4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）

A．圆柱 B．正方体 C．三棱柱 D．圆锥

5．平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则（    ）

A． B． C． D．

7．如图，中，，以C为圆心适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点P，作射线交于点D，已知，则的面积为（）

A．12 B．24 C．16 D．8

8．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，，下列结论中：①；② ；③若t为任意实数，则有；④当此抛物线经过点时，方程的两根为，可求得，正确结论的序号为（    ）

A．① ② ③ B．② ③ C．③ ④ D．② ③ ④

二、填空题

9．计算______．

10．试写出一个x值使得二次根式有意义：_________．

11．为了促进“双减”政策有效落实，市教育局对启智中学八年级学生的课外作业时长进行了问卷调查，名学生的作业时长统计如下表，这组作业时长数据中，中位数是_________．

12．已知，是一元二次方程的两个实数根，则_________．

13．如图，正方形的对角线交于点O，，现有半径足够大的扇形，，当扇形绕点O转动时，扇形和正方形重叠部分的面积为_________．

14．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为_______米（结果保留根号）．

15．我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数的运算进行了深入研究与总结．类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题．现已知a，b为实数，且，计算可得：，，，…，由此求得_________．

16．已知平面直角坐标系中两定点，，A为线段上一动点，连接，取中点为D，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，当取最小值时，B点坐标为_________．

三、解答题

17．化简．

18．“巩固脱贫攻坚成果，拓展乡村振兴教育赛道”，某农民企业家计划为崇礼中学购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．

(1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？

(2)该企业家计划购买甲种词典和乙种词典共300本，总费用不超过16000元，那么最多可购买甲种词典多少本？

19．为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球），刘老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后；制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．

(1)刘老师调查的学生人数是 　 　请将条形统计图补充完整；

(2)扇形统计图中A类所对应的扇形圆心角大小为 　 　；

(3)现有4名学生，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，刘老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请用列表或画树状图的方法，求出所选2人都是选修篮球的概率．

20．如图，直线与相切于点，弦，连接并延长交于点，连接并延长交于点．

(1)求证： ；

(2)若的半径，，求的长．

21．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，其中点的坐标为，点的横坐标为．

(1)求这两个函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围；

(3)连接，点在直线上，，请直接写出满足题意的点坐标．

22．某经销商到“幸福村”蔬菜种植基地定点采购甲种蔬菜，已知甲种蔬菜的单价（元千克）与采购量（千克）之间的函数关系如图中折线所示（不包括端点）．

(1)当时，直接写出与之间的函数解析式；

(2)若甲种蔬菜的种植成本为元/千克，采购量不超过千克，那么当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？

(3)在（2）的条件下，求采购甲种蔬菜多少千克时，蔬菜种植基地能获利元？

23．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，点E为线段上一点，将绕点E旋转时，线段与交于点P，线段与直线交于点Q．

