四川省成都市铁路中学中考数学模拟试卷（含详细解析）

这是一份四川省成都市铁路中学中考数学模拟试卷（含详细解析），共35页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）2022年的前三季度，成都市的GDP约为15000亿元，将数据15000用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×1012 B．1.5×104 C．1.5×105 D．1.5×103
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．m+n＝mn B．（mn）2＝m2n
C．（m+2n）2＝m2+4n2+4mn D．（m+4）（m﹣4）＝m2﹣4
4．（4分）下列说法，不正确的是（　　）
A．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
5．（4分）小明练习打靶，第一阶段，打了4枪，成绩分别是8，9，9，10，则数据8，9，9，10的中位数是（　　）
A．8 B．9 C．9.5 D．10
6．（4分）如图，△ABC内接于圆O，圆O的半径是6，∠BAC＝60°，OD⊥BC于点D，则线段BC的长度是（　　）

A．3 B．3 C．6 D．6
7．（4分）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．c＜0
B．方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝1，x2＝3
C．当x＞1时，y随x值的增大而减小
D．当y≥0时，0＜x＜3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式：2a5﹣8a＝　 　．
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若正比例函数y＝（n﹣1）x的图象经过第一、三象限，则n的取值范围是 　 　．
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1.5，2），以原点O为位似中心，在原点的异侧按1：3的相似比将△OAB放大，则点B的对应点B'的坐标为 　 　．

12．（4分）从0，，，﹣7，五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是有理数的概率为 　 　．
13．（4分）如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，∠BAD＝140°，以点C为圆心，CO为半径作圆弧交线段CD于点E，连结OE，则∠COE＝　 　．

三、解答题（共48分）
14．（12分）（1）计算：（3﹣π）0﹣+4sin60°+||；
（2）解不等式组：．
15．（8分）区内某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加课后延时服务的学生人数是 　 　名；
（2）把条形统计图补充完整；扇形统计图中的∠α的度数是 　 　度；
（3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

16．（8分）数学兴趣小组测量建筑物AB的高度．如图，在建筑物AB前方搭建高台CD进行测量．高台CD到AB的距离BC为10米，在高台顶端D处测得点A的仰角为40°，测得点B的俯角为30°，求建筑物AB的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，

17．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，点E是边AC的中点，直线ED、BC交于点F．
（1）求证：直线DE是圆O的切线；
（2）若BC＝6，，求线段BF的长度．

18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数的图象相交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，求点C的横坐标；
（3）将△AOB在平面内沿某个方向平移得到△DEF（其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F），若D、F同时在反比例函数的图象上，求点E的坐标．

四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）若2a﹣3b＝5，则4a2﹣9b2﹣30b+1的值是 　 　．
20．（4分）如图1，第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．现假设可在如图2的弦图区域内随机取点，若正方形ABCD中，AB＝5，AF＝4，则这个点落在阴影部分的概率为 　 　．

21．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P（1，0），以P为圆心作圆P，交x轴于点A（﹣1，0）、B，交y轴于点C、D，点M为上任一点（不与C、D重合），则tan∠CMD＝　 　．

22．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线AC绕点A逆时针旋转60°得到直线l，点E为直线l上一点，且∠AEC+∠CAB＝90°，连接CE，则CE＝　 　．

23．（4分）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，点E是线段DC上一个动点，分别以DE、EC为边向线段DC的下方作正方形DEFG、正方形CEHI，连接GI，过点B作直线GI的垂线，垂足是J，连接AJ，求点E运动过程中，线段AJ的最大值是 　 　．

五、解答题（共30分）
24．（8分）用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米．（铝合金型材宽度不计）
（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）求S的最大值．

25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+m（k≠0）与抛物线相交于A，B两点．（点A在点B的左侧）
（1）如图1，若A、B两点的横坐标分别是﹣1，2，求直线l的关系式；
（2）如图2，若直线l与y轴的交点C（0，﹣2），且点B是线段AC中点，求k的值；
（3）如图3，若直线l运动过程中，始终有OA⊥OB，试探究直线l是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

