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    中考培优竞赛专题经典讲义 第2讲 垂直平分线
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    中考培优竞赛专题经典讲义 第2讲 垂直平分线

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    这是一份中考培优竞赛专题经典讲义 第2讲 垂直平分线,共12页。试卷主要包含了垂直平分线性质定理等内容,欢迎下载使用。

    第2讲 垂直平分线

    1.垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等.

    PD为线段AB的垂直平分线,必然需要连接PAPB,构造出等腰△PAB,进而求解.

    逆定理:若PA=PB,则点PAB的垂直平分线上.

    【例题讲解】

    1、如图,在△ABC中,点DEF分别在BCABAC上.BD=CFBE=CDDGEF于点G,且EG=FG.求证:AB=AC.

    【分析】可知GDEF的垂直平分线,遇见垂直平分线,必然要将垂直平分线上的点与线段两端点连接

    【解答】解:连接DEDF如右图所示

    BDECFD中,

    .

    例题2、如图,在RtABC中,∠C=90°,点DBC上,点EAB上,且DEACAE=5,DE=2,DC=3,动点P从点A出发,沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动,设运动时间为t秒。

    (1)线段AC的长=        

    (2)在线段EA上有一点Q,满足ED=EQ,连接DQPE,当PEDQ时,求出t的值.

    【解答】

    (1)AC=6;

    (2)当PEDQ时,由于ED=EQ,易证PE垂直平分DQ

    所以连接PDPQ,只需使PD=PQ即可

    可知AP=2t,所以PC=6-2tCD=3,EQ=2,所以AQ=3,

    所以

    所以

    RtPCD中,PD2=32+(6-2t2

    RtPQF中,PQ2=

    所以32+(6-2t2=,解得.

    【总结】遇见垂直平分线,连接垂直平分线上的点与线段两端点是必然的!

    【最好方法】

    PEDQ时,易证PE平分∠DEA,由【角平分线模型三】可知,平行+角平分线=等腰三角形,所以△AEP为等腰三角形,所以AP=AE=5,即2t=5,t=.

     

    【巩固练习】

    1、三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的   

    A.重心    B.内心    C.外心   D.中心

    2、在△AOB的内部有一点P,点PP1关于OA对称,点PP2关于BO对称,①则△OP1P2   

    A.等边三角形  B.等腰三角形  C.直角三角形 D.钝角三角形

    ②当∠AOB满足什么条件时,△OP1P2是等边三角形?

    3、如图,△ABC中,ABAC的垂直平分线交BCDE

    (1)若∠BAC=100°,则∠DAE=      

    (2)若∠BAC=80°,则∠DAE=       

    (3)若∠DAE=10°,则∠BAC=       

    (4)若△ABC的周长为20,△ADE的周长为12,则AB+AC=     

    (5)当AB=AC,且∠BAC=120°,则△ADE为何种特殊三角形?

     

     

    4、如图,等边△ABC的边长为3,BOCO分别为∠ABC、∠ACB的角平分线,BOCO的垂直平分线交BCEF,则EF的长为          .

    5、如图,已知等腰△ABCAB=BC=5,AC=,在BC边上存在一点P,恰好在线段AB的垂直平分线上,则BP的长为          .

    6、如图所示,已知AD是△ABC的角平分线,DEABDFAC,垂足分别是EF.求证:AD垂直平分EF.

    7、△ABC中,DBC中点,DEBC,交∠BAC的平分线于点EEFABFEGACG.求证:BF=CG.

     

    8、如图,△ABC中,点DBC上,且AD的垂直平分线EFBC延长线于点F,若∠FAC=∠B,求证:AD平分∠BAC.

     

     

     

     

     

    9、如图,在△ABC中,AB=ACD为三角形内一点,且△DBC为等边三角形.

    (1)求证:直线AD垂直平分BC

    (2)以AB为一边,在AB的右侧画等边△ABE,连接DE,试判断以DADBDE三条线段是否能构成直角三角形?请说明理由.

     

     

    10、已知二次函数y=ax2+2ax+c的图象与x轴分别交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为P,若C(0,2),BC的垂直平分线过点A,求这个二次函数的关系式.

    11、如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回;点QA出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当点PQ运动时,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点E.点PQ同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止,设点PQ运动的时间为t秒(t>0).

    (1)点Q的坐标是(              )(用含t的代数式表示);

    (2)当t为何值时,直线DE经过点O.

     

     

    12、如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点E是射线CD上的一个动点,把△BCE沿BE折叠,点C的对应点为F.

    (1)若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时,求线段CE的长;

    (2)若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,求线段CE的长;

    (3)当射线AF交线段CD于点G时,请直接写出CG的最大值         .

     

     

    13、如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(-3,0)、B(-1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点,点Q的坐标为(4,0).

    (1)求该二次函数的表达式;

    (2)当OP//CQ时,求点P的坐标;

    (3)点MN分别在线段AQCQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点MN中有一点到达Q点时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当直线PQ垂直平分线段MN时,请求出此时t的值及点P的坐标.

     

     

     

     

     

     

    14、已知抛物线y=ax2+bx+ca<0)与x轴交于点A(8,0)和B(一12,0),与y轴交于点C(0,6).

    (1)求该抛物线的解析式

    (2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点MA出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点N以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动,问是否存在某一时刻t(秒),使线段MN被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t和点N的运动速度;若不存在,请说明理由;


    参考答案

    1. 答案:B
    2. 答案:BAOB=30°
    3. 答案:(120°;(220°;(395°;(48;(5)等边三角形.
    4. 答案:1
    5. 答案:
    6. 证明:ADABC的角平分线,DEABDFACDE=DF

    RtADERtADF中,AD=ADDE=DF

    RtADERADF(HL),

    AEAF,又DEDF

    AD垂直平分EF(到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上)

    1. 证明:如图,连接BEBC

    EDBCDBC中点

    BE= EC

    EFABEGAG,且AB平分FAG

    FE=EG

    BFERtCGE中,BE=CEEF=EG

    RtBFERtCGE(HL),

    BF=CG.

