


中考培优竞赛专题经典讲义 第2讲 垂直平分线
展开第2讲 垂直平分线
1.垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
PD为线段AB的垂直平分线,必然需要连接PA、PB,构造出等腰△PAB,进而求解.
逆定理:若PA=PB,则点P在AB的垂直平分线上.
【例题讲解】
例题1、如图,在△ABC中,点D、E、F分别在BC、AB、AC上.BD=CF,BE=CD,DG⊥EF于点G,且EG=FG.求证:AB=AC.
【分析】可知GD为EF的垂直平分线,遇见垂直平分线,必然要将垂直平分线上的点与线段两端点连接
【解答】解:连接DE、DF如右图所示
在△BDE和△CFD中,
.
例题2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,点E在AB上,且DE∥AC,AE=5,DE=2,DC=3,动点P从点A出发,沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动,设运动时间为t秒。
(1)线段AC的长= ;
(2)在线段EA上有一点Q,满足ED=EQ,连接DQ、PE,当PE⊥DQ时,求出t的值.
【解答】
(1)AC=6;
(2)当PE⊥DQ时,由于ED=EQ,易证PE垂直平分DQ,
所以连接PD、PQ,只需使PD=PQ即可
可知AP=2t,所以PC=6-2t;CD=3,EQ=2,所以AQ=3,
所以,
所以
在Rt△PCD中,PD2=32+(6-2t)2;
在Rt△PQF中,PQ2=
所以32+(6-2t)2=,解得.
【总结】遇见垂直平分线,连接垂直平分线上的点与线段两端点是必然的!
【最好方法】
当PE⊥DQ时,易证PE平分∠DEA,由【角平分线模型三】可知,平行+角平分线=等腰三角形,所以△AEP为等腰三角形,所以AP=AE=5,即2t=5,t=.
【巩固练习】
1、三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的( )
A.重心 B.内心 C.外心 D.中心
2、在△AOB的内部有一点P,点P与P1关于OA对称,点P与P2关于BO对称,①则△OP1P2是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
②当∠AOB满足什么条件时,△OP1P2是等边三角形?
3、如图,△ABC中,AB,AC的垂直平分线交BC于D、E,
(1)若∠BAC=100°,则∠DAE= ;
(2)若∠BAC=80°,则∠DAE= ;
(3)若∠DAE=10°,则∠BAC= ;
(4)若△ABC的周长为20,△ADE的周长为12,则AB+AC= ;
(5)当AB=AC,且∠BAC=120°,则△ADE为何种特殊三角形?
4、如图,等边△ABC的边长为3,BO、CO分别为∠ABC、∠ACB的角平分线,BO、CO的垂直平分线交BC于E、F,则EF的长为 .
5、如图,已知等腰△ABC,AB=BC=5,AC=,在BC边上存在一点P,恰好在线段AB的垂直平分线上,则BP的长为 .
6、如图所示,已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:AD垂直平分EF.
7、△ABC中,D为BC中点,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB于F,EG⊥AC于G.求证:BF=CG.
8、如图,△ABC中,点D在BC上,且AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F,若∠FAC=∠B,求证:AD平分∠BAC.
9、如图,在△ABC中,AB=AC,D为三角形内一点,且△DBC为等边三角形.
(1)求证:直线AD垂直平分BC;
(2)以AB为一边,在AB的右侧画等边△ABE,连接DE,试判断以DA、DB、DE三条线段是否能构成直角三角形?请说明理由.
10、已知二次函数y=ax2+2ax+c的图象与x轴分别交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为P,若C(0,2),BC的垂直平分线过点A,求这个二次函数的关系式.
11、如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回;点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当点P、Q运动时,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止,设点P、Q运动的时间为t秒(t>0).
(1)点Q的坐标是( , )(用含t的代数式表示);
(2)当t为何值时,直线DE经过点O.
12、如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点E是射线CD上的一个动点,把△BCE沿BE折叠,点C的对应点为F.