26．（12分）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P．
（1）如图1，若，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180°，求线段DE的长度；
（2）如图2，若∠EBF＝∠DEC，，求；
（3）如图3，连接AP，若∠EBF＝∠DEC，AP＝AB＝2，BC＝3，求PB的长度．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【考点】倒数．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据倒数的定义解答，乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：﹣的倒数是，
故选：D．
【点评】本题考查了求倒数的方法，掌握求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置是解题的关键．
2．（4分）2022年的前三季度，成都市的GDP约为15000亿元，将数据15000用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×1012 B．1.5×104 C．1.5×105 D．1.5×103
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：15000＝1.5×104．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．m+n＝mn B．（mn）2＝m2n
C．（m+2n）2＝m2+4n2+4mn D．（m+4）（m﹣4）＝m2﹣4
【考点】平方差公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式分别判断即可．
【解答】解：m与n不是同类项，不能合并，
故A不符合题意；
（mn）2＝m2n2，
故B不符合题意；
（m+2n）2＝m2+4n2+4mn，
故C符合题意；
（m+4）（m﹣4）＝m2﹣16，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，积的乘方，合并同类项等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
4．（4分）下列说法，不正确的是（　　）
A．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定进行逐一判断即可．
【解答】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，故A选项不符合题意；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故B选项不符合题意；
C．邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故C选项不符合题意；
D．对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，错误，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，解决本题的关键是区分以上四边形的判定方法．
5．（4分）小明练习打靶，第一阶段，打了4枪，成绩分别是8，9，9，10，则数据8，9，9，10的中位数是（　　）
A．8 B．9 C．9.5 D．10
【考点】中位数．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据中位数的定义解答即可．
【解答】解：数据8，9，9，10的中位数是＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数，掌握中位数的定义是解答本题的关键．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（4分）如图，△ABC内接于圆O，圆O的半径是6，∠BAC＝60°，OD⊥BC于点D，则线段BC的长度是（　　）

A．3 B．3 C．6 D．6
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理可得∠BOC＝120°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠DOC＝60°，BC＝2CD，最后在Rt△OCD中，利用锐角三角函数的定义进行计算求出CD的长，即可解答．
【解答】解：连接OB，OC，

∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，BC＝2CD，
在Rt△OCD中，OC＝6，
∴CD＝OC•sin60°＝6×＝3，
∴BC＝2CD＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（4分）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．c＜0
B．方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝1，x2＝3
C．当x＞1时，y随x值的增大而减小
D．当y≥0时，0＜x＜3
【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；二次函数的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据图象判断c的符号，由抛物线对称性与对称轴方程求出与x轴交点坐标，由二次函数图象判定其二次函数的性质．
【解答】解：A、由抛物线与y轴交于正半轴知：c＞0，故说法错误，不符合题意；
B、由抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）知：方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1、x2＝3，故说法错误，不符合题意；
C、由函数图象知：当x＞1时，y随x值的增大而减小，故说法正确，符合题意；
D、由函数图象知：当y≥0时，﹣1≤x≤3，故说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式：2a5﹣8a＝　2a（a2+2）（a+）（a﹣）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】2a（a2+2）（a+）（a﹣）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解．
【解答】解：2a5﹣8a
＝2a（a4﹣4）
＝2a（a2+2）（a2﹣2）
＝2a（a2+2）（a+）（a﹣）．
故答案为：2a（a2+2）（a+）（a﹣）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．注意分解要彻底．
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若正比例函数y＝（n﹣1）x的图象经过第一、三象限，则n的取值范围是 　n＞1　．
【考点】正比例函数的性质．菁优网版权所有
【答案】n＞1．
【分析】由正比例函数的图象经过第一、三象限，利用正比例函数的性质，可得出n﹣1＞0，解之即可得出n的取值范围．
【解答】解：∵正比例函数y＝（n﹣1）x的图象经过第一、三象限，
∴n﹣1＞0，
解得：n＞1，
∴n的取值范围是n＞1．
故答案为：n＞1．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限”是解题的关键．
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1.5，2），以原点O为位似中心，在原点的异侧按1：3的相似比将△OAB放大，则点B的对应点B'的坐标为 　（4.5，﹣6）．　．

