山西省阳泉市2023届高三第三次模拟测试数学试卷（含答案）

山西省阳泉市2023届高三第三次模拟测试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知复数z是方程的一个根，则(   )

A.1 B.2 C. D.

3、函数在区间存在零点.则实数m的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4、在中，，，的平分线交BC于点D.若，则(   )

A. B. C.2 D.3

5、米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为2和4.侧棱长为.则其外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

6、若直线通过点，则(   )

A. B. C. D.

7、已知函数，若实数a、b、c使得，对任意的实数x恒成立，则的值为(   )

A. B.1 C. D.2

二、填空题

8、已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若且，则___________.

9、已知，且，则_______.

10、在国际自然灾害中，中国救援力量为挽救生命做出了重要贡献，完美地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉.某国际救援团队拥有6个医疗小组和8个抢险小组，现分别去两个受灾点执行救援任务，每个救援点至少需要2个医疗小组和4个抢险小组，则不同的分配方式一共有________种.(用数字作答)

11、已知数列满足，其前n项和为，则________.

12、已知，若关于x的不等式恰好有6个不同的实数解，则a的取值范围是__________.

三、多项选择题

13、设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为，若，则下列判断正确的是(   )

A. B. C. D.

14、已知方程，其中，现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题，其中真命题有(   )

A.可以是圆的方程  B.一定不能是抛物线的方程

C.可以是椭圆的标准方程 D.一定不能是双曲线的标准方程

15、设内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则下列说法正确的是(   )

A. B. C. D.

16、已知正四面体的棱长为2，M，N分别为和的重心，P为线段上一点，则下列结论正确的是(   )

A.若取得最小值，则

B.若，则平面

C.若平面，则三棱锥外接球的表面积为

D.直线到平面的距离为

四、解答题

17、已知数列满足，.

(1)记求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

18、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若，且，求面积的取值范围.

19、在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注.这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症.在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检.智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品.已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，，，设人工抽检的综合指标不达标率为p().

(1)求每个芯片智能检测不达标的概率；

(2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为，求的极大值点；

(3)若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良.以(2)中确定的作为p的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良.

20、如图，在四棱锥中，点E，F分别在棱QA，QC上，且三棱锥和均是棱长为2的正四面体，AC交BD于点O.

(1)求证：平面ABCD；

(2)求平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值.

21、已知椭圆C：的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，，的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：.

22、已知函数，其中a为常数，e为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，.

(1)求实数a的取值范围；

(2)证明：.

参考答案

1、答案：A

解析：由题意得，，，

所以，，

所以.

故选：A.

2、答案：C

解析：因为方程是实系数方程，且，

所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，

即，所以.

故选：C.

3、答案：B

解析：由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，

因为函数在区间存在零点，

所以，即，解得，

所以实数m的取值范围是.

故选：B.

4、答案：B

解析：设，因为，，所以，

又是的平分线，所以，，

，

又，所以，，

所以.

故选：B.

5、答案：D

解析：由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为，

由棱台的性质可知，外接球的球心O落在线段上，

由题意该四棱台上下底面边长分别为4和2，侧棱长为，

则，，，

所以，

设外接球的半径为R，，则，

因为垂直于上下底面，

所以，即，

又，即，

联立解得，，

所以该米斗的外接球的表面积为.

故选：D.

6、答案：D

解析：依题意可得，M点在单位圆上，所以直线与单位圆有交点，则圆心即原点到直线的距离，即，故选D.

7、答案：C

解析：，

其中，，

，

要想恒成立，即恒成立，

故且，

因为，所以且，，

解得，，，，

故

故选：C.

8、答案：3

解析：如图，设准线与x轴的交点为K，作，垂足分别为，，

则.根据抛物线定义知，，

设，因为，所以，

.

设，所以，所以.

9、答案：或

解析：因为，所以，故，

所以.

.

故答案为：.

10、答案：3500

解析：第一步分配医疗小组，先按或分两组再分配到两个受灾点，共有；

第二步分配抢险小组，只能按分组再分配到两个受灾点，共有，

因此，共有种，

故答案为：3500.

11、答案：

解析：因为，

.

故答案为：.

12、答案：

解析：设，，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，函数取得极大值，极大值为，

所以函数的图象，如图(1)所示，

关于x的不等式恰好有6个不同的实数解，

等价于在区间内有2个不同的实根，

即的图象与在内有2个不同的交点，

又由函数的大致图象，如图(2)所示，

则，，所以，即实数a的取值范围是.

故答案为：.

13、答案：ABD

解析：解：因为数列为正项等差数列，

所以，

所以，

因为数列为正项等差数列，

所以，，

所以，，

，

故选：ABD.

14、答案：ACD

解析：因为方程，其中，

所以当时，方程为，

即是圆的方程，故方程可以是圆的方程，故A正确；

当时，方程为，

即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程，故B错误；

当时，方程为，

即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程，故C正确；

若方程为双曲线的标准方程，则有，，

这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程，故D正确.

