中考培优竞赛专题经典讲义 第2讲 垂直平分线

第2讲 垂直平分线

1.垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

PD为线段AB的垂直平分线，必然需要连接PA、PB，构造出等腰△PAB，进而求解.

逆定理：若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上.

【例题讲解】

例题1、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上.BD=CF，BE=CD，DG⊥EF于点G，且EG=FG.求证：AB=AC.

【分析】可知GD为EF的垂直平分线，遇见垂直平分线，必然要将垂直平分线上的点与线段两端点连接

【解答】解：连接DE、DF如右图所示

在△BDE和△CFD中，

.

例题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，设运动时间为t秒。

（1）线段AC的长=         ；

（2）在线段EA上有一点Q，满足ED=EQ，连接DQ、PE，当PE⊥DQ时，求出t的值.

【解答】

（1）AC=6；

（2）当PE⊥DQ时，由于ED=EQ，易证PE垂直平分DQ，

所以连接PD、PQ，只需使PD=PQ即可

可知AP=2t，所以PC=6-2t；CD=3，EQ=2，所以AQ=3，

所以，

所以

在Rt△PCD中，PD2=32+（6-2t）2；

在Rt△PQF中，PQ2=

所以32+（6-2t）2=，解得.

【总结】遇见垂直平分线，连接垂直平分线上的点与线段两端点是必然的！

【最好方法】

当PE⊥DQ时，易证PE平分∠DEA，由【角平分线模型三】可知，平行+角平分线=等腰三角形，所以△AEP为等腰三角形，所以AP=AE=5，即2t=5，t=.

【巩固练习】

1、三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的（    ）

A.重心    B.内心    C.外心   D.中心

2、在△AOB的内部有一点P，点P与P1关于OA对称，点P与P2关于BO对称，①则△OP1P2是（    ）

A.等边三角形  B.等腰三角形  C.直角三角形 D.钝角三角形

②当∠AOB满足什么条件时，△OP1P2是等边三角形？

3、如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于D、E，

（1）若∠BAC=100°，则∠DAE=       ；

（2）若∠BAC=80°，则∠DAE=        ；

（3）若∠DAE=10°，则∠BAC=        ；

（4）若△ABC的周长为20，△ADE的周长为12，则AB+AC=      ；

（5）当AB=AC，且∠BAC=120°，则△ADE为何种特殊三角形？

4、如图，等边△ABC的边长为3，BO、CO分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，BO、CO的垂直平分线交BC于E、F，则EF的长为          .

5、如图，已知等腰△ABC，AB=BC=5，AC=，在BC边上存在一点P，恰好在线段AB的垂直平分线上，则BP的长为          .

6、如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：AD垂直平分EF.

7、△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G.求证：BF=CG.

8、如图，△ABC中，点D在BC上，且AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，若∠FAC=∠B，求证：AD平分∠BAC.

9、如图，在△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，且△DBC为等边三角形.

（1）求证：直线AD垂直平分BC；

（2）以AB为一边，在AB的右侧画等边△ABE，连接DE，试判断以DA、DB、DE三条线段是否能构成直角三角形？请说明理由.

10、已知二次函数y=ax2+2ax+c的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，若C（0，2），BC的垂直平分线过点A，求这个二次函数的关系式.

11、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当点P、Q运动时，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间为t秒（t>0）.

（1）点Q的坐标是（       ，       ）（用含t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，直线DE经过点O.

12、如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是射线CD上的一个动点，把△BCE沿BE折叠，点C的对应点为F.

（1）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求线段CE的长；

（2）若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求线段CE的长；

（3）当射线AF交线段CD于点G时，请直接写出CG的最大值         .

13、如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点，点Q的坐标为（4，0）.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）当OP//CQ时，求点P的坐标；

（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当直线PQ垂直平分线段MN时，请求出此时t的值及点P的坐标.

14、已知抛物线y=ax2+bx+c（a<0）与x轴交于点A（8，0）和B（一12，0），与y轴交于点C（0，6）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点M从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点N以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动，问是否存在某一时刻t（秒），使线段MN被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t和点N的运动速度；若不存在，请说明理由；

参考答案

1. 答案：B
2. 答案：①B；②∠AOB=30°
3. 答案：（1）20°；（2）20°；（3）95°；（4）8；（5）等边三角形.
4. 答案：1
5. 答案：
6. 证明：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF

在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，

Rt△ADE≌R△ADF(HL)，

AE＝AF，又DE＝DF，

AD垂直平分EF(到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上)

7. 证明：如图，连接BE、BC，

ED⊥BC，D为BC中点

BE= EC

EF⊥AB，EG⊥AG，且AB平分∠FAG

FE=EG

在△BFE和Rt△CGE中，BE=CE，EF=EG，

Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，

BF=CG.

8. 证明：EF是AD的垂直平分线，

AF=DF

∠EAF＝∠EDF，

∠EAF＝∠FAC+∠CAD，∠EDF＝∠BAD+∠B，

又∠FAC＝∠B

∠BAD＝∠CAD，

即AD平分∠BAC.

9. 答案：(1)△DBC为等边三角形，DB=DC，D在BC的垂直平分线上

AB＝AC，A在BC的垂直平分线上，

直线AD垂直平分BC；

(2)以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形；

理由:连接CE，

∠ABD＝∠ABE-∠DBE=60°-∠DBE=∠DBC-∠DBE=∠EBC，

在△EBC和△ABD中，AB=EB，∠ABD＝∠EBC，DB=CB，

△EBC≌△ABD（SAS），

∠BCE＝∠ADB，AD＝CE.