【考点】位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【答案】（4.5，﹣6）．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在原点的异侧按1：3的相似比将△OAB放大，B的坐标为（﹣1.5，2），
∴点B的对应点B'的坐标为[﹣1.5×（﹣3）]，2×（﹣3），即（4.5，﹣6），
故答案为：（4.5，﹣6）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
12．（4分）从0，，，﹣7，五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是有理数的概率为 　　．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】先找出有理数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：在0，，，﹣7，这五个数中，有理数有0，，﹣7这3个，
∴抽出的数是有理数的概率为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确得出有理数的个数是解题关键．
13．（4分）如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，∠BAD＝140°，以点C为圆心，CO为半径作圆弧交线段CD于点E，连结OE，则∠COE＝　55°　．

【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】55°．
【分析】由菱形的性质得∠BAD＝∠BCD＝140°，菱形对角线平分一组对角，∠DCE＝70°，等腰三角形两底角相等，利用三角形内角和计算可得∠EOC＝55°．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD＝140°（菱形的对角相等）．
∵AC是菱形的一条对角线，
∴∠DCA＝∠BCA＝∠BCD＝×140°＝70°．
根据题意OC＝OE，
∴∠EOC＝∠OEC＝（180﹣∠DCA）＝55°．
故答案为：55°．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地求出∠DCA的度数是解题的关键．
三、解答题（共48分）
14．（12分）（1）计算：（3﹣π）0﹣+4sin60°+||；
（2）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有
【答案】（1）2+；（2）x＞﹣2．
【分析】（1）先算零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、去绝对值，然后计算乘法，再算加减即可；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1）（3﹣π）0﹣+4sin60°+||
＝1﹣2+4×+3﹣
＝1﹣2+2+3﹣
＝2+；
（2），
解不等式①，得：x＞﹣7，
解不等式②，得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集是x＞﹣2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和实数运算的运算法则．
15．（8分）区内某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加课后延时服务的学生人数是 　80　名；
（2）把条形统计图补充完整；扇形统计图中的∠α的度数是 　72　度；
（3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）80．
（2）补全条形统计图见解答；72．
（3）．
【分析】（1）用参加B组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加课后延时服务的学生人数．
（2）用本次参加课后延时服务的学生人数分别减去参加A，B，C，E组的学生人数，可求出参加D组的学生人数，补全条形统计图即可；用360°乘以参加A组的学生所占的百分比，即可求出∠α的度数．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次参加课后延时服务的学生人数是18÷22.5%＝80（名）．
故答案为：80．
（2）参加D组的人数为80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（名）．
补全条形统计图如图所示．

扇形统计图中的∠α的度数是360°×＝72°．
故答案为：72．
（3）设C组的1名男生和1名女生分别记为a，b，E组的2名男生和1名女生分别记为c，d，e，
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有：ae，bc，bd，共3种，
∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
16．（8分）数学兴趣小组测量建筑物AB的高度．如图，在建筑物AB前方搭建高台CD进行测量．高台CD到AB的距离BC为10米，在高台顶端D处测得点A的仰角为40°，测得点B的俯角为30°，求建筑物AB的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【答案】建筑物AB的高度25米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由题意可知：∠ADE＝40°，∠EDB＝30°，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由题意可知：∠ADE＝40°，∠EDB＝30°，
∴四边形DEBC的矩形，
∴DE＝BC＝10（米），
在Rt△DEB中，tan30°＝，
∴BE＝DE•tan30°＝10（米），
在Rt△ADE中，tan40°＝，
AE＝DE•tan40°≈10×0.84≈15（米），
∴AB＝AE+BE＝15+10＝25（米）．
答：建筑物AB的高度25米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
17．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，点E是边AC的中点，直线ED、BC交于点F．
（1）求证：直线DE是圆O的切线；
（2）若BC＝6，，求线段BF的长度．

