广东省茂名市电白区2022-2023学年高二数学下学期期中考试试题（Word版附答案）

2022-2023学年度第二学期期中考试

高二数学

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填涂在答题卡相应位置上）

1.某同学从本不同的科普杂志、本不同的文摘杂志、本不同的娱乐新闻杂志中任选本阅读，则不同的选法共有（   ）

A.种 B.种 C.种 D.种

2.下列导数运算正确的是（   ）

A.  B. 

C.  D.

3.已知函数的图象上一点及附近一点，则（   ）

A. B. C. D.

4.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（   ）

A.种 B.种 C.种 D.种

5.随机变量的分布列如下表，若，则（   ）

A. B. C. D.

6.在展开式中，下列说法错误的是（   ）

A.常数项为  B.第项的系数最大 

C.第项的二项式系数最大 D.所有项的系数和为

7.偶函数为函数的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）

A. B. C.  D.

8.方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（   ）

A.种 B.种 C.种 D.种

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上）

9.下列各式中，等于的是（   ）

A. B. C. D.

10.已知函数，则（   ）

A.有两个极值点  B.有三个零点 

C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线

11.已知，则（   ）

A.展开式中所有项的二项式系数和为 B.展开式中所有奇数项系数和为

C.展开式中所有偶数项系数和为 D.

12.若函数是自然对数的底数）在函数的定义城上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的有（   ）

A. B.  C. D.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中16题第一个空2分，第二个空3分，共计20分，请把正确的结果填写在答题卡相应位置上）

13.          .（写出具体数学表示）

14.设随机变量的方差，则的值为          .

15.曲线上的点到直线的最短距离等于          .

16.杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.设，若的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列.则称具有性质.如的展开式中，二、三、四项的二项式系数为，依次成等差数列，所以具有性质.若存在，使具有性质，则的最大值为          .

四、解答题解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且.

（1）求直线的方程；

（2）求由直线和轴所围成的三角形的面积.

18.袋子中装有大小形状完全相同的个小球，其中红球个，白球个，现每次从中不放回地取出个球，直到取到白球为止.

（1）求取球次数的分布列；

（2）求取球次数的均值和方差.

19.从名男生和名女生中选出人去参加一项创新大赛.

（1）如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法？

（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？

（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？

（4）如果人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？

20.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应，由长期的经验知，三家的正品率分别为，三家产品数的比为，混合在一起，从中任取一件.

（1）求取出的这一件产品为正品的概率是多少？

（2）已知取到产品是一件正品，则它来自由甲、乙、丙三个厂中哪间工厂的可能性大？

21.已知函数在处取得极大值为.

（1）求函数的解析式；

（2）若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值.

22.已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围；

（3）设，证明：.

2022-2023学年度第二学期期中考试

高二数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上）

1.解析：由分类加法计数原理可知，共有种不同的选法，故选B.

2.解析：，A错误；，B错误；，C错误，

，D正确.故选D

3.解析：因为

所以.故选：C

4.解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有种排列方式，故安排这名同学共有：种不同的排列方式，故选B

5.解析：由随机变量分布列的性质求得.由，得.

故.故选：C

6.解析：展开式的通项为：；

对于A，令，解得：，常数项为，A正确；

对于B，由通项公式知：若要系数最大，所有可能的取值为，

则，，，，

展开式第项的系数最大， B错误；

对于C，展开式共有项，则第项的二项式系数最大，C正确；

对于D，令，则所有项的系数和为，D正确.故选B.

7.解析：由图象可知，的图象从左往右，是增减增，由此排除AD选项，

由图象可知，当时，增长越来越快，由此排除C选项.故选B

8.解：由题意可知，从A到B最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种.故选A

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上）

9.解析：对选项A，，故A错误.

对选项B，，故B错误.

对选项C，，故C正确.

对选项D，，故C正确 故选CD

10.解析：因为，所以.

令，解得或；令，解得.

所以在区间，上单调递增，在区间内单调递减.

又函数的值域为，且，，

所以有两个极值点，有且仅有一个零点.故选项A正确，选项B错误.

又，则关于点对称，故选项C正确.

假设直线是曲线的切线，其切点为，则解得

或显然点和均不在曲线上，故选项D错误.故选AC

11.解：A项，二项式系数之和为，故A正确；

，

当时，

当时，

B项，可得，故B正确；

C项，可得，，故C错误；

D项，，令，则，令，则，

，故D正确.故选ABD

12.解析：

对于A，，则，

在的定义域上单调递增，符合题意.

对于B，，则，

在的定义域上单调递减，不符合题意.

对于C，，则.当时，，当时，.

所以在的定义域上先减后增，不符合题意.

对于D，，则，

，在的定义域上恒成立，符合题意.故选AD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中16题第一个空2分，第二个空3分，共计20分.请把正确的结果填写在答题卡相应位置上）

13.解析： =84.故填84

14.解析： .故填9

15.解：设l是曲线的切线，且与直线平行.

对于曲线，.

令，解得，则易知切线l与曲线的切点的坐标为.

由点到直线的距离公式，得d==.故填.

16.解：若存在，使具有性质P，假设存在，，

使，，成等差数列，所以，

即

化简得：

整理得：，即，所以为完全平方数，

又，不是完全平方数，也不是完全平方数，是完全平方数.所以n的最大值为故答案为

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.解：（1）因为，

所以直线1的斜率，

所以直线的方程为.

设直线过曲线上的点，

则的方程为.

因为，所以，解得.

所以直线的方程为.

（2）联立直线的方程，得，解得.

所以直线和的交点坐标为.

由（1）得与轴交点的坐标分别为，

所以所求三角形的面积.

18.解：（1）由题意知，的可能取值有

，，

，，

故的分布列为

（2）由（1）知，取球次数的均值为

，

的方差.

19.解：（1）如果人中男生女生各选人，有种选法；

（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的人中任选人，有种选法；

（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，包含两种情况，

第一种甲和乙都在内的选法有种，

第二种情况，甲乙选人，有种选法，

则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，共有种选法；

（4）如果人中必须既有男生又有女生，先从所有人中选人，去掉只有男生和只有女生的情况，

故有种选法.

20.解：设事件表示取到的产品为正品，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.

（1）由已知，得，

，

故，

所以取出一件产品是正品的概率为，

（2）当取出的一件产品已知为正品时，它可能来自于甲、乙、丙三间工厂中的任意一间，来自各工厂的概率依次为

，

，

，且

故它是由丙厂生产的可能性大.

21.解析：（1） ，.

由题意得，即，

解之得经检验成立，所以.

（2）令，即.得.

在区间内，当变化时及随的变化而变化如下表所示

因为，，所以当时，.

对于区间上任意两个自变量的值

都有，

所以.所以的最小值为.

22.解：（1）当时，，则

当时，，当时，，

故的减区间为，增区间为

（2）当时，要证，等价于证，

设，则，又，

设，，

若，则，

因为为连续不间断函数，

故存在，使得，总有，

故在为增函数，

故，故在为增函数，

故，与题设矛盾.

若，则，

下证：对任意，总有成立，

证明：设，故，

故在上为减函数，故即成立

由上述不等式有，

故总成立，即在上为减函数，所以

当时，有，

所以在上为减函数，所以.

综上，.

（3）取，则，总有成立，令，

则，

故即对任意的恒成立.

所以对任意的，有，

整理得到：，

故

，故不等式成立.