(1)如图①，点Q在线段上且时，求证：；

(2)如图②，点Q在线段的延长线上时，求证：；

(3)如图③，点Q在线段的延长线上，若，，，求P，Q两点间的距离．（用含a的代数式表示）

24．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C，且，点P是直线下方抛物线上一动点．

(1)请直接写出_________，_________，_________，_________；

(2)过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标；

(3)若点P横坐标为，D为第一象限内抛物线上一点，连接交于点M，当与面积之比为时，求点M的坐标．

参考答案：

1．A

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，直接计算即可得到答案；

【详解】解：的相反数为：，

故选A；

【点睛】本题考查相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．

2．C

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】解：．

故选：C．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．B

【分析】根据平行线的性质：两直线平行内错角相等直接求解即可得到答案；

【详解】解：∵，，

∴，

故选B．

【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等．

4．D

【分析】根据该几何体主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，中间有一点可知该几何体为圆锥．

【详解】解：由题意得，该几何体为圆锥，

故选D．

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．

5．C

【分析】根据关于x轴对称的点坐标关系：x相同y互为相反数直接求解即可得到答案；

【详解】解：∵点与点关于x轴对称，

∴，，

∴，

故选C；

【点睛】本题考查象限点坐标的特征及关于x轴对称的点坐标关系：x相同y互为相反数．

6．B

【分析】根据是的直径得到，结合角平分线得到，根据及圆周角定理得到，最后结合三角形内角和定理即可得到答案；

【详解】解：∵是的直径，

∴，

∵是的平分线，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

故选B．

【点睛】本题考查直径所对圆周角是直角，同弧所对圆周角相等，三角形内角和定理，角平分线有关计算，解题的关键得到，．

7．A

【分析】点是角平分线上的一点，说明点到边的距离和点到边的距离相等．底边上的高是的面积．

【详解】解：过点D作，垂足为G，

∵由题意可知是的平分线，，

∴．

∵，

∴．

故选：A．

【点睛】本题侧重考查角平分线上的点到两边的距离相等、用尺规作角平分线的题目，掌握其性质是解决此题的关键．

8．B

【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；

利用时得到，把代入得到，然后利用可对②进行判断；

利用二次函数当时有最小值可对③进行判断；

由于二次函数与直线的一个交点为，，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，，从而得到，，则可对④进行判断．

【详解】如图所示

①抛物线开口向上，

，

抛物线的对称轴为直线，

即，

，

抛物线与轴的交点在轴下方，

，

，所以①不符题意；

②时，，

，

而，

，

，

，所以②不符合题意；

③时，有最小值，

为任意实数），

即，所以③符合题意；

④图象经过点，时，方程的两根为，，

二次函数与直线的一个交点为，，

抛物线的对称轴为直线，

二次函数与直线的另一个交点为，，

即，，

，所以④不符题意．

故选：B．

【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，掌握抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点； 时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点，是解题关键．

9．2

【分析】根据绝对值的概念和零指数幂的概念计算．

【详解】解：原式，

故答案为：2．

【点睛】此题主要考查了绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．还考查了零指数幂的概念，即任何非0数的0次幂都是1．

10．5（答案不唯一）；

【分析】根据二次根式有意义条件：被开方式大于或等于0，直接计算即可得到答案；

【详解】解：∵二次根式有意义，

∴，解得：，

故答案为：5（答案不唯一）；

【点睛】本题考查二次根式有意义条件：被开方式大于或等于0．

11．

【分析】根据中位数的求法得到人的中位数是第人的平均数，而第人作业时间是分钟，第人作业时间是分钟，即可解答．

【详解】解：∵共有人，人作业时间是第分钟，第人作业时间是分钟，

∴中位数是：分钟，

故答案为；

【点睛】本题考查了中位数的定义，熟记中位数的定义是解题的关键．

12．

【分析】根据根与系数关系直接求解即可得到答案；

【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，

∴，，

∴，

故答案为：；

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握，．

13．2

【分析】根据四边形为正方形，得到，，；推出，于是得到结论．

【详解】解：如图，

四边形为正方形，

，，；

由题意得：，

；

在与中，

，

，

扇形和正方形重叠部分的面积．

故答案为：2．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

14．一4

【分析】分析:利用特殊三角函数值，解直角三角形,AM=MD,再用正切函数，利用MB求CM,作差可求DC.

【详解】因为∠MAD=45°, AM=4,所以MD=4，

因为AB=8，所以MB=12,

因为∠MBC=30°，所以CM=MBtan30°=4.

所以CD=4-4.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的相关定义以及变形是解题的关键.

15．

【分析】先根据题意求出，进而推出，由此代值计算即可．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，

∴

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，正确推出是解题的关键．

16．

【分析】设点A坐标为，由题设条件可以得出D，B点坐标与A的坐标的关系，得出长度与x的关系，化为二次函数在x的取值范围内即可得出x的值．

【详解】设点A的坐标为，

∵D是中点，

∴点D的坐标为 ，

过点D作轴于E，过点B作轴于F，则，

，

由旋转可知，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴ ，

∴，

∴，

 ，

∵，

∴当 ，最小为 此时B点坐标 ，

故答案为：．

【点睛】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识，正确利用二次函数最值是解决此问题的关键．

17．

【分析】根据同分母分式减法计算法则求解即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

18．(1)每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．

(2)企业家最多可购买甲种词典50本．

【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典本，根据总价=单价×数量结合总费用不超过16000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【详解】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，

依题意，得：，

解得：．

答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．

（2）设企业家购买甲种词典m本，则购买乙种词典本，

依题意，得：．

解得：．

答：企业家最多可购买甲种词典50本．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

19．(1)50

(2)

(3)