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解答；
（2）线段BF的长度是．
【分析】（1）连接OD、CD，由BC为⊙O的直径，得∠BDC＝∠ADC＝90°，由点E是边AC的中点，得DE＝AE＝CE，则∠FDB＝∠EDA＝∠A，所以ODF＝∠ODB+∠FDB＝∠OBD+∠A＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）先证明∠BCD＝∠A，则＝sin∠BCD＝sinA＝，所以BD＝BC＝，由勾股定理得DC＝＝，则＝，再证明△FDB∽△FCD，得＝＝＝，则DF＝BF，DF2＝BF•CF，于是得（BF）2＝BF（BF+6），即可求得BF＝．
【解答】（1）证明：连接OD、CD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，
∵点E是边AC的中点，
∴DE＝AE＝CE＝AC，
∴∠FDB＝∠EDA＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODF＝∠ODB+∠FDB＝∠OBD+∠A＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BCD＝∠A＝90°﹣∠ABC，BC＝6，
∴＝sin∠BCD＝sinA＝，
∴BD＝BC＝×6＝，
∴DC＝＝＝，
∴＝＝，
∵∠FDB＝∠EDA＝∠A，
∴∠FDB＝∠FCD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDB∽△FCD，
∴＝＝＝，
∴DF＝BF，DF2＝BF•CF＝BF（BF+6），
∴（BF）2＝BF（BF+6），
解得BF＝或BF＝0（不符合题意，舍去），
∴线段BF的长度是．

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数的图象相交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，求点C的横坐标；
（3）将△AOB在平面内沿某个方向平移得到△DEF（其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F），若D、F同时在反比例函数的图象上，求点E的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【答案】（1）反比例函数解析式y＝；
（2）C点的横坐标为或；
（3）点E的坐标为（2，﹣4）．
【分析】（1）将点A（a，﹣2）代入y＝2x+4，可得点A的坐标，从而得出答案；
（2）首先求出点B的坐标，在点B下方的y轴上取点C，使BC＝8，则S△ABC＝4，过点C作CP∥AB，交双曲线于P，得出直线CP的解析式为y＝﹣2x﹣4，与双曲线求交点即可得出点P的坐标，当点P在点A上方时，同理可求；
（3）由平行四边形和反比例函数的对称性可知B与D，A与F关于原点对称，即可求得F（3，2），根据B、F的坐标得到平移的距离，从而求得点E的坐标．
【解答】解：（1）将点A（a，﹣2）代入y＝2x+4得，﹣2＝2a+4，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，﹣2），
∵反比例函数的图象经过点A，
∴k＝﹣3×（﹣2）＝6，
∴反比例函数解析式y＝；
（2）解，得或，
∴B（1，6），
设直线y＝2x+4与y轴交于M，
∴M（0，4），
∴点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，
在点M下方的y轴上取OM的中点D，过点D作CD∥AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，
∴直线CD的解析式为y＝2x+2，
∴2x+2＝，
解得x1＝，x2＝（舍），
∴C点的横坐标为，
在点M上方的y轴上取ME＝2，过点E作CE∥AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，
同理可得C点的横坐标为，
综上：C点的横坐标为或；
（3）由题意可知AB＝DF，AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，B与D，A与F关于原点对称，
∴F（3，2），
∵B（1，6），
∴点B向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点F，
∴点E的坐标为（2，﹣4）．


【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，平移的性质，数形结合是解题的关键．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）若2a﹣3b＝5，则4a2﹣9b2﹣30b+1的值是 　26　．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【答案】26．
【分析】将所求的式子进行适当变形，然后将2a﹣3b＝5代入求值即可．
【解答】解：∵2a﹣3b＝5，
∴原式＝（2a﹣3b）（2a+3b）﹣30b+1
＝5（2a+3b）﹣30b+1
＝10a+15b﹣30b+1
＝10a﹣15b+1
＝5（2a﹣3b）+1
＝5×5+1
＝26．
故答案为：26．
【点评】本题考查因式分解的应用，代数式求值，利用整体的思想代入计算是解题的关键．
20．（4分）如图1，第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．现假设可在如图2的弦图区域内随机取点，若正方形ABCD中，AB＝5，AF＝4，则这个点落在阴影部分的概率为 　　．

【考点】几何概率；勾股定理的证明．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】根据勾股定理先求出BF的长，从而得出三角形的面积，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝5，AF＝4，
∴BF＝＝＝3，
∵大正方形的面积为25，阴影的面积为4×3×4×＝24，
∴这个点落在阴影部分的概率为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
21．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P（1，0），以P为圆心作圆P，交x轴于点A（﹣1，0）、B，交y轴于点C、D，点M为上任一点（不与C、D重合），则tan∠CMD＝　　．

【考点】圆周角定理；解直角三角形；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】连接PC、PD，可得圆P的半径为2，解直角三角形得∠CPO＝60°，根据垂径定理得∠CPD＝120°，由圆周角定理得∠CMD＝60°，即可求解．
【解答】解：连接PC、PD，

