2023年中考数学二轮专项练习：二次函数的实际应用-几何问题(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮专项练习：二次函数的实际应用-几何问题(含答案)，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。


2023年中考数学二轮专项练习：二次函数的实际应用-几何问题
一、单选题
1．如图①，在矩形 ABCD 中，动点 E 从点 A 出发，沿 AB→BC 方向运动，当点 E 到达点 C 时 停止运动．过点 E 作 FE⊥AE，交 CD 于 F 点，设点 E 运动路程为 x，FC＝y，图②表示 y与 x 的函数关系的大致图像，则矩形 ABCD 的面积是（　　）

A．235 B．5 C．6 D．254
2．如图，用20m长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为（　　）m2

A．45 B．50 C．60 D．65
3．在平面直角坐标系中，已知点M，N的坐标分别为(-1，3)，(3，3)，若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段MN只有一个公共点，则m的取值范围是（　　）
A．-1⩽m<0或7-1727-172
C．m<0或7-172 4．若抛物线y=x2-4x-12与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（　　）
A．24 B．36 C．48 D．96
5．如图所示，将一根长 2 m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（　　）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
6．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝ 12 x2的图象，C2是函数y＝－ 12 x2的图象，则图中阴影部分的面积为(　　)

A．π B．2π C．3π D．4π
7．如图，两条抛物线y1=-12x2+1，y2=−12x2−1与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（　　）

A．8　 B．6　 C．10　 D．4
8．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
9．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S.下列说法错误的是（　　）

A．若a＝16，S＝196，则有一种围法
B．若a＝20，S＝198，则有两种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法
D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
10．已知抛物线y=-316x-1x-9与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（　　）

A．72 B．412 C．342 D．23
11．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）

A．-23 B．-12 C．-2 D．-23
12．已知一个直角三角形的两边长分别为a和5，第三边长是抛物线y=x²-10x+21与x轴交点间的距离，则a的值为(　　)
A．3 B．41 C．3或 41 D．不能确定
二、填空题
13．如图，小滕用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成了一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2m宽的小门（不用铁栅栏），小滕共用了铁栅栏40米，则矩形ABCD的面积的最大值为　 　m2.

14．如图，线段 AB 的长为2， C 为 AB 上一个动点，分别以 AC 、 BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形 ΔACD 和 ΔBCE ，那么 DE 长的最小值是　 　.

15．已知正方形ABCD是边长为4，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD。把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S 1、S 2、S 3，则2S1S 3-S22的最大值是　 　。

16．如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是　 　 ．

17．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于　 　 ．

18．如图1是某校园运动场主席台及遮阳棚，其侧面结构示意图如图2所示．主席台（矩形ABCD）高AD＝2米，直杆DE＝6米，斜拉杆EG，EH起稳固作用，点H处装有一射灯．遮阳棚边缘曲线FHG可近似看成抛物线的一部分，G为抛物线的最高点且位于主席台边缘BC的正上方，若点E，H，C在同一直线上，且DF＝1米，EG＝6米，∠AEG＝60°，则射灯H离地面的高度为 　 　米．

三、综合题
19．已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．

（1）求抛物线解析式．
（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．
（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
20．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．课题学习：我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定点A（0，m）（m＞0）的距离与它到定直线y=﹣m的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax2（a＞0）的图象，如图所示．

（1）探究：当x≠0时，a与m有何数量关系？
（2）应用：已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=﹣4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．
（3）拓展：根据抛物线的平移变换，抛物线y= 14 （x﹣1）2+2的图象可以看作到定点A（　 　，　 　）的距离与它到定直线y=　 　的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．
（4）若点D的坐标是（1，8），在（2）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
22．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开.已知篱笆的总长为90米（篱笆的厚度忽略不计），设 AB=x 米， AD=y 米.

（1）用含有 x 的代数式表示 y .
（2）设矩形土地 ABCD 面积为S平方米，当 12≤x≤20 时，求 S 的取值范围.

