2023年中考数学二轮专项练习：二次函数的最值(含答案)

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数的最值

一、单选题

1．将 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（　　）  

A． B． C． D．

2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　） 

A．3s B．4s C．5s D．10s

3．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（　　） 

A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min

4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，则（　　）

A．a＞0，b2-4ac=0 B．a＜0，b2-4ac＞0

C．a＞0，b2-4ac＜0　　　 D．a＜0，b2-4ac=0

5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②当x=1时，函数有最大值．③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．④4a+2b+c＜0．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（　　）

A．4 B．5 C．2 D．1

7．将抛物线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得抛物线的函数表达式是（　　）

A． B．

C． D．

8．抛物线 的顶点是（　　）

A． B． C． D．

9．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足 ，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（　　）

A．20 B．1508 C．1558 D．1585

10．如图，已知抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过点 ，且对称轴为直线 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④无论 ， ， 取何值，抛物线一定经过 ；⑤ .其中正确结论有（　　） 

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（　　）

A．16 B．15 C．9 D．7

12．一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动（不含端点A、D），当线段BE最短时，AP的长为（　　） 

A． cm B．1cm C． cm D．2cm

二、填空题

13．已知二次函数y=ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为　        　.

14．二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 　     　．

15．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是　　     　 cm2．

16．对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2x2+x+9．当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式　                                        　（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．

17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，1)在抛物线y=x2+2bx+c上

（1）c=　     　(用含b的式子表示)；

（2）若将该抛物线向右平移t个单位(t≥)，平移后的抛物线仍经过A(-1，1)，则平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为　     　．

18．已知函数 ，当 时，此函数的最大值是　     　，最小值是　     　.

三、综合题

19．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点.

（1）求二次函数的解析式和图象的对称轴；

（2）若该二次函数在内有最大值，求的值.

20．已知二次函数y=（x-1）（x-m）．

（1）若二次函数的对称轴是直线x=3，求m的值．

（2）当m>2，0≤x≤3时，二次函数的最大值是7，求函数表达式．

21．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

22．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示： 

（1）写出对称轴是　        　，顶点坐标　         　； 

（2）当x取　     　时，函数有最　     　值是　     　； 

（3）直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标； 

（4）利用图象直接回答当x为何值时，函数值y大于0？ 

23．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD． 

（1）如图①，当PA的长度等于　                           　时，∠PAD=60°；当PA的长度等于　                                                         　时，△PAD是等腰三角形； 

（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时a、b的值． 

24．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品，据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，设销售单价为x元（），一周的销售量为y件．

（1）写出y与x的函数关系式：　                       　（标明x的取值范围）；

（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价是多少时利润最大；

（3）在超市对该种商品投入不超过12000元的情况下，使得一周销售利润为8000元，销售单价应定为多少元？

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】C

3．【答案】B

4．【答案】D

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】C

8．【答案】C

9．【答案】C

10．【答案】D

11．【答案】D

12．【答案】C

13．【答案】0≤y≤9

14．【答案】﹣1

15．【答案】64

16．【答案】y2=（x+）2+3；y2=（x﹣）2+3

17．【答案】（1）2b

（2）

18．【答案】；

19．【答案】（1）解：二次函数的图象经过，，，

∴，

解得，

∴二次函数的解析式为，

，

∴图象的对称轴为直线

（2）解：当时，

∵抛物线开口向下，对称轴为直线，

∴当时，随的增大而增大，

∵二次函数在内有最大值，

∴当时，取最大值，

则，

解得，（不符合题意，舍去）；

当，即时，

∵抛物线开口向下，对称轴为直线，

∴当时，随的增大而减小，

∵二次函数在内有最大值，

∴当时，取最大值，

则，

解得（不符合题意，舍去），；

当，即时，

∵抛物线开口向下，对称轴为直线，

∴当时，函数有最大值为4，

∴，

∴（不符合题意，舍去），

综上所述，m的值为2或.

20．【答案】（1）解： ，得x1=1，x2=m

也即抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（m，0）

∵（1，0），（m，0）关于抛物线对称轴对称，且对称轴是直线

∴ ，解得

（2）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线 ，

∵m>2，∴

∵a=1＞0，且 时，二次函数的最大值是7

∴当x＝0时ymax=7

∴把（0，7）带入抛物线表达式得 ∴

21．【答案】（1）解：由题意得：

y=90﹣3（x﹣50）

化简得：y=﹣3x+240

（2）解：由题意得：       
 

w=（x﹣40）y

（x﹣40）（﹣3x+240）

=﹣3x2+360x﹣9600

（3）解：w=﹣3x2+360x﹣9600

∵a=﹣3＜0，

∴抛物线开口向下．

当 =60时，w有最大值．

又x＜60，w随x的增大而增大．

∴当x=55元时，w的最大值为1125元．

∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．

22．【答案】（1）直线x=2；（2，2）

（2）2；大；2

（3）解：二次函数的图象与x轴有两个交点，交点坐标为（1，0）和（3，0）

（4）解：当1＜x＜3时，函数值y大于0

23．【答案】（1）2 ；2 或

（2）解：过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G， 

则PG⊥BC，

∵P点坐标为（a，b），

∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，

在△PAD，△PAB及△PBC中，

S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，

∵AB为直径，

∴∠APB=90°，

∴PE2=AE•BE，

即b2=a（4﹣a），

∴2S1S3﹣S22=4a（8﹣2a）﹣4b2=﹣4a2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，

∴当a=2时，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16

24．【答案】（1）y=1000-10x(50≤x≤100)

（2）解：由题意得： ，

，

当 时， 有最大值，最大值为9000，

S与x的函数关系式为： ，当单价为70元时，利润最大；

（3）解：由题意得： ，

解得： ，

当 时，成本 ，不符合题意，

当 时，成本 ，符合题意，

故销售单价应定为80元．