必刷卷02——【高考三轮冲刺】2023年高考数学考前20天冲刺必刷卷（上海专用）（原卷版+解析版）

绝密★启用前

2023年高考数学考前信息必刷卷02

上海专用

上海地区考试题型按往年惯例为12（填空题）+4（单选题）+5（解答题），导数和统计学中的随机变量分布、成对数据的统计分析是新教材新增加的内容。值得注意的是新增加空间向量与立体几何单独作为一章来学习。

导数会向全国新高考卷一样，在压轴题中的分量很大，至少在原来的出题模式中会有很大的渗透；仍然会对学生的抽象思维能力，综合解题能力，数学在实际生活中的运用能力，学生阅读提炼信息的能力进行考查。

    空间向量与立体几何也会像全国新高考一样加大难度进行考查。

1.函数、数列、基本不等式、三角函数与解三角形依然是高考的重点、热点；

2.空间向量与立体几何很可能会在选填中增加难度，尤其会涉及一些动态问题，来进行一个综合判断选填与填空，对空间位置关系，简单几何体的表面积体积（之前的高考热点）等综合考查；

3.解答压轴题导数会渗透在原来的热门题型函数、数列的新定义题型中。

2023年高考数学考前信息必刷卷02

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、填空题

1．若复数满足（其中是虚数单位），则______.

【答案】

【分析】化简复数z，再求出，进而求出.

【解析】∵ ，

∴，

∴

故答案为：.

2．已知随机变量，且，则___________

【答案】

【分析】利用正态分布的对称性即可计算求解.

【解析】因为随机变量服从正态分布，且，

所以，

故答案为：.

3．已知函数，则不等式的解集是__________.

【答案】

【分析】根据函数的单调性，以及即可求解.

【解析】函数的定义域为.

因为在上为增函数，在上为增函数，

所以在上为增函数，

又，所以不等式的解集为.

故答案为：

4．若过两点的直线l与圆相切，则_____________．

【答案】或

【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，列出等量关系，即可求得结果.

【解析】直线的斜率，故直线的方程为：，

根据题意，圆心到直线的距离为，即，解得.

故答案为：或.

5．从的二项展开式的所有二项式系数中任取一个，则取到的二项式系数为奇数的概率为________（结果用最简分数表示）.

【答案】

【分析】根据题意求二项式系数，结合古典概型运算求解.

【解析】由题意可得：六个二项式系数分别为，

其中奇数有4个，故取到的二项式系数为奇数的概率.

故答案为：.

6．若，则三棱锥O—ABC的体积为___________.

【答案】

【分析】根据空间向量的坐标运算，求得棱锥底面积和高，结合棱锥的体积计算公式，即可求得结果.

【解析】根据已知可得：，即，

又，

故△的面积；

不妨取平面的一个法向量，

则点到平面的距离，

故三棱锥O—ABC的体积.

故答案为：.

7．设幂函数，数列满足：，且（），则数列的通项__．

【答案】

【分析】将代入，得，两边同时取对数，构造等比数列求解即可.

【解析】∵，∴，

∵，∴数列各项均为正数，且各项均不为，

∴，

∴数列各项均不为，∴，

∴，

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，

∴.

故答案为：.

8．已知函数的图像向右平移个单位，可得到函数的图像，则 =___________.

【答案】

【分析】根据平移后的解析式利用三角恒等变换确定，分别说明与时，根据平移后的解析式结合，即可求得的值.

【解析】解：函数的图像向右平移个单位得到函数，即函数

又函数，

所以，则.

当时，，

则，所以，又，所以；

当时，，

则，所以，又，所以无解；

综上，.

故答案为：.

9．在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______．

【答案】

【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，运用均值不等式求的范围，然后由面积公式化简为三角函数，求最值即可.

【解析】由题知，

则

，当且仅当时取等号.

，

而，

.

故答案为：

10．已知关于的方程有唯一实数根，则实数的取值范围为______．

【答案】或

【分析】本题采用分离参数法得，利用导数研究函数在其定义域上的图象，通过直线与函数图象交点个数解决方程根的问题.

【解析】当时，显然不是方程的根，

，即，即，

设，，且定义域为，关于原点对称，

故为奇函数，则研究的图象，

，则，

令，解得，则此时单调递减，

令，解得，则此时单调递增，

故，

且当并趋近于0时，趋近于，

当趋近于时，趋近于，

再结合为奇函数，作出如下图象，

，

则，，

同理图像左侧，，解得.

