数学-2023年高考押题预测卷02（北京专用）（考试版）A3

2023年高考押题预测卷02【北京专用】

数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第一部分（选择题 共40分）

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设为实数，已知，且，则的值是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．2或3或4

2．已知复数，则（   ）

A． B． C． D．

3．乘积展开后的项数是（     ）

A． B． C． D．

4．已知，则（    ）

A．-3 B．3 C． D．

5．已知，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

6．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（    ）

A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行

B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直

C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直

D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交

7．已知平面，，，下列结论中正确的是（    ）

A．“内有两条相交直线与平行”是“”的充分不必要条件；

B．“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件；

C．“，”是“”的充要条件；

D．“”是“，平行于同一直线”的充要条件.

8．在△ABC中，且，，其中，，，，则（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

9．设曲线在处的切线斜率为，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

10．如图，点是曲线上的任意一点，，，射线交曲线于点，垂直于直线，垂足为点.则下列判断：①为定值；②为定值5.其中正确的说法是

A．①②都正确 B．①②都错误

C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数的定义域为___________________．

12．双曲线的焦距是________

13．函数的部分图像如图所示．若（点A为图像的一个最高点），，则__________，__________．

14．曲线的一条对称轴是_______；的取值范围是_______.

15．《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào）.如图所示，三棱锥中，平面，，则该三棱锥即为鳖臑.若且三棱锥外接球的体积为，则长度的最大值是______.

三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（13分）已知四棱锥，，，，△为等腰直角三角形，面面，且，为中点.

(1)求证：；

(2)求与平面所成角的正弦值.

17．（14分）在中，三边，，的对角分别为，，，已知，.

（1）若，求；  （2）若边上的中线长为，求的面积.

18．（13分）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19.

(1)求x的值；

(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？

(3)在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是，，，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差.

19．（15分）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；

(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.

20．（15分）已知函数，（其中为常数，是自然对数的底数）.若函数在点处的切线为，函数 在点处的切线为.

（1）若，求和的方程；

（2）若恒成立，求的取值范围.

21．（15分）设，记.

（1）求；

（2）记，求证：恒成立.