(1)若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时,求线段CE的长;
(2)若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,求线段CE的长;
(3)当射线AF交线段CD于点G时,请直接写出CG的最大值 .
13、如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(-3,0)、B(-1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点,点Q的坐标为(4,0).
(1)求该二次函数的表达式;
(2)当OP//CQ时,求点P的坐标;
(3)点M,N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当直线PQ垂直平分线段MN时,请求出此时t的值及点P的坐标.
14、已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于点A(8,0)和B(一12,0),与y轴交于点C(0,6).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点M从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点N以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动,问是否存在某一时刻t(秒),使线段MN被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t和点N的运动速度;若不存在,请说明理由;
参考答案
- 答案:B
- 答案:①B;②∠AOB=30°
- 答案:(1)20°;(2)20°;(3)95°;(4)8;(5)等边三角形.
- 答案:1
- 答案:
- 证明:AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF
在Rt△ADE和Rt△ADF中,AD=AD,DE=DF,
Rt△ADE≌R△ADF(HL),
AE=AF,又DE=DF,
AD垂直平分EF(到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上)
- 证明:如图,连接BE、BC,
ED⊥BC,D为BC中点
BE= EC
EF⊥AB,EG⊥AG,且AB平分∠FAG
FE=EG
在△BFE和Rt△CGE中,BE=CE,EF=EG,
Rt△BFE≌Rt△CGE(HL),
BF=CG.
- 证明:EF是AD的垂直平分线,
AF=DF
∠EAF=∠EDF,
∠EAF=∠FAC+∠CAD,∠EDF=∠BAD+∠B,
又∠FAC=∠B
∠BAD=∠CAD,
即AD平分∠BAC.
- 答案:(1)△DBC为等边三角形,DB=DC,D在BC的垂直平分线上
AB=AC,A在BC的垂直平分线上,
直线AD垂直平分BC;
(2)以DA,DB,DE三条线段能构成直角三角形;
理由:连接CE,
∠ABD=∠ABE-∠DBE=60°-∠DBE=∠DBC-∠DBE=∠EBC,
在△EBC和△ABD中,AB=EB,∠ABD=∠EBC,DB=CB,
△EBC≌△ABD(SAS),
∠BCE=∠ADB,AD=CE.
在△ADB和△ADC中,AD=AD,AB=AC,DB=DC,
△ADB≌△ADC(SSS),
∠ADB=∠ADC,
∠ADB=(360°-∠BCD)=150°
∠BCE=∠BDA=150°,
∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°-60°=90°
CE=DA,DC=DB,
以DA,DB,DE三条线段能构成直角三角形.
- 解:BC的垂直平分线过点A,,
二次函数y=ax2+2ax+c的对称轴为,
设,则,
,
在Rt△AOC中,,即,解得或,
当时,(舍去);
当时,,此时二次函数解析式为.
- 答案:(1);
(2)四边形QBED能成为直角梯形。
①当0<t<3时,,,
如图2,当DE∥QB时,DE⊥PQ,PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.
此时∠AQP=90°.
由△APQ~△ABO得.
.解得;
如图3,当PQ∥BO时,DE⊥PQ,DE⊥BO,四边形QBED是直角梯形.
此时∠APQ=90°.
由△AQP~△ABO,得.
即,解得;
②当3<t<5时,AQ=t,AP=t-3,
如图2,当DB∥QB时,DE⊥PQ,PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形。
此时∠AQP=90°.
由△APQ~△ABO,得.
.
解得(舍去);
如图3,当PQ∥BO时,DE⊥PQ,DE⊥BO,四边形QBED是直角梯形。
此时∠APQ=90°。
由△AQP~△ABO,得.
即.解得(舍去);
综上所述:t=或;
(3)当t=或时,DB经过点O.
