数学-2023年高考押题预测卷02（北京专用）（参考答案）

2023年高考押题预测卷02【北京专用】

数学·参考答案

11．（5分） 

12．4（5分）

13．     （5分）

14．轴     （5分）

15.  （5分）

16．（13分）(1)取中点，连接，，，

∵△为等腰直角三角形，即，

∴，（2分）

由，，，可得，

∴，则，（2分）

又为中点，则，故，而，

∴面，面，

∴.（2分）

(2)过点作延长线的垂线，垂足为，连,

∵面面，面面,，面，

∴面，

∴为线与面所成的线面角，（2分）

由,知：,,

由余弦定理得,即,（2分）

由，面面，面面，面，

所以面，面，故，，则，（1分）

在中， .（2分）

17．（14分）（1）因为，

由正弦定理，得，

所以.（2分）

所以.又因为，所以.

因为，所以.（2分）

又因为，所以，所以.（2分）

（2）设边上的中线为，则，

所以，（2分）

即，.（2分）

解得或（舍去）. （2分）

所以.（2分）

18．（13分）（1）依题意，所以（2分）

（2）由初一、初二学生人数为，

所以初三学生人数为人，（1分）

故用分层抽样法在全校抽取名学生,问应在初三年级学生中抽取名. （2分）

（3）初一年级应抽取学生的人数为，

初二年级应抽取学生的人数为，（2分）

初一学生的样本记为，，…，，方差记为，初二学生的样本记为，，…，，方差记为，初三学生的样本记为，，…，，方差记为．

设样本的平均数为，则，

设样本的方差为．

则

又，

故，（2分）

同理，，，，（2分）

因此，

．（2分）

所以该校所有学生体重的平均数为和方差为.

19．（15分）（1）设椭圆方程为，焦距为2c.

由题意可知，（2分）

所以，椭圆C的方程为，（2分）

且蒙日圆的方程为；

（2）设，设过点P的切线方程为，

由，

消去y得①，（2分）

由于相切，所以方程①的，可得：，

整理成关于k的方程可得：，（2分）

由于P在椭圆外，故，

故，

设过点P的两切线斜率为，

据题意得，，，

又因为，所以可得，（1分）

即点的轨迹方程为：，（2分）

由不等式可知：，（2分）

即，当且仅当时取等号，此时，

所以，即的面积的最大值为.（2分）

20．（15分）（1）根据题意可知：

函数在点处的切线为，

函数在点处的切线为，

而，， （2分）

，根据导函数在该点的函数值相等可得，

又，.  切线过点，斜率为；（2分）

切线过点，斜率为，，，

综上所述，所求的直线方程为：，

（2）方法一：，

故不等式恒成立可等价转化为：

在上恒成立，（2分）

记，，

当 时，，不合题意；

当时，，（2分）

记，，

则，

所以在是增函数，又，（2分）

所以使得，即①，

则当时，，即，

当时，，即，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以②，（2分）

由①式可得，

代入②式得，（1分）

因为，即，

故，，即，（2分）

所以时恒成立，故 的取值范围为 .

方法二：根据已知条件可得：， .

且恒成立；

故可等价转化为：恒成立（2分）

设，则，单调递增，（2分）

因而恒成立，即恒成立. （1分）

令，则，（2分）

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，（2分）

所以，从而即为所求. （2分）

21．（15分）（1）令可得，（2分）

令可得，（2分）

两式相加可得，则（2分）

（2）

，（2分）

则，令，则，（2分）

，（1分）

（2分）

时，，则

即，则时，即，则.（2分）