2023年北京市房山区中考数学一模试卷（含解析）

2023年北京市房山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是某几何体的展开图，该几何体是(    )

A. 长方体
B. 四棱锥
C. 三棱柱
D. 正方体

2.  中国立足本国国情、粮情，实施新时期国家粮食安全战略，走出了一条中国特色粮食安全之路年我国全年粮食产量万吨，比上年增加万吨，增产将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，实数满足，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  直尺和三角板如图摆放，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列图形中，直线为该图形的对称轴的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  同时抛掷面值为角，角，元的三枚质地均匀的硬币，则三枚硬币都正面向上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在边长为的等边中，点在边上，设的长度为自变量，以下哪个量作为因变量，使得，符合如图所示的函数关系(    )

A. 的面积 B. 的周长 C. 的面积 D. 的周长

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ．

10.  分解因式：______．

11.  计算：______．

12.  在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 ______ 填“”“”或“”．

13.  如图，中，平分，交于点若，，则 ______ ．

14.  关于的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数，的值： ______ ， ______ ．

15.  某校要在张平和李波两位跳远成绩优秀的同学中选择一位同学代表学校参加区春季运动会体育老师对两位同学近次的测试数据进行了统计，发现其平均数都是米，并将两位同学的测试数据制成了折线图如果要选出一名发挥相对稳定的同学参赛，则应该选择______ 填“张平”或“李波”

16.  为进一步深化“创城创卫”工作，传播健康环保的生活理念，房山区持续推进垃圾分类工作各乡镇街道的党员、志愿者纷纷参与“桶前值守”，在垃圾桶旁监督指导居民对垃圾进行分类某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示：

已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最短为______ 小时，最长为______ 小时假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明．

21.  本小题分
如图，▱中，对角线、交于点，在上截取．
求证：四边形是矩形；
若，求证：平分．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，点在直线：上，直线：过点．
求的值及直线的表达式；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
如图，中，，以为直径作，与边交于点，过点的的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．

24.  本小题分
年国际数学日的主题是“给每一个人的数学”在数学日当天，甲、乙两所学校联合举办九年级数学知识竞赛为了解两校学生的答题情况，从中各随机抽取名学生的得分，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息．
两校学生得分的数据的频数分布直方图如下：
数据分成组：，，，

其中乙校学生得分在这一组的数据如下：
两组样本数据的平均数、中位数如下表所示：

根据所给信息，解答下列问题：
写出表中的值： ______ ；
一名学生的成绩为分，在他所在的学校，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生，他是______ 填“甲校”或“乙校”学生；
在这次数学知识竞赛中，你认为哪个学校的学生表现较好，为什么？

25.  本小题分
如图，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系拱门上的点距地面的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．
拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下：

根据上述数据，直接写出“门高”拱门的最高点到地面的距离，并求出拱门上的点满足的函数关系．
一段时间后，公园重新维修拱门新拱门上的点距地面的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度跨度为拱门底部两个端点间的距离为，“新拱门”的跨度为，则 ______ 填“”“”或“”．
 

26.  本小题分
已知抛物线经过点．
用含的式子表示及抛物线的顶点坐标；
若对于任意，都有，求的取值范围．

27.  本小题分
如图，正方形中，点是边上的一点，连接，将射线绕点逆时针旋转交的延长线于点，连接，取中点，连接．
依题意补全图形；用等式表示与的数量关系，并证明；
若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于直线：和点，给出如下定义：
将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，将点关于轴对称点称为点关于直线的“平移对称点”．
如图，已知直线为．
点坐标为，则点关于直线的“平移对称点”坐标为______ ；
在直线上是否存在点，使得点关于直线的“平移对称点”还在直线上？若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由；
已知直线：，若以点为圆心，为半径的圆上存在一点，使得点关于直线的“平移对称点”在直线上，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，图中展开图为长方体的展开图．
故选：．
根据长方体的展开图得出结论即可．
本题主要考查长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据任意多边形的外角和等于度，得．
故选：．
根据任意多边形的外角和等于度解决此题．
本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握任意多边形的外角和等于度是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，且，，，．
A、，，A正确；
B、，，不正确；
C、、同号，，不正确，
D、，不正确．
故选：．
由条件判断出，且，逐项判断即可．
本题考查了实数与数轴的应用，正确判断出的取值是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，
，
，
，
．
故选：．
由题意可得，从而可求得，利用平行线的性质即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合，以此逐项判断即可．
本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中三枚硬币全部正面向上的结果数为，
所以三枚硬币全部正面向上的概率．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出三枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图知，随的增大而减小．
的面积和周长都随的增大而增大，
故A、不符合题意；
的面积和周长都随的增大而减小，但的周长不会等于，
故C符合题意，不符合题意．
故选：．
由随的增大而减小，即可判断．
本题考查常量与变量，等边三角形的性质，关键是明白随的增大而减小．
 

9.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，则，
故实数的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解因式．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
把第二个分式提取负号变成，然后进行分式减法，再把分式的分子分解因式、约分即可．
本题考查了分式的加减法．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在二、四象限，
，
点，在第四象限，随的增大而增大，
，
故答案为：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
 

13.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
故答案为：．
根据角分线的性质得，由平行线的性质得，进而得，于是，易得∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据角平分线的性质和平行线的性质得出，进而求出是解题关键．
 

