陕西省商洛市2023届高三三模文科数学试题

陕西省商洛市2023届高三三模文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（    ）

A．25 B．5 C．4 D．3

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，，若，则（    ）

A．12 B． C．16 D．

4．在区间内随机取1个数，则的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．若函数无极值，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

6．设为坐标原点，直线与抛物线C:交于两点，若正三角形，则点到抛物线的焦点的距离为（    ）

A． B． C． D．

7．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

8．如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，这时小正方体正面朝上的图案是（    ）

A． B． C． D．

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

10．记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ）

A． B． C．25 D．30

12．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．设满足约束条件则的最小值为_________．

14．某兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查，相关数据如下表．

若由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则______．

15．在四面体中，，，，若，，则该四面体外接球的表面积为______.

16．定义在R上的奇函数满足R，，且当时，，则_________．

三、解答题

17．已知正项等比数列的前项和为，且，

(1)求的公比；

(2)若，求数列的前项和．

18．清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动，学生只能选择一种方式参加.已知该中学初一、初二、初三3个年级的学生人数之比为，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据.

(1)求，的值；

(2)从该校各年级被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生人任选两人，求这两人是同一个年级的概率.

19．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，底面ABCD，为棱上的一点.

(1)证明：；

(2)若三棱锥的体积为，求的值.

20．已知函数，.

(1)讨论的单调区间；

(2)若有3个零点，求的取值范围.

21．已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．

(1)求椭圆C的方程．

(2)不经过点A且斜率为的直线与椭圆C相交于P ，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)若曲线与直线有两个公共点，求的取值范围．

23．已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)若的最大值为，且正数，满足，求的最小值．

参考答案：

1．B

【分析】根据复数模的几何意义求解.

【详解】；

故选：B.

2．C

【分析】先求出集合A，B的具体区间，再按照交集的运算规则计算.

【详解】由题意：，，所以；

故选：C.

3．D

【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为，，

所以，

因为，所以，解得.

故选：D

4．A

【分析】首先解对数不等式，再根据长度性几何概型计算可得.

【详解】由，即，即，解得，

即不等式的解集为，故所求概率.

故选：A

5．A

【分析】直接对函数求导，再利用极值的定义即可求出结果.

【详解】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以a的取值范围为．

故选：A.

6．B

【分析】设点，由对称性求出点，进一步求出的值，再利用定义求解即可.

【详解】设，由对称性可知，，

则，解得，

故点A到抛物线C的焦点的距离为．

故选：B.

7．D

【分析】由求得，再使用凑配角由求.

【详解】，解得，

则．

故选：D

8．C

【分析】根据正方体的侧面展开图找出相对面，再由其特征得到结果.

【详解】由图①可知，“同心圆”和“圆”相对，“加号”和“箭头”相对，“心形”和“星星”相对．

由图②可得，小正方体从如图②所示的位置翻到第6格时正面朝上的图案是．

故选：C.

9．D

【分析】利用中间值法，结合幂函数、三角函数、对数函数的单调性，可得答案.

【详解】由题意知，，，，，故．

故选：D.

10．A

【分析】由求得，使用整体换元法求得的范围， 根据在上恰有3个零点列出满足的不等式关系求解即可.

【详解】因为的最小正周期为T，所以．

又，所以，

当时，，

由在上恰有3个零点，得，

解得．

故选：A

11．B

【分析】根据题意先找出点的轨迹，然后分析轨迹再结合解三角形知识即可求出的最小值.

【详解】如图，因为，所以点在如图所示的圆上，

圆的半径为，

由圆周角的性质可得，，

，

连接，可得（当为与圆的交点时，取等号），

在中，，，，根据余弦定理可知

，所以的最小值为．

故选：B.

12．C

【分析】取的中点，连接，利用两角和的正切公式求出，即直线的斜率为，再设，，利用点差法得到，从而求出离心率.

【详解】如图，取的中点，连接，则，所以，

设直线的倾斜角为，则，

所以，

所以直线的斜率为，

设，，则，

由，得到，

所以，所以，则.