则关于的方程有唯一实数根，则实数的取值范围为或.

故答案为：或.

【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.

11．已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________.

【答案】

【分析】不妨设 ， ，则由题知，由已知条件得，，将用坐标表示，并求模，代入及，整理得，构造函数，求出最小值，

表示出的解析式，用均值不等式求其最大值即可.

【解析】不妨设 ， ，则由题知

又 ，所以

整理得① ，所以

又 ，

所以

而

将①代入整理得：

令 ，

，有最小值，

又 ，当且仅当时等号成立

所以 ，当时有最大值 .

故答案为： .

12．已知定义在R上的函数满足，当时，．设在区间（）上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】先利用换元法分别求出当，，，时的的解析式，进而求出，由存在使得有解得到有解，进而转化为，再通过的单调性进行即可求解.

【解析】当时，，

因为定义在上的函数满足，

所以，

令，则，

当时，有，

即当时，，

又，

令，则，，有，

所以当时，，

同理可得，时，，

根据规律，得当，，

且此时的在单调递增，

又因为为在区间上的最小值，

所以，，，，，

若存在，使得有解，

则有有解，进而必有，

令，设最大，则，

即，即，即最大；

所以当时，有，

所以.

故答案为：

【点睛】易错点睛：本题的易错点在由有解得到，而不是，要注意不等式恒成立和不等式有解的等价条件的区别：

若恒成立，则；

若有解，则.

二、单选题

13．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解分式不等式得，由是的充分条件等价于包含，根据包含关系列不等式求解即可

【解析】，解得或，由是的充分条件，则有.

故选：C

14．已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用三角函数的基本关系式即可判断.

【解析】对于A，令，则，

所以，即，故A错误；

对于B，令，则，即，故B错误；

对于C，令，则，

所以，即，故C错误；

对于D，因为角的终边不在坐标轴上，所以，，，

所以，即，则，

所以一定成等比数列，故D正确.

故选：D.

15．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面．若，则　　

A．当 时，平面BPC⊥平面PCD

B．当时，平面APD⊥平面PCD

C．对任意，直线PA与底面ABCD都不垂直

D．存在，使直线PD与直线AC垂直

【答案】A

【分析】通过作辅助线，证明平面，从而证明平面BPC⊥平面PCD，可判断A正确；利用反证的方法说明B;根据线面垂直的判定说明C;利用向量的数量积的计算说明D.

【解析】对于A,延长，交于点，连接，则，

是的中点，，

，

又侧面底面，，

平面，可得，平面,

故平面，

平面，平面平面,故A正确；

设平面平面APD和平面PCD的交线为l，平面APD,

故 平面APD，则 ，则 ,

若平面APD⊥平面PCD，则平面PCD，则平面PCD，

即有,与题意矛盾，故B错误；

对于C，当时，由于侧面底面，交线为AB,

故直线PA与底面ABCD垂直，故C错误；

对于D，，侧面底面，故侧面,

设 的夹角为 ，假设存在，使直线PD与直线AC垂直，

则

，

即，，与矛盾，故D错误，

故选：A

16．已知抛物线为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题:①;②;③;④与的交点在轴上;⑤与交于原点．其中真命题的个数为（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】D

【分析】①根据抛物线的定义和平行可以证明且，从而即;

②根据抛物线定义和梯形的中位线证明点在以为直径的圆上，从而有;

③通过证明, ，从而证明;

④由③知与的交点是的中点，由与轴的交点也为的中点，从而证明与的交点在轴上;

⑤通过设而不求将直线，与轴的交点都在原点，从而证明与交于原点．

【解析】如图所示：

对①，由抛物线的定义得：，所以,

又因为轴，所以，

所以,

同理因为，所以,

所以即，故①正确；

如图所示：

对②，为的中点,取为的中点,

所以,

所以点在以为直径的圆上，从而有，故②正确；

如图所示：

对③，,

又

所以，又

所以,由②知

，故③正确;

对④，

由③ 知与的交点是的中点，由与轴的交点也为的中点，故

与的交点在轴上，所以④正确;

对⑤，设直线方程为：，，则

联立得，由韦达定理得：

又，

所以直线方程：

整理得：

，所以直线过原点，

同理可以证明直线过原点，

所以与交于原点；故⑤正确；

故选：D.

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

三、解答题

17．如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面为中点.