∵P（1，0），以P为圆心作圆P，交x轴于点A（﹣1，0），
∴圆P的半径为2，OP＝1，
∴PC＝2，
∴cos∠CPO＝，
∴∠CPO＝60°，
∵OP⊥CD，
∴∠CPD＝120°，
∴∠CMD＝60°，
∴tan∠CMD＝tan60°＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直角三角形，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线AC绕点A逆时针旋转60°得到直线l，点E为直线l上一点，且∠AEC+∠CAB＝90°，连接CE，则CE＝　5　．

【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【答案】5．
【分析】根据二次函数y＝，可以求得点A、点B、点C的坐标，然后即可得到AC和tan∠CAB的值，再根据勾股定理和锐角三角函数可以求得CE的值．
【解答】解：∵二次函数y＝，
∴当y＝0时，可得x1＝﹣8，x2＝2，当x＝0时，y＝4，
∴点A的坐标为（﹣8，0），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4），
∴OC＝4，OA＝8，
∴tan∠CAB＝＝，AC＝＝＝4，
作CF⊥AE于点F，交AE于点F，如右图所示，
则∠CFA＝90°，
∵∠CAF＝60°，
∴CF＝AC•sin60°＝4×＝2，
∵∠AEC+∠CAB＝90°，∠AEC+∠ECF＝90°，
∴∠CAB＝∠ECF，
∴tan∠ECF＝＝＝，
解得EF＝，
∴CE＝＝＝5，
故答案为：5．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（4分）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，点E是线段DC上一个动点，分别以DE、EC为边向线段DC的下方作正方形DEFG、正方形CEHI，连接GI，过点B作直线GI的垂线，垂足是J，连接AJ，求点E运动过程中，线段AJ的最大值是 　10+2　．

【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质；正方形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】10+2．
【分析】这是隐圆问题，由梯形DGIC中位线可以得到GI一定经过以DC为边的正方形的中心P，进而得到J在以BP为直径的圆上运动，然后利用点圆最值即可求解．
【解答】解：如图，取GI中点P，以PB为直径作⊙O，
连接AO并延长交⊙O于点J，
作OM⊥AC于M，作PQ⊥AB于Q，交OM、DC于点N、K，
∴PK是梯形DGIC中位线，
∵DC＝8，
∴PK＝（CI+DG）＝4，
∵P是GI中点，
∴P到DG、CI的距离均为4，
∴P一定是以DC为边的正方形的中心点，
∴J一定在以BP为直径的圆上运动，
∴当AJ过点圆心O时，AJ最大，
∵AB＝8，
∴QB＝4，
∵AD＝12，
∴PQ＝16，
∵QB＝4，
∴BP＝＝4，
∴OJ＝2，
∵PQ＝16，
∴QN＝AM＝8，
∵ON＝QB＝2，
∴OM＝6，
∴AO＝10，
∴AJ＝10+2．

故答案为：10+2．
【点评】本题考查了点圆最值的知识点的应用，梯形的中位线的应用，还有矩形及正方形的性质，解题关键是找到图中的隐圆．
五、解答题（共30分）
24．（8分）用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米．（铝合金型材宽度不计）
（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）求S的最大值．

【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）S＝﹣x2+6x（0＜x≤）；
（2）S的最大值为6m2．
【分析】（1）设窗框的一边（宽）为xm，则长为（12﹣3x）m，根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）根据二次函数最值求法得出即可．
【解答】解：（1）设窗框的宽为xm，则长为（12﹣3x）m，
根据题意可得：S＝x××（12﹣3x）＝﹣x2+6x；
∵0＜x≤（12﹣3x），
∴0＜x≤．
（2）∵S＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣2）2+6，
∴当x＝2时，S的最大值为6；
故S的最大值为6m2．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求出顶点坐标是解题关键．
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+m（k≠0）与抛物线相交于A，B两点．（点A在点B的左侧）
（1）如图1，若A、B两点的横坐标分别是﹣1，2，求直线l的关系式；
（2）如图2，若直线l与y轴的交点C（0，﹣2），且点B是线段AC中点，求k的值；
（3）如图3，若直线l运动过程中，始终有OA⊥OB，试探究直线l是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）y＝x+1；
（2）k＝﹣；
（3）直线l过定点，定点为（0，2）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由中点坐标公式，即可求出点A、B的坐标，进而求解；
（3）由tan∠AOM＝tan∠OBN，得到，即，进而求解．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，＝，则点A（﹣1，），
同理可得，点B（2，2），
将点A、B的坐标代入直线l的表达式得：
，解得：，
即直线l的表达式为：y＝x+1；