理由:①如图4,当DE经过点O时,
DB垂直平分PQ,EP=EQ=t,
由于P与Q运动的时间和速度相同,
AQ=EQ=EP=,
∠AEQ=∠EAQ,
∠AEQ+∠BEQ=90°,∠EAQ+∠EBQ=90°,
∠BEQ=∠EBQ,BQ=BQ,EQ=AQ=BQ=AB,
;
②如图5,当P从A向O运动时,过点Q作QF⊥OB于F,
EP=6-t,EQ=EP=6-t,
, BQ=5-t, ,,
,,
,
,即,
解得:.
当DE经过点O时,t=或.
- 解:(1)如图,MN是线段AD的中垂线,作FH⊥CD于H.
在Rt△BFH中,,,
∴,
设,在Rt△EFH中,因为,
∴,
∴,即.
(2)如图,MN是线段AB的中垂线,设EF=CE=x,
在Rt△BFM中,因为∠BMF=90°,BM=2,BF=BC=3,
∴,
MN=BC=3
∴FN=,,
在Rt△EFN中,,
∴,
∴.
(3)如图,欲求CG的最大值,只要求出DG的最小值即可,
∴DG=ADtan∠GAD,所以∠GAD最小时,DG的值最小,
BF=BC,BF是定值,
∴当BF⊥AG时,∠BAF的值最大,即∠DAG的值最小,
当BF⊥AG时,易知点B与点G共点,
设CG=GF=x,
在Rt△ABF中,∠AFB=90°,AB=4,BF=BC=3.
∴,即AF=.
在Rt△ABF中,,即,∴.
∴CG的最大值为4-.
- 解:(1)设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c,
抛物线经过点C(0,3),
∴C=3
把A(-3,0)、B(-1,0)代入y=ax2+bx+3中9a-3b+3=0,a-b+3=0,
解得a=1,b=4.
∴抛物线的解析式为:y=x2+4x+3
(2)设CQ的直线方程为y=kx+b,将C(0,3)和Q(4,0)带入解得CQ的直线方程为-,
OP∥CQ,
∴直线OP的方程为y=-,
联立-和y=-,解得-,-4,
∴P的坐标为(-,)、(-4,3);
(3)过点作ND⊥轴于点D,则ND∥OC,
直线PQ能够垂直平分线段MN,则有QM=QN,且PQ⊥MN,PQ平分∠AQC.
由QM=QN,得:7-3t=5-t,解得t=1.
设P(x,x2+4x+3),若直线PQ⊥MN,则:过P作直线PE⊥x轴,垂足为E,则△PEQ~△MDN,
∴,
∴,∴,
∴P()或().
- 解:(1)抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于点A(8,0)和B(-12,0),
∴可设抛物线的解析式为y=a(x-8)(x+12),
又抛物线过点C(0,6),∴6=-96a,解得a=-,
∴抛物线的解析式为y=-(x-8)(x+12)=--,
即该抛物线的解析式为y=--.
(2)A(8,0),C(0,6),∴AC=,
∴AD=AC=10,∴点D的坐标是(-2,0)
B(-12,0),∴BD= AD.
若CD垂直平分MN,则DN=DM,∠NDC=∠MDC=∠ACD,
∴DN∥AC,
∴BN=CN
∴DN是△ABC的中位线,DN=,
∴AM=t=5,
而BN=5VN=,点N的运动速度是;
(3)△PCA=△PCB,
∴A、B到PC的距离相等,
∴PC∥AB
∴P、C关于抛物线y=--的对称轴x=-2对称,
C(0,6),
∴P(-4,6)
∴tan∠PBQ=,tan∠CBA=,
∴∠PBQ=∠CBA,
∴∠PBQ-∠CBQ=∠CBA-∠CBQ,即∠PBQ=∠CBQ
作PG⊥BC于G,QH⊥AB于H.
,,,
∴tan∠PBC=.
设点Q的坐标为(x,--)
tan∠QBA=tan∠PBC,
∴,
解得或-12(舍去)
故点Q的坐标是().
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