在△ADB和△ADC中，AD=AD，AB=AC，DB=DC，

△ADB≌△ADC（SSS），

∠ADB＝∠ADC，

∠ADB＝(360°-∠BCD）＝150°

∠BCE＝∠BDA＝150°，

∠DCE＝∠BCE-∠BCD=150°-60°=90°

CE＝DA，DC＝DB，

以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形.

10. 解：BC的垂直平分线过点A，,

二次函数y=ax2+2ax+c的对称轴为，

设，则，

，

在Rt△AOC中，,即，解得或，

当时，（舍去）；

当时，,此时二次函数解析式为.

11. 答案：（1）；

（2）四边形QBED能成为直角梯形。

①当0<t<3时，，，

如图2，当DE∥QB时，DE⊥PQ，PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形.

此时∠AQP＝90°.

由△APQ～△ABO得.

.解得；

如图3，当PQ∥BO时，DE⊥PQ，DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形.

此时∠APQ＝90°.

由△AQP~△ABO，得.

即，解得；

②当3＜t＜5时，AQ＝t，AP＝t-3，

如图2，当DB∥QB时，DE⊥PQ，PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形。

此时∠AQP＝90°.

由△APQ~△ABO，得.

.

解得（舍去）；

如图3，当PQ∥BO时，DE⊥PQ，DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形。

此时∠APQ＝90°。

由△AQP~△ABO，得.

即.解得(舍去)；

综上所述:t＝或；

(3)当t＝或时，DB经过点O.

理由:①如图4，当DE经过点O时，

DB垂直平分PQ，EP=EQ=t,

由于P与Q运动的时间和速度相同，

AQ＝EQ＝EP＝，

∠AEQ＝∠EAQ，

∠AEQ+∠BEQ＝90°，∠EAQ+∠EBQ＝90°,

∠BEQ＝∠EBQ，BQ=BQ,EQ=AQ=BQ=AB，

；

②如图5，当P从A向O运动时，过点Q作QF⊥OB于F，

EP＝6-t，EQ＝EP＝6-t，

, BQ=5-t, ，，

，，

,

，即，

解得:.

当DE经过点O时，t＝或.

12. 解：（1）如图，MN是线段AD的中垂线，作FH⊥CD于H.

在Rt△BFH中，，，

∴，

设，在Rt△EFH中，因为，

∴，

∴，即.

（2）如图，MN是线段AB的中垂线，设EF=CE=x，

在Rt△BFM中，因为∠BMF＝90°，BM＝2，BF=BC=3，

∴，

MN=BC=3

∴FN=，，

在Rt△EFN中，，

∴，

∴.

（3）如图，欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，

∴DG＝ADtan∠GAD，所以∠GAD最小时，DG的值最小，

BF＝BC，BF是定值，

∴当BF⊥AG时，∠BAF的值最大，即∠DAG的值最小，

当BF⊥AG时，易知点B与点G共点，

设CG＝GF＝x，

在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝4，BF=BC=3.

∴,即AF=.

在Rt△ABF中，,即，∴.

∴CG的最大值为4-.

13. 解：（1）设抛物线的解析式为:y＝ax2+bx+c，

抛物线经过点C(0，3)，

∴C＝3

把A(-3，0)、B(-1，0)代入y＝ax2+bx+3中9a-3b+3=0，a-b+3=0，

解得a=1，b=4.

∴抛物线的解析式为:y＝x2+4x+3

（2）设CQ的直线方程为y＝kx+b，将C(0，3)和Q(4，0)带入解得CQ的直线方程为-，

OP∥CQ，

∴直线OP的方程为y＝-，

联立-和y＝-，解得-，-4，

∴P的坐标为（-，）、（-4，3）；

（3）过点作ND⊥轴于点D，则ND∥OC，

直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QM＝QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC.

由QM＝QN，得:7-3t＝5-t，解得t=1.

设P(x，x2+4x+3)，若直线PQ⊥MN，则:过P作直线PE⊥x轴，垂足为E，则△PEQ~△MDN，

∴,

∴,∴,

∴P()或（）.

14. 解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于点A(8，0)和B(-12，0)，

∴可设抛物线的解析式为y=a(x-8)(x+12),

又抛物线过点C(0，6)，∴6＝-96a，解得a＝-，

∴抛物线的解析式为y=-(x-8)(x+12)=--，

即该抛物线的解析式为y=--.

（2）A(8,0),C(0,6),∴AC=,

∴AD=AC=10，∴点D的坐标是(-2，0)

B(-12,0),∴BD= AD.

若CD垂直平分MN，则DN＝DM，∠NDC＝∠MDC＝∠ACD，

∴DN∥AC，

∴BN=CN

∴DN是△ABC的中位线，DN=,

∴AM=t=5,

而BN＝5VN＝，点N的运动速度是；

（3）△PCA＝△PCB，

∴A、B到PC的距离相等，

∴PC∥AB

∴P、C关于抛物线y＝--的对称轴x＝-2对称，

C(0,6),

∴P(-4,6)

∴tan∠PBQ＝，tan∠CBA＝，

∴∠PBQ＝∠CBA，

∴∠PBQ-∠CBQ＝∠CBA-∠CBQ，即∠PBQ＝∠CBQ

作PG⊥BC于G，QH⊥AB于H.

,，，

∴tan∠PBC＝.

设点Q的坐标为(x，--）

tan∠QBA＝tan∠PBC，

∴,

解得或-12（舍去）

故点Q的坐标是(）.