答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】A
10．【答案】A
11．【答案】D
12．【答案】C
13．【答案】242
14．【答案】1
15．【答案】16
16．【答案】50≤S≤68
17．【答案】5
18．【答案】315-7
19．【答案】（1）解：由已知对称轴为x=1，得-b2×-1=1，
∴b=2，
抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），
即﹣x2+2x+c=0的解为m﹣2和2m+1，
（m﹣2）+（2m+1）=2，
3m=3，
m=1，
将m=1代入（m﹣2）（2m+1）=﹣c得，
（1﹣2）（2+1）=﹣c，
∴c=3，
∴m=1，c=3，
抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）解：由y=kx+2y=-x2+2x+3，
∴x2+（k﹣2）x﹣1=0，
x1+x2=﹣（k﹣2），x1x2=﹣1，
∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（k﹣2）2+4，
∴当k=2时，（x1﹣x2）2的最小值为4，即|x1﹣x2|的最小值为2，
∴x2﹣1=0，x1=1，x2=﹣1，即y1=4，y2=0，
∴当|x1﹣x2|最小时，抛物线与直线的交点为M（﹣1，0），N（1，4）；
（3）解：O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3），
O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，
∵线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，
∴要使L最小，只需BP+CO最短，
如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形，

∴C′（3，3），
作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，﹣4），
连接C′P′与x轴交于点B′，
设C′P′解析式为y=ax+n，
∴a+n=-43a+n=3，解得a=72n=-152，
∴y=72x﹣152，
当y=0时，x=157，
∴B′（157，0），
又3﹣157=67，
故点B向左平移67，平移到B′，
同时，点O向左平移67，平移到0′（﹣67，0）．
即线段OB向左平移67时，周长L最短，
此时，线段BP，CO之和最短为P′C′=72+22=53，O′B′=OB=3，CP=2，
∴当线段OB向左平移67，即点O平移到O′（﹣67，0），点B平移到B′（157，0）时，周长L最短为53+2+3．
20．【答案】（1）解：∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
令y=0，得x=3，
∴B（3，0），
∵经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c
∴3=c0=9+3b+c ，
解得 b=-4c=3 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）解：由（1），得A（1，0），连接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∵抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
∴P（2，﹣1），
∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∴BA=2，BC=3 2 ，BP= 2 ，
当△ABC∽△PBQ时，
∴BQBP=BCBA ，
∴BQ2=322 ，
∴BQ=3，
∴Q（0，0），
当△ABC∽△QBP时，
∴BQBP=BABC ，
∴BQ2=232 ，
∴BQ= 23 ，
∴Q（ 73 ，0），
∴Q点的坐标为（0，0）或（ 73 ，0）．
21．【答案】（1）解：由定义可知，MA=MB，
∴x2+（y﹣m）2=（y+m）2，
∵y=ax2，
∴x2= ya ，
∴ya =4my，
∴a= 14m
（2）解：由（1）可知，a= 116 ，
∴抛物线的解析式为y= 116 x2．
（3）1；3；1
（4）解：如图所示，过点D作直线y=﹣4的垂线垂足为M，与抛物线的交点就是的点P，此时PA+PD=PD+PM最短（垂线段最短），

此时点P坐标（1， 116 ）．
22．【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴-1+b+c=0-25+5b+c=0 ，解得 b=4c=5 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）解：∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；
（3）解：∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为x=2，∴可设P（2，t），由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN，在△PQN和△EFB中∠QPN=∠BEF∠PNQ=∠EFBPQ=BE
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，
∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
23．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x+3），
把B（0，4）代入得a•（﹣1）•3=4，解得a=﹣ 43 ，
所以抛物线解析式为y=﹣ 43 （x﹣1）（x+3），
即y=﹣ 43 x2﹣ 83 x+4
（2）解：当y=4时，﹣ 43 x2﹣ 83 x+4=4，解得x1=0，x2=﹣2，
∴﹣2＜m＜0，
∵E（m，0），PE⊥x轴，
∴P（m，﹣ 43 m2﹣ 83 m+4），
而BC∥x轴，
∴G（m，4），
∴PG=﹣ 43 m2﹣ 83 m+4﹣4=﹣ 43 m2﹣ 83 m（﹣2＜m＜0）
（3）解：∵HE∥OB，
∴△DEH∽△DOB，
∵∠PGB=∠DOB，
∴当 PGOB = BGOD 时，△PGB∽△BOD，则△PGB∽△HED，
即 -43m2-83m4 = -m3 ，整理得m2+m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣1，
当 PGOD = BGBO 时，△PGB∽△DOB，则△PGB∽△DEH，
即 -43m2-83m3 = -m4 ，整理得16m2+23m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣ 2316 ，
综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣ 2316
24．【答案】（1）解：由题可知： 3x+2y=90
∴y=-32x+45(0 （2）解：由题可知：
S=x⋅y=x⋅(-32x+45)=-32x2+45x
=-32(x2-30x+225)+337.5=-32(x-15)2+337.5
当 x=15 时， Smax=337.5 .
∵12≤x≤20 ，∴当 x=20 时， Smin=300 ，
∴S 的取值范围： 300≤S≤337.5 .