(1)求证:平面;

(2)若,求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)连接与交于点,通过证明线线平行及线面平行的判定定理即可证明;

(2)由题上所给的长度及角度,和平面,根据余弦定理求出二面角中各个棱长,过分别在平面,平面中做的垂线,发现垂足为同一点,根据余弦定理求二面角的大小的余弦值,进而求出二面角的大小即可.

【解析】（1）证明:连接与交于点,连接如图所示:

为平行四边形,

为中点,

为平行四边形,

为中点,

为中点,

所以,

在平面外,平面,

平面;

（2）由题知,

是菱形,,,

在中由余弦定理得:

,

解得:,

平面,

,

由勾股定理可得:

,

是中点,

则在直角三角形中,,

,

在中,由余弦定理得:

,

在中,由余弦定理得:

,

,

,

,

,

与为全等的两个等腰三角形,

取中点为,连接, 如图所示:

,

即为二面角的大小,

,

,

,

在中由余弦定理得:

,

故二面角的大小为.

18．已知函数是定义域为的奇函数.

(1)求实数的值，并证明在上单调递增；

(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，证明见解析

(2)

【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立；

（2）由题意可得，可得出，求得，分、，根据已知条件可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围.

【解析】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数，

则，解得，此时，

对任意的，，即函数的定义域为，

，即函数为奇函数，合乎题意，

任取、且，则，

所以，，则，

所以，函数在上单调递增.

（2）解：由（1）可知，函数在上为增函数，

对于任意的、，都有，则，

，

因为，则.

当时，则有，解得；

当时，则有，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

19．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.

(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;

(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）

【答案】(1)(米)

(2)2022万元

【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度;

(2)将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可.

【解析】（1）解:由题,

,同理,故,

由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上,

则,

,

因为,,

所以为等边三角形,

则,

因此三条街道的总长度为（米）.

（2）由图可知,

,

,

,

在中由余弦定理可知:

,

则,

设三条步行道每年能产生的经济总效益,则

,

当即时取最大值,

最大值为.

答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.

20．已知椭圆过点，分别为椭圆C的左、右焦点且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点，直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线交于点M（M介于A、B两点之间）.

（i）当面积最大时，求的方程；

（ii）求证：，并判断，的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析，不可能构成等比数列.

【解析】（1）设，.求出的坐标，根据，求出.把点代入椭圆方程，结合，求出，即得椭圆C的方程；

（2）（i）设方程为，.把直线的方程代入椭圆方程，由韦达定理、弦长公式求出.由点到直线的距离公式求出点P到的距离，则，根据基本不等式求面积的最大值，即求的方程；（ii）要证结论成立，只须证明，即证直线为的平分线，转化成证明.

又与C有一个公共点，即为椭圆的切线，可求，又.由题意，，，四个数按某种顺序成等比数列，推出矛盾，故不可能构成等比数列.

【解析】（1）设，，

则，.

，.

又在椭圆上，故，

又，解得，，

故所求方程为.

（2）（i）由于，

设方程为，.

由，消y整理得，

，

则

.

又点P到的距离,

.

当且仅当，，即时，等号成立.

故直线AB的方程为：.

（ⅱ）要证结论成立，只须证明：，

由角平分线性质即证：直线为的平分线，

转化成证明：.

因为

因此结论成立.

又与C有一个公共点，即为椭圆的切线，

由得

令，，

则，

所以，所以，

故所研究的4条直线的斜率分别为，，，，

若这四个数成等比数列，且其公比记为q，

则应有或，或.

因为不成立，所以，

而当时，，，

此时直线PB与重合，不合题意，

故，，PA，PB的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列.

【点睛】本题考查椭圆的方程，考查弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式和等比数列等知识，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，综合性强，属于难题.

21．定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．

(1)判断函数和是否具有C关系；

(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；

(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．

【答案】(1)是

(2)

(3)

【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断；

（2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围；

（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解.

【解析】（1）与是具有C关系，理由如下：

根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，

因为，，，

所以，

令，即，解得，

所以与具有C关系.

（2）令，

因为，，所以，

令，则，故，

因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，

又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，

当时，显然成立；

当时，在上恒成立，

因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，所以，

综上：，即.

（3）因为和，

令，则，

因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，

因为，

当且时，因为，所以，

所以在上单调递增，则，

此时在上不存在零点，不满足题意；

当时，显然当时，，

当时，因为在上单调递增，且，

故在上存在唯一零点，设为，则，

所以当；当；又当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，

因为，所以，

又因为，所以在上存在唯一零点，

所以函数与在上具有C关系，

综上：，即.

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解.