故选：ACD.

15、答案：BCD

解析：因为中，，所以或，

当时，，由于无意义，A错误；

当时，，

此时，故，B正确；

因为，所以，由大角对大边，得，C正确；

因为，所以，

即，

令，，

则，所以单调递减，

又，，所以，

所以，，，所以，故D正确.

故选：BCD.

16、答案：BC

解析：将正四面体放入正方体中，以点D为原点，以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直接坐标系，如图1所示.

因为正四面体的长为2，所以正方体的棱长为，

则，，，.

因为点M，N分别为和的重心，

所以点N的坐标为，点M的坐标为，

所以，

设，则，

所以，

所以，

.

对于A，因为，

，

所以.

当时，即，，取得最小值，故A错误；

对于B，若，则，所以.

因为，，

设平面的一个法向量为，

则，取，则.

因为，所以平面，故B正确；

对于C，若平面.

因为为平面的一个法向量，所以，

所以，所以.

所以，即，

，即.

设平面的一个法向量为，

因为，，

则，取，则，

所以，所以平面，所以平面，

则三棱锥外接球的球心在直线上.

又因为点N为等边三角形的重心，

所以点N为等边三角形的外心，外接圆半径为.

设三棱锥外接球的半径为R，

如图2，，

即，即，解得，

所以三棱锥外接球的表面积为，故C选项正确；

对于D，因为，，

所以.

设平面的一个法向量为，

因为，，

所以，取，则.

因为，且直线平面，

所以直线平面，

所以点N到平面的距离就是直线到平面的距离.

又，

所以点N到平面的距离，

即直线到平面的距离为，故D错误.

故选：BC.

17、答案：(1)通项公式为

(2)

解析：(1)，，

又，，

又，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以数列的通项公式为.

(2)由(1)得，

所以数列的前n项和为

=

.

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)因为，

所以.

由余弦定理得.

因为，所以.

(2)由及正弦定理，得，

所以.

由余弦定理得，，

所以，

当且仅当时，等号成立.

因为，所以，则，

所以，

因为的面积为，

所以面积的取值范围是.

19、答案：(1)

(2)有唯一的极大值点

(3)该企业需对生产工序进行改良

解析：(1)每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为，，，并记芯片智能检测不达标为事件A.

视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，

则有，，，

由对立事件的性质及事件独立性的定义得：，

所以每个芯片智能检测不达标的概率为.

(2)人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为()，

因此，

令，得.

当时，；当时，.

则在上单调递增，在上单调递减，

所以有唯一的极大值点.

(3)设芯片人工抽检达标为事件B，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件C，

由(2)得：，

由(1)得：，

所以，

因此，该企业需对生产工序进行改良.

20、答案：(1)证明见解析

(2)平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值为

解析：(1)如图，连接OE，OF，三棱锥和均是棱长为2的正四面体，

故，，且ABCD为菱形，O为AC、BD中点，

所以，所以，所以.

因为，，，故，

所以，所以，

又，，平面ABCD，所以平面ABCD.

(2)四边形ABCD是菱形，则，所以OQ，AC，BD两两垂直，

以O为原点，，，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图：

中，，，

故，故，故，

则，，，，，

故，，，.

设平面AQD的法向量为，则，

令，则，，故.

设平面BCF的法向量为，则，

令，则，，故，

所以，

所以平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值为.

21、答案：(1)椭圆C的方程为

(2)证明见解析

解析：(1)不妨设点P在x轴的上方，由椭圆的性质可知.

是以P为直角顶点的等腰直角三角形，

代入，得，整理得.

的面积为1，，，.

故椭圆C的方程为.

(2)设直线的斜率为，直线的斜率为，，，

直线的方程为.

不妨设，则，.

联立可得，

，则，，

，即，

，

，

故得证.

22、答案：(1)

(2)证明见解析

解析：(1)解法一：，，

令，则.

因有两个极值点，，故有两个零点，

若，则，单调递增，不可能有两个零点，

所以，令得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，

因为有两个零点，所以，则.

又，，，

故实数a的取值范围为.

解法二：，，

由题意知，有两个根，即，

设，，

即函数与有两个不同交点，

设过点的直线与相切的切点为，

，则有，

解得：，此时切线斜率为：，

当斜率大于时，与有两个交点，

则，故有，

故实数a的取值范围为.

解法三：，

因力有两个极值点，，

则有两个零点.

即，

转化为与有2个交点，

时，.

，，

当时，，

当时，，

当时，，

在，递减，在递增，

要使与有2个交点，即，

，

故实数a的取值范围为.

(2)设，因为，，则，

因为，所以，，

则，取对数得.

令，，则.

令，

则，在上单调递增.

则，，

则，

两边约去后化简整理得，即.