14.【答案】答案不唯一  答案不唯一 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，即当时，．
故答案为：答案不唯一；答案不唯一．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，取找出值即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

15.【答案】李波 

【解析】解：由图可得，张平同学的成绩波动程度较大，
李波同学的成绩相对稳定，
故答案为：李波．
利用所给图象可直观判断李波较稳定．
本题考查了折线统计图、算数平均数、方差相关知识点的应用，观察分析图象是解题关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：时间最短，即每人只参加一次值守，且选择时间最短的时间段，且同一时间值守的人不能超过两个，
甲：均可，
乙：：：，
丙：：：，
丁：：：，
观察时间段，发现没有同一时间值守超过两个人的情况，符合题意，
最短时间，
时间最长，即每人尽量都参加两次值守，且同一时间值守的人不能超过两个，
查看表格，时间段，：：，同时有三个人值守，不符合题意，去掉时间段最短的丁，，
最长时间所有时间之和．
故答案为：，．
注意理解清楚，每人至少参加一个时间段的值守，同一时间值守的人不能超过两个，再结合表格分析，可以求出最短和最长时间．
本题考查了简单的极端原理，关键是理解清楚每人至少参加一个时间段的值守，同一时间值守的人不能超过两个的含义．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：

，
，
，
则原式． 

【解析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，把已知等式变形，代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】方法一：
证明：平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
方法二：
证明：点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
方法三：
证明：，
，
在和中，
，
≌，
，． 

【解析】方法一：由平分，得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，，则；
方法二：由点为的中点，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，，则；
方法三：由，得，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌，得，．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理并且证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，且对角线、交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
四边形是矩形．
，，
，
，
，
垂直平分，
，
平分． 

【解析】由平行四边形的性质得，而，则四边形是平行四边形，再由，，推导出，则四边形是矩形；
由，，根据等腰三角形的“三线合一”得，则垂直平分，所以，则平分．
此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，证明以及由，推导出是解题的关键．
 

22.【答案】解：点在直线：上，而直线：，
直线：经过点，
；
直线：过点．
，
，
直线：；
把代入，得，
把，代入，得，
解得，
时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 

【解析】直线：得到，即可确定过点，即，利用待定系数法即可求得直线的表达式；
当函数与的交点在轴的左侧或平行时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，如图，
，，
，平分，
，
为直径，
，
，
，
，
；
解：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
在中，，
设，，
，
即，
解得，
，，
． 

【解析】连接，如图，先根据等腰三角形的“三线合一”得到，平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据等角的余角相等得到，从而得到结论；
连接，如图，先根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，则，接着在中利用余弦的定义得到，则设，，所以，解得，然后计算即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．
 

24.【答案】  甲校 

【解析】解：将乙校的名学生的成绩从小到大排列后，处在第、位的两个数的平均数是，因此中位数是，即，
故答案为：；
由于甲校学生成绩的中位数是，乙校学生成绩的中位数是，而该名学生的成绩为分，在他所在的学校，他的成绩超过了一半以上，因此他所在的学校是甲校，
故答案为：甲校；
甲校的成绩较好，理由：甲校学生成绩的平均数比乙校的高．
根据中位数的定义进行计算即可；
通过对甲校、乙校学生成绩的中位数的大小进行比较可得答案；
通过对平均数的对比分析得出答案．
本题考查频数分布直方图，平均数、中位数，理解平均数、中位数的定义，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提．
 

25.【答案】 

【解析】解：根据表中数据可知，“门高”为，顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
拱门上的点满足的函数关系；
对于，
令，则，
解得或，
；
对于，
令，则，
解得或
，
．
故答案为：．
根据表中数据得出“门高”，并找到顶点坐标，设出抛物线解析式的顶点式，再用待定系数法求出函数解析式；
令，方别解方程求出方程的解，进而求出和，从而得出结论．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

26.【答案】解：抛物线经过点，
，
，
，
抛物线的顶点坐标为；
，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且，
当时，，
即，
，
或，
解得或． 

【解析】把点代入计算可求得含的式子表示的代数式，配方成顶点式，即可求解；
由知抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当时，代入计算，解不等式即可求解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：，理由如下：连接，，
将射线绕点逆时针旋转，
，
点是的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
；
，理由如下：过点作于，
，
∽，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由旋转的性质可得，由“”可证≌，即可求解；
通过证明∽，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】解：由题意知，，，
则点向右平移个单位向下平移个单位为点，
点关于轴的对称点为，
故答案为：；

存在，理由：
设点，则点向右平移个单位向下平移个单位为点，该点关于轴的对称点为：，
即“平移对称点”为：，
将该点坐标代入函数表达式为：，
解得：，
即点；

由题意知，，，
设“平移对称点”为：，该点关于轴的对称点为：，
将向右平移个单位向下平移一个单位为：，则该点为点，
由点的坐标知，点在直线：上，如图，

当圆和直线相切时，为符合题设条件的临界点，
设直线与轴交于点，设直线和圆的切点为，
则，
由直线的表达式知，其与轴正半轴的夹角为，
则，
则；
同理当圆在直线的下方时，，
故的范围为：．
由新定义即可求解；
求出“平移对称点”为：，将该点坐标代入函数表达式为：，即可求解；
求出点，得到点在直线：上，求出临界点的值，即可求解．
本题为一次函数综合题，涉及到新定义、圆的基本知识、一次函数的性质等，理解新定义是本题解题的关键．