    1. 证明:EFAD的垂直平分线,

    AF=DF

    EAFEDF

    EAFFAC+CADEDFBAD+B

    FACB

    BADCAD

    AD平分BAC.

    1. 答案:(1)DBC为等边三角形,DB=DCDBC的垂直平分线上

    ABACABC的垂直平分线上,

    直线AD垂直平分BC

    (2)以DADBDE三条线段能构成直角三角形;

    理由:连接CE

    ABDABE-DBE=60°-DBE=DBC-DBE=EBC

    EBCABD中,AB=EBABDEBCDB=CB

    EBC≌△ABDSAS

    BCEADBADCE.

    ADBADC中,AD=ADAB=ACDB=DC

    ADB≌△ADCSSS

    ADBADC

    ADB(360°-BCD=150°

    BCEBDA=150°

    DCEBCE-BCD=150°-60°=90°

    CEDADCDB

    DADBDE三条线段能构成直角三角形.

    1. 解:BC的垂直平分线过点A,

    二次函数y=ax2+2ax+c对称轴为

    ,则

    RtAOC中,,即,解得

    时,(舍去);

    时,,此时二次函数解析式为.

    1. 答案:(1)

    (2)四边形QBED能成为直角梯形。

    当0<t<3时,

    如图2,当DEQB时,DEPQPQQB,四边形QBED是直角梯形.

    此时AQP=90°.

    APQABO.

    .解得

    如图3,当PQBO时,DEPQDEBO,四边形QBED是直角梯形.

    此时APQ=90°.

    AQP~ABO.

    ,解得

    当3<t<5时,AQtAPt-3,

    如图2,当DBQB时,DEPQPQQB,四边形QBED是直角梯形。

    此时AQP=90°.

    APQ~ABO,得.

    .

    解得(舍去);

    如图3,当PQBO时,DEPQDEBO,四边形QBED是直角梯形。

    此时APQ=90°

    AQP~ABO.

    .解得(舍去);

    综上所述:t

    (3)当t时,DB经过点O.

    理由:如图4,当DE经过点O时,

    DB垂直平分PQEP=EQ=t,

    由于PQ运动的时间和速度相同,

    AQEQEP

    AEQEAQ

    AEQ+BEQ=90°EAQ+EBQ=90°,

    BEQEBQBQ=BQ,EQ=AQ=BQ=AB

    如图5,当PAO运动时,过点QQFOBF

    EP=6-tEQEP=6-t

    , BQ=5-t,

    ,

    ,即

    解得:.

    DE经过点O时,t.

    1. 解:(1)如图,MN是线段AD的中垂线,作FHCDH.

    RtBFH中,

    ,在RtEFH中,因为

    ,即.

    (2)如图,MN是线段AB的中垂线,设EF=CE=x

    RtBFM中,因为BMF=90°BM=2,BF=BC=3,

    MN=BC=3

    FN=

    RtEFN中,

    .

    (3)如图,欲求CG的最大值,只要求出DG的最小值即可,

    DGADtanGAD,所以GAD最小时,DG的值最小,

    BFBCBF是定值,

    BFAG时,BAF的值最大,即DAG的值最小,

    BFAG时,易知点B与点G共点,

    CGGFx

    RtABF中,AFB=90°AB=4,BF=BC=3.

    ,即AF=.

    RtABF中,,即.

    CG的最大值为4-.

    1. 解:(1)设抛物线的解析式为:yax2+bx+c

    抛物线经过点C(0,3),

    C=3

    A(-3,0)、B(-1,0)代入yax2+bx+3中9a-3b+3=0,a-b+3=0,

    解得a=1b=4.

    抛物线的解析式为:yx2+4x+3

    (2)设CQ的直线方程为ykx+b,将C(0,3)和Q(4,0)带入解得CQ的直线方程为-

    OPCQ

    直线OP的方程为y=-

    联立-y=-,解得--4,

    P的坐标为(-)、(-4,3);

    (3)过点作ND轴于点D,则NDOC

    直线PQ能够垂直平分线段MN,则有QMQN,且PQMNPQ平分AQC.

    QMQN,得:7-3t=5-t解得t=1.

    P(xx2+4x+3),若直线PQMN,则:过P作直线PEx轴,垂足为E,则PEQ~MDN

    ,

    ,,

    P()或().

    1. 解:(1)抛物线yax2+bx+c(a<0)与x轴交于点A(8,0)和B(-12,0),

    可设抛物线的解析式为y=a(x-8)(x+12),

    抛物线过点C(0,6),6=-96a,解得a=-

    抛物线的解析式为y=-(x-8)(x+12)=--

    即该抛物线的解析式为y=--.

    (2)A(8,0),C(0,6),AC=,

    AD=AC=10,D的坐标是(-2,0)

    B(-12,0),BD= AD.

    CD垂直平分MN,则DNDMNDCMDCACD

    DNAC

    BN=CN

    DNABC的中位线,DN=,

    AM=t=5,

    BN=5VN,点N的运动速度是

    (3)PCAPCB

    ABPC的距离相等,

    PCAB

    PC关于抛物线y--的对称轴x=-2对称,

    C(0,6),

    P(-4,6)

    tanPBQtanCBA

    PBQCBA

    PBQ-CBQCBA-CBQ,即PBQCBQ

    PGBCGQHABH.

    ,

    tanPBC.

    设点Q的坐标为(x--

    tanQBAtanPBC

    ,

    解得或-12(舍去)

    故点Q的坐标是().

     

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