（2）设点A、B的坐标分别为（s，s2）、（t，t2），
联立y＝kx+m和并整理得：x2﹣2kx﹣2m＝0，
则s+t＝2k，st＝﹣2m，
∵点B是线段AC中点，
则由中点坐标公式得：
，解得：，
则st＝（﹣2）+（﹣）＝2k，
解得：k＝﹣；

（3）存在，理由：
分别过点A、B作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，

∵OA⊥OB，则∠AOM+∠BON＝90°，
∵∠BON+∠OBN＝90°，
∴∠AOM＝∠OBN，
∴tan∠AOM＝tan∠OBN，
由（2）知，A、B的坐标分别为（s，s2）、（t，t2），
即，即，
解得st＝﹣4，
由（2）知st＝﹣2m＝﹣4，
解得：m＝2，
即直线l的表达式为：y＝kx+2，
即直线l过定点，定点为（0，2）．
【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，中点坐标公式得运用，根和系数的关系等知识，有一定的综合性，难度适中．
26．（12分）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P．
（1）如图1，若，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180°，求线段DE的长度；
（2）如图2，若∠EBF＝∠DEC，，求；
（3）如图3，连接AP，若∠EBF＝∠DEC，AP＝AB＝2，BC＝3，求PB的长度．

【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）线段DE的长度为；
（2）＝；
（3）PB的长度为．
【分析】（1）根据矩形的性质可得：AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，＝＝，结合四边形内角和可证得△CED∽△BFC，得出＝＝，即可求得答案；
（2）根据已知条件可证得△EBP∽△ECB，得出＝＝，进而得出EB＝EP，利用EC＝EP+PC，即可得出答案．
（3）过点A作AH⊥BP于H，过点P作MN⊥BC于N，交AD于M，根据等腰三角形性质可得BH＝HP，设BH＝HP＝x，则BP＝2x，即＝，仿照（2）可得△EBP∽△ECB，得出＝＝＝，推出＝，由MN∥CD，可得＝＝，得出PM＝，PN＝2﹣，再证得△BPN∽△ABH，得出＝，解方程2（2﹣）＝2x2，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，
∵，
∴＝＝，
∵∠A+∠ABP+∠BPE+∠AEP＝360°，∠AEP+∠ABP＝180°，
∴∠A+∠BPE＝180°，
∴∠BPE＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°＝∠CPF，
∴∠ECD+∠CFB＝90°，
∵∠FBC+∠CFB＝90°，
∴∠ECD＝∠FBC，
∴△CED∽△BFC，
∴＝＝，
∵CF＝4，
∴DE＝CF＝×4＝；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵∠EBF＝∠DEC，
∴∠EBF＝∠ECB，
∵∠BEP＝∠CEB，
∴△EBP∽△ECB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴EB＝EP，
∵EC＝EP+PC，
∴＝，
∴＝，
∴＝；
（3）如图3，过点A作AH⊥BP于H，过点P作MN⊥BC于N，交AD于M，

∵AP＝AB＝2＝CD，AH⊥BP，
∴BH＝HP，设BH＝HP＝x，则BP＝2x，
∵BC＝AD＝3，
∴＝，
∵∠EBF＝∠DEC，由（2）得△EBP∽△ECB，
∴＝＝＝，
∴EB＝EP，
∵EC＝EP+PC，
∴＝，即＝，
∵MN∥CD，
∴＝＝，
∴PM＝，
∵∠D＝∠DCN＝∠MNC＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝2，
∴PN＝2﹣，
∵∠BNP＝∠AHB＝90°，
∴∠PBN+∠BPN＝90°，
∵∠PBN+∠ABH＝90°，
∴∠BPN＝∠ABH，
∴△BPN∽△ABH，
∴＝，
∴AB•PN＝BH•BP，
∴2（2﹣）＝2x2，
∴x2＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴BP＝2x＝，
故PB的长度为．
【点评】本题是矩形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
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