2023年中考数学二轮专项练习：二次函数个图像与系数的关系(含答案)

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数个图像与系数的关系

一、单选题

1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＜0

B．c＞0

C．a+b+c＞0

D．方程 ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3

2．如图，二次函数 的图象开口向下，且经过第三象限的点 ．若点 的横坐标为 ，则一次函数 的图象大致是（　　） 

A． B．

C． D．

3．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是(　　)

A． B．

C． D．

4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a﹣2b＋c﹣3＝0；②9a﹣3b＋c＞0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝4有两个不相等实数根；④b＝4a．其中正确的个数有（　　） 

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．如图，二次函数 （ ）的图象与  轴交于点 ，其对称轴为直线 ，若  ，则下列结论中错误的是（　　） 

A． B． C． D．

6．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0.其中正确的结论是（　　） 

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

7．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），其部分图象如图所示，给出下列四个结论： 

①a＜0； ②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b=0；④若点P（x0，y0）在抛物线上，则ax02+bx0+c≤a﹣b+c．其中结论正确的是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） 

A． B． C． D．

9．在同一直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+m与一次函数y=mx﹣1（m≠0）的图象可能是（　　） 

A． B．

C． D．

10．二次函数y = ax2+ bx +c的图象如图所示， 则下列结论正确的是 (　　)

​

A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0

C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0

11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） 

A．a+b+c＞0 B．a＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．c＜0

12．点A，B的坐标分别为（-2,3）和（1,3），抛物线y=ax2+bx+c（a<0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c<3；②当x<-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a= .其中正确的是（　　）

A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④

二、填空题

13．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（abc，b2﹣4ac）在第　     　象限． 

14．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象根据函数图象，“＞”、“＝”或“＜”填写下列空格：

①a　     　0；

②4ac﹣b2　     　0；

③2a+b　     　0；

④a+b+c　     　0；

⑤当﹣1＜x＜3时，y　     　0；

⑥8a+c　     　0．

15．二次函数 的部分图象如图所示.对称轴为 ，图象过点A，且 ，以下结论：① ；② ；③关于x不等式 的解集： ；④ ；⑤若点 ， 在此函数图象上，则 .其中正确的结论是　     　. 

16．在-4，-2，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为　     　.

17．函数 的图像是开口向下的抛物线，则 　     　.  

18．已知抛物线y = ax2+bx-2 （a≠0）的顶点在第三象限，且过点（1， 0），若a-b的值为整数，则b的值为 　            　.

三、综合题

19．设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表：

（1）试判断该函数图象的开口方向.

（2）当x＝4时，求函数y的值.

（3）根据你的解题经验，直接写出ax2+bx﹣3＜﹣3的解.

20．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，

（1）确定a，b，c，Δ=b2-4ac的符号

（2）求证：a-b+c>0

（3）当x取何值时，y>0；当x取何值时y<0.

21．已知函数 是关于x的二次函数，求：

（1）满足条件的m的值；

（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x为何值时，y随x的增大而增大；

（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？

22．在同一直角坐标系中画出二次函数y= x2+1与二次函数y=﹣ x2﹣1的图形．

（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；

（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．   

23．已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.

（1）求k的值：  

（2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.  

24．二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点． 

（1）根据图象确定 、 、 的符号，并说明理由；  

（2）如果点 的坐标为 ， ， ，求这个二次函数的解析式．  

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】C

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】B

6．【答案】B

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】C

10．【答案】D

11．【答案】A

12．【答案】A

13．【答案】一

14．【答案】＜；＜；=；＞；；＜

15．【答案】①②⑤

16．【答案】

17．【答案】-1

18．【答案】 或1或

19．【答案】（1）解：∵图象经过（0，﹣3），（2，﹣3），

∴图象对称轴为直线x＝ ＝1，

由表格可得，x＜1时，y随x的增大而减小，

∴抛物线图象开口向上

（2）解：∵（﹣2，5）关于直线x＝1的对称点是（4，5），

∴x＝4时，函数y的值为5

（3）解：∵抛物线开口向上，且经过点（0，﹣3），（2，﹣3），

∴当0＜x＜2时，ax2+bx﹣3＜﹣3，

故ax2+bx﹣3＜﹣3的解为0＜x＜2.

20．【答案】（1）解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在x轴上方，
∴a<0，c>0.
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，即，
∴b=2a<0.
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2-4ac>0.

（2）解：由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1. 0

（3）解：由图象可知：当-3<x<1时y>0 ， ∴当x<-3或x>1时，y<0

21．【答案】（1）解：由题意，有 且 ，解之得 或 .

（2）解：当 时，二次函数有最低点，此时 ，最低点为（0，0），且当 时，y随x的增大而增大.

（3）解：当 时，抛物线有最大值，最大值为0，且当 时，y随x的增大而减小.

22．【答案】（1）解：如图：

，

y= x2+1与y=﹣ x2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，

y= x2+1与y=﹣ x2﹣1的不同点是：y= x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y=﹣ x2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；

（2）解：性质的相同点：开口程度相同，不同点：y= x2+1 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；

y=﹣ x2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．

23．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴， 

∴ ，

即k2+k－6=0，

解得k=－3或k=2，

当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，

当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，

∴k=－3

（2）解：∵P到y轴的距离为2， 

∴点P的横坐标为－2或2，

当x=2时，y=－5；

当x=－2时，y=－5，

∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)

24．【答案】（1）解：∵抛物线开口向上 

∴a＞0

∵对称轴在y轴的左侧

∴ ＜0

∴b＞0

∵抛物线交y轴的负半轴

∴c＜0

（2）解：连接AB、AC，如图所示： 

∵在Rt△AOB中，

∴∠OAB=45°

∴OA=OB=3

∴B（-3，0）

∵Rt△AOC中，∠ACB=60°

∴OC= =

∴C（ ，0）

将A、B、C代入 中

，得到

∴所求二次函数的解析式为