【分析】（1）根据篮球的人数与占比即可计算，再根据条形图的数据和总人数即可求出选羽毛球的人数，据此补全条形图即可；

（2）用乘以A类所占的百分比，即可；

（3）列出表格或画出树状图，在计算概率即可．

【详解】（1）解：调查的学生人数是（人），

故答案为：50

羽毛球共有：（人），

补全条形图如图所示：

（2）解：A类所对应的扇形圆心角大小为；

故答案为：

（3）解：设选篮球表示为：、，选足球表示为：，选排球表示为：，画树状图如图，

可知共有12种等可能性结果，其中，两人都选篮球的情况有2种，

两人都选篮球的概率为．

【点睛】本题考了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图与扇形统计图的知识；掌握好相关的基础知识，会画树状图或列表求概率是解决本题的关键．

20．(1)见解析

(2)

【分析】（1）可求，，从而可以得证；

（2）作于点，可求，再证四边形是矩形，从而可求解．

【详解】（1）证明：是的直径，

，

，

，

与相切于点，

，

，

，

．

（2）解：如图，作于点，

，，

，

是的中位线，

，

在中，

，

由（1）知：，

四边形是矩形，

，

．

【点睛】本题考查了平行线的判定，圆的基本性质，切线的性质，三角形中位线性质，勾股定理，矩形的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．

21．(1)，

(2)或

(3)或．

【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式，可求反比例函数解析式，得到点的坐标，将点，点坐标代入一次函数解析式即可解答；

（2）利用函数图象可直接解答；

（3）根据，即可点的坐标，再根据一次函数的解析式即可解答．

【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于．

∴，①，

∴反比例函数的解析式为，

∵点的横坐标为，

∴点，

∴②，

①-②得：，

∴，

∴一次函数的解析式为；

（2）解：由图象可得：

当或时，，

此时一次函数图象在反比例函数图象的上方；

（3）解：设直线与轴交于点，当时，，即，

∴，，

分两种情况：

①如图1，当点在线段上时，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴点的坐标为；

②如图2，当点在线段的延长线上时，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴点的坐标为；

综上所述，点的坐标为或．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象交点问题，熟练运用图象上点的坐标满足的图象是解题的关键．

22．(1)

(2)当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元；

(3)采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元．

【分析】（1）设当时，与之间的函数解析式为：，待定系数法求解析式即可求解．

（2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，分别求得当时，当时，与的函数关系式，根据一次函数与二次函数的性质求得最大值，即可求解；

（3）由，根据（）可得，，解方程即可求解．

【详解】（1）解：设当时，与之间的函数解析式为：．

把，代入函数关系式得：

，

解得，

与之间的函数解析式为：；

（2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，

当时，，

当时，有最大值元，

当时，，

，

当时，有最大值为元，

综上所述，当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元；

（3）由，根据（）可得，，

解得：，，

采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元．

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．

23．(1)见解析

(2)见解析

(3)

【分析】（1）根据和是两个全等的等腰直角三角形，得到，结合三角形内外角关系可得，即可得到证明；

（2）根据，即可得，结合即可得到证明；

（3）根据，得到，结合得到，即可得到，，在中根据勾股定理即可得到答案；

【详解】（1）证明：如图1中，

∵和是两个全等的等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

在与中，

∵，

∴；

（2）证明：如图2，

∵，即，

∴，

∴，

又∵，

∴；

（3）解：由（2）知，

∴，

∵，

∴，解得：，

∴，

∴，

∴，，

在中，；

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定与性质，三角形内外角关系，勾股定理，解题的关键是根据三角形内外角关系等到等角．

24．(1)，，，；

(2)，

(3)

【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后解直角三角形求出余弦值即可；

（2）过点Q作轴于点H，根据（1）可知，然后求出直线AC的解析式，设点，则点，表示的函数求最大值即可解题；

（3）分别过点D，P作平行于y轴交直线于点G、F，根据相似三角形的性质求出，设，则，，，即可求出，进而得到直线DP的解析式，然后解方程组求出点M的坐标．

【详解】（1）设抛物线的解析式为：，

∵，

∴，

又∵，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为：，

∵，，

∴，

∴；

故答案为：，，，；

（2）过点Q作轴于点H，则，

设直线的解析式为：，代入得

，

解得：，

∴，

设点，则点，

则，

∵，

∴有最大值．

∴当时，的最大值为，此时点；

（3）分别过点D，P作平行于y轴交直线于点G、F，

∵，

∴，，，，

又，

∴，

设，则，，，

∴，

解得（舍）或，即，

由点，的坐标求得直线的解析式为：，

联立两直线方程可求得：，

∴．

【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，相似三角形，勾股定理，二次函数图象的性质，综合性强，难度大，掌握待定系数法是解题的关键．