故选：C

13．

【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【详解】画出可行域如图所示，

联立，解得，即，

由图可知当直线经过点时，取得最小值．

故答案为：．

14．10

【分析】根据回归直线方程过样本中心点求得正确答案.

【详解】由题意可知，，

则，解得．

故答案为：

15．

【分析】作图，根据几何关系求出球心的位置即可.

【详解】

平面ABD，平面ABD， 平面ABD，

平面ABD， ，取AC的中点G，BD的中点 ，CD的中点O，

又平面ABC，平面ABC， 平面ABC，

平面ABC，G是外接圆的圆心，平面ABD，是外接圆的圆心，所以O是四面体ABCD外接球的球心；

，所以外接球O的半径为 ，外接球的表面积 ；

故答案为： .

16．1012

【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.

【详解】因为是奇函数，且，

所以，

故是周期为4的周期函数．

所以，

令,可得，所以，

因为函数为奇函数且周期为4，所以，

则，

则．

故答案为:1012.

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由条件得到关于公比的方程，求解即可得到结果；

（2）根据题意，由（1）可得数列为等差数列，结合等差数列的求和公式即可得到结果.

【详解】（1）设的公比为q，因为，

所以，

则，解得或（舍去）．

（2）由（1）可知，

，

则．

18．(1)，

(2)

【分析】（1）根据分层抽样的原理，按比例计算出a，b；

（2）根据条件，求出任取2人的总方式和任取2人是同一个年级的总方式，再求出概率即可.

【详解】（1）由题可知，，解得，；

（2）由（1）知，选择网络方式的，初一有3人（分别记为），

初二和初三都是2人（分别记为和），

任取2人有，

，

共21种方法；

同一个年级的有共5种方法，

故2人是同一年级的概率为.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质得到，利用余弦定理求出，从而得到，由线面垂直得到，即可证明平面，从而得证；

（2）设，，则，求出，即可求出，从而得解.

【详解】（1）证明：过点作，垂足为，

在等腰梯形中，因为，，所以，，

在中，，则，则，

因为底面，底面，所以，

因为，平面，所以平面，

又平面，所以.

（2）设，，则，

因为，

所以，

又，所以，解得，

即当三棱锥的体积为时，.

20．(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先求出函数的定义域，从而根据函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数符号在不同区间上的取值，

根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系即可求出所求区间．

（2）由条件，根据函数的单调性结合零点存在性定理可求的取值范围.

【详解】（1）的定义域为，

若，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

若，则恒成立，在上单调递增.

综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，无单调递减区间

（2）因为有3个零点，所以，

又的单调递增区间为，，单调递减区间为，

所以，，

解得，

此时，，

故函数在区间上各有一个零点，

即函数在区间上各有一个零点，满足要求；

所以的取值范围为.

【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

21．(1)

(2)定值为

【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出 ；

（2）设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明.

【详解】（1）由题可知，  ，解得， ，故椭圆C的方程为；

（2）直线l的方程为，

联立方程组整理得，

则 ，

由题意，必须有 ，即 必须满足 ，

此时，．

，

整理得，

因为l不经过点A，所以，所以，即，

故k为定值，且该定值为；

综上，椭圆C的方程为，k为定值，且该定值为.

【点睛】在计算过程中，是对直线l的k和m的一个约束，因为l必须经过椭圆C内部的点；对的因式分解比较难，不容易看出.

22．(1)，

(2)

【分析】（1）消参将参数方程转化为直角坐标方程，根据极坐标与直角坐标转化的规则将极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）对曲线C和l作几何解释，列方程求解.

【详解】（1）由 得 ， 得，

即曲线C的直角坐标方程为，

由， ，得直线l的直角坐标方程为；

（2）由（1）可知，曲线C是圆心为，半径为3的圆，

因为曲线C与直线l有两个公共点，必有，

解得，即m的取值范围为.

23．(1)

(2)3

【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号求解；

（2）根据绝对值不等式求出的最大值，利用均值不等式求解即可.

【详解】（1）当时，不等式转化为，恒成立．

当时，不等式转化为，解得．

当时，不等式转化为，无解．

综上所述，不等式的解集为．

（2）由，得．

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为3．