2023年中考数学二轮专项练习：二次函数的三种形式(含答案)

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数的三种形式

一、单选题

1．对于二次函数y=2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（　　） 

A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小

C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=﹣1

2．若二次函数配方后为，则 m, k 的值分别为（　　）

A．0，6 B．0，2 C．4，6 D．4，2

3．函数y=2x（x-3）中，二次项系数是（　　）

A．2 B．2x2 C．－6 D．-6x

4．若二次函数y=x2+bx+7配方后为y=（x﹣1）2+k，则b、k的值分别为（　　）

A．2、6 B．2、8 C．﹣2、6 D．﹣2、8

5．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b，k的值分别（　　）

A．0，5 B．﹣4，1 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣1

6．若b<0，则二次函数y=x2-bx-1的图象的顶点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．将二次函数y=x2-4x-1化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（　　）

A．y=（x+2）2+5 B．y=（x+2）2-5

C．y=（x-2）2+5 D．y=（x-2）2-5

8．抛物线的顶点坐标是（　　）

A．（2，-3） B．（0，-3） C．（-3，0） D．（2，0）

9．抛物线y=-（x-2）2+5的顶点坐标为（）

A．（－2，5） B．（2，5）

C．（－2，－5） D．（2，－5）

10．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x−h）2（a≠0）的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

11．抛物线的顶点坐标是（　　）

A．（2，0） B．（－2，0） C．（0，2） D．（0，－2）

12．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为(　　)

A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4

C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1) 2＋2

二、填空题

13．若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y=　            　． 

14．将二次函数y=x2﹣2x化为顶点式的形式为：　               　． 

15．二次函数的一般形式是　                   　． 

16．将y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式，则y=　            　． 

17．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　           　.

18．把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式　                　

三、综合题

19．已知抛物线

（1）请用配方法求出顶点的坐标；  

（2）如果该抛物线沿 轴向左平移 个单位后经过原点，求 的值．  

20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21．求下列函数图象的顶点坐标： 

（1）y=x2﹣4x+1（配方法） 

（2）y=3x2+4x+6（公式法） 

22．如图①，在地面上有两根等长的立柱AB，CD，它们之间悬挂了一根抛物线形状的绳子，按照图中的直角坐标系，这条绳子可以用y= x2﹣ x+3表示

（1）求这条绳子最低点离地面的距离；

（2）现由于实际需要，要在两根立柱之间再加一根立柱EF对绳子进行支撑（如图②），已知立柱EF到AB距离为3m，两旁的绳子也是抛物线形状，且立柱EF左侧绳子的最低点到EF的距离为1m，到地面的距离为1.8m，求立柱EF的长．

23．对于二次函数y= x2﹣3x+4， 

（1）配方成y=a（x﹣h）2+k的形式． 

（2）求出它的图象的顶点坐标和对称轴． 

（3）求出函数的最大或最小值． 

24．根据题目所给条件，求出二次函数表达式

（1）已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式．  

（2）抛物线过点 (0,0) ，(1,2)， (2,3)三点，求解析式  

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】D

3．【答案】A

4．【答案】C

5．【答案】B

6．【答案】D

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】B

10．【答案】D

11．【答案】A

12．【答案】D

13．【答案】（x﹣1）2+2

14．【答案】y=（x﹣1）2﹣1

15．【答案】y=ax2+bx+c（a≠0）

16．【答案】（x﹣1）2+2

17．【答案】y=-x2+4x-3

18．【答案】y=（x﹣6）2﹣36

19．【答案】（1）解：

，

故该抛物线的顶点坐标为：（1，﹣8）

（2）解：当 时， ，  

解得： ，

即图象与 轴的交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），

故该抛物线沿 轴向左平移3个单位后经过原点，

即 ．

故答案为：（1）（1，﹣8）；（2） .

20．【答案】（1）解：将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（2）解：设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，

把点点B（3，0）代入y=kx+3中，

得：0=3k+3，解得：k=﹣1，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

∵MN∥y轴，

∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．

∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为x=2，

∴点（1，0）在抛物线的图象上，

∴1＜m＜3．

∵线段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣ + ，

∴当m= 时，线段MN取最大值，最大值为 ．

（3）解：假设存在．设点P的坐标为（2，n）．

当m= 时，点N的坐标为（ ， ），

∴PB= = ，PN= ，BN= = ．

△PBN为等腰三角形分三种情况：

①当PB=PN时，即 = ，

解得：n= ，

此时点P的坐标为（2， ）；

②当PB=BN时，即 = ，

解得：n=± ，

此时点P的坐标为（2，﹣ ）或（2， ）；

③当PN=BN时，即 = ，

解得：n= ，

此时点P的坐标为（2， ）或（2， ）．

综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点的坐标为（2， ）、（2，﹣ ）、（2， ）、（2， ）或（2， ）．

21．【答案】（1）解：∵y=x2﹣4x+1=（x﹣2）2﹣3， 

∴顶点坐标为（2，﹣3）

（2）解：y=3x2+4x+6， 

∵a=3，b=4，c=6，

∴﹣ =﹣ =﹣ ， = = ，

∴顶点坐标为（﹣ ， ）

22．【答案】（1）解：∵y= x2﹣ x+3= （x﹣4）2+ ，

∴抛物线的顶点坐标为（4， ），

则这条绳子最低点离地面的距离为 m

（2）解：对于y= x2﹣ x+3，当x=0时，y=3，即点A坐标为（0，3），

由题意，立柱EF左侧绳子所在抛物线的顶点为（2，1.8），

∴可设其解析式为y=a（x﹣2）2+1.8，

把x=0、y=3代入，得：3=a（0﹣2）2+1.8，

解得：a= ，

∴y= （x﹣2）2+1.8，

当x=3时，y= （3﹣2）2+1.8=2.1，

∴立柱EF的长为2.1m

23．【答案】（1）解：y= x2﹣3x+4 

= （x2﹣6x）+4

=   [（x﹣3）2﹣9]+4

= （x﹣3）2﹣

（2）解：由（1）得：图象的顶点坐标为：（3，﹣ ）， 

对称轴为：直线x=3

（3）解：∵a= ＞0， 

∴函数的最小值为：﹣

24．【答案】（1）解：设 ，代入（1，10）得  

，解得 ，

∴二次函数表达式为 ；

（2）解： ，代入(0,0) ，(1,2)， (2,3)得  

，解得

∴二次函数表达式为 .