数学-2023年高考押题预测卷02（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省新高考专用）（参考答案）

2023年高考押题预测卷02【云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省专用】

数学·参考答案

13．

14．

15．

16．

17．（1），

当时，，

当时，，

，

当时，符合上式，

故数列的通项公式为；

（2）由（1）得，则，

，，

在等比数列中，公比，，

，

数列的前项和.

18．（1）依题意有

，又，

，又，

解得，，

；

（2）因为

所以，

当且仅当时成立，

故面积的最大值为.

19．（1）设M为SD的中点，连接ME，MA，

因为ME是的中位线，所以，

又因为，且，所以底面ABCD为平行四边形．

所以，又，且，故，

且，所以四边形是平行四边形，                     

所以，又平面，平面，

所以平面．         

（2）因为，又，

所以，故．

设N是DC的中点，连接SN，因为，

所以，又平面平面，

平面SDC，平面底面，

所以平面．                                          

连接，在中，，

所以是正三角形，

在中，，所以，

所以，即．                          

因为两两互相垂直，故以为坐标原点，

以向量为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．               

在中，由余弦定理得．

过点P作，，

因为平面，所以底面，

因为，所以与相似，

因为，所以．

设P的坐标为，

则，，

故，

设底面ABCD的法向量为，

当PF与底面ABCD所成角为时，与所成角为．

故，

即，解得．              

所以．

设平面的法向量为，

则，即

取，可得，

所以为平面的一个法向量，

设平面PAF的法向量为，

则，即，

取，可得，

所以为平面的一个法向量，

故．

所以二面角的正弦值为．

20．（1）设小区方案一的满意度平均分为，则设小区方案二的满意度平均分为，则∵.∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.

（2）由题意可知：

小区即方案一中，满意度不低于70分的频率为，以频率估计概率，赞成率为62%

小区即方案二中，满意度不低于70分的频率为，以频率估计概率，赞成率为75%.

∴小区可继续推行方案二.

（3）由（2）中结果，在小区不赞成25人中，取人，赞成的75人中取人组成代表团，设至少有一个不赞成居民做汇总发言的概率为，记不赞成的两人为，赞成的6人为，从中任选两人，则有以下情况：

共28种情况，其中至少有一个不赞成的居民被选到发言的有，

共13种，

由古典概型的概率计算公式可得.

21．（1）由对称性可知当为等边三角形时，两点关于轴对称，

当为等边三角形时，的高为，

由题意知点在上，代入，得，解得，

所以的标准方程为.

（2）由（1）知，根据题意可知直线的斜率不为0，

设直线的方程为，，，，

联立，得，

所以，即，且，，

所以，

由，得，

所以，所以，即，

又点在上，所以，即，①

所以，解得，

又点在第一象限，所以，所以.

又点到直线的距离，化简得，②

联立①②解得，或（舍去），或（舍去）.

此时点，直线的方程为.

22．（1）解：因为，，，

设，则，

若有两个极值点，则有个变号零点．

当时，，在上递增，至多有一个零点，不符合题意，舍去；

当时，令，解得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

若使得有个变号零点，则，即，即，

解得，此时，，

，

令，其中，所以，，

所以，函数在上单调递增，

所以，，故，

由零点存在定理可知，函数在、上各有一个变号的零点，

设函数在、上的零点分别为、，

当或时，；当时，.

此时函数有两个极值点，合乎题意.

综上所述，.

（2）证明：欲证，即证，

由于、为的零点，

则，可得，

令，则，

解得，，

所以只需证明：，即证：，

构造函数，其中，

则，

所以，函数在上单调递减，则